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数学九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数优秀课后测评
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这是一份数学九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数优秀课后测评，共16页。
第1课时 二次函数与图形面积问题 [见A本P23]
1．小敏用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是( A )
A．4 cm2 B．8 cm2 C．16 cm2 D．32 cm2
【解析】 设矩形一边长为x cm，则另一边长为(4－x)cm，则S矩形＝x(4－x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4(0＜x＜4)，故当x＝2时，S最大值＝4 cm2.选A.
2．如图22－3－1所示，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( A )
图22－3－1
A．当C是AB的中点时，S最小
B．当C是AB的中点时，S最大
C．当C为AB的三等分点时，S最小
D．当C为AB的三等分点时，S最大
【解析】 设AC＝x，则BC＝1－x，所以S＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2).因为二次项系数大于0，所以当x＝eq \f(1,2)时，S的值最小，即点C是AB的中点时，两个正方形的面积和最小，故选A.
3．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足关系y＝－(x－12)2＋144(0
【解析】 直接根据二次函数的性质作答，当x＝12时，y有最大值为144.
4．在边长为4 m的正方形铅皮中间挖去一个面积至少是1 m2的小正方形，则剩下的四方框形铅皮的面积y(m2)与小正方形边长x(m)之间的函数关系式是__y＝－x2＋16(1≤x<4)__，y的最大值是__15__m2.
【解析】 y＝S大正方形－S小正方形，所以y＝42－x2，即y＝－x2＋16，又1≤x<4，所以当x＝1时，y最大值为15 m2.
5．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__12.5__cm2.
【解析】 设剪成的两段长分别为x cm，(20－x)cm，这两个正方形面积之和为y，
则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20－x,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,16)(x2＋400－40x＋x2)
＝eq \f(1,16)(2x2－40x＋400)＝eq \f(1,8)(x2－20x＋200)
＝eq \f(1,8)[(x2－20x＋100)＋100]＝eq \f(1,8)(x－10)2＋12.5，故两个正方形面积之和的最小值为12.5 cm2.
6．某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图22－3－2所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗．他已备足可以修高为1.5 m、长为18 m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为x m，即AD＝EF＝BC＝x m．(不考虑墙的厚度)
(1)若想使水池的总容积为36 m3，x应等于多少？
(2)求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
(3)若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？
图22－3－2
【解析】(1)水池的容积为长×宽×高，而长为x m，则宽为(18－3x)m，高为1.5 m，根据总容积为36 m3，易列方程求x的值；(2)，(3)根据容积V与x的函数关系，结合二次函数性质即可求解．
解：(1)∵AD＝EF＝BC＝x，∴AB＝18－3x，
∴水池的总容积为1.5x(18－3x)＝36，
即x2－6x＋8＝0，解得x＝2或4，∴x应为2或4.
(2)由(1)知V与x的函数关系式为：
V＝1.5x(18－3x)＝－4.5x2＋27x，
x的取值范围是0
(3)V＝－4.5x2＋27x＝－eq \f(9,2)(x－3)2＋eq \f(81,2)，
∴当x＝3时，V有最大值40.5，
∴若使水池的总容积最大，x应为3，最大容积为40.5 m3.
7．如图22－3－3，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为x(s)，△PBQ的面积为y(cm2)．
(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)求△PBQ的面积的最大值．
图22－3－3
解：(1)∵S△PBQ＝eq \f(1,2)PB·BQ，
PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x，
∴y＝eq \f(1,2)(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0
(2)由(1)知y＝－x2＋9x，∴y＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(9,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(81,4).
∵当0
∴当x＝4时，y最大值＝20，即△PBQ的最大面积是20 cm2.
8如图22－3－4，在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知E，F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝x(cm)．
(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大，试问x应取何值．
图22－3－4
解：(1)根据题意，知这个正方体的底面边长a＝eq \r(2)x，EF＝eq \r(2)a＝2x，∵AE＋EF＋BF＝AB，
∴x＋2x＋x＝24，∴x＝6，
∴a＝6eq \r(2)，∴V ＝a3＝(6eq \r(2))3＝432eq \r(2)(cm3)．
(2)设包装盒的底面边长为a cm，高为h cm，则a＝eq \r(2)x，
h＝eq \f(24－2x,\r(2)) ＝12eq \r(2)－eq \r(2)x，
∴S＝4ah＋a2 ＝4eq \r(2)x·eq \r(2)(12－x)＋(eq \r(2)x)2＝－6x2＋96x＝－6(x－8)2＋384.
∵0
9．已知在△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20.
(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；
(2)当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？
(3)当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．
解：(1)依题意得：y＝eq \f(1,2)x(20－x)＝－eq \f(1,2)x2＋10x(0
解方程48＝－eq \f(1,2)x2＋10x得：x1＝12，x2＝8.
∴当△ABC面积为48时BC的长为12或8.
(2)由(1)得：y＝－eq \f(1,2)x2＋10x＝－eq \f(1,2)(x－10)2＋50，
∴当x＝10即BC＝10时，△ABC的面积最大，最大面积是50.
(3)
△ABC的周长存在最小的情形，理由如下：
由(2)可知△ABC的面积最大时，BC＝10，BC边上的高也为10，
过点A作直线l平行于BC，作点B关于直线l的对称点B′，
连接B′C交直线l于点A′，再连接A′B，AB′，
则由对称性得：A′B′＝A′B，AB′＝AB，
∴A′B＋A′C＝A′B′＋A′C＝B′C，
当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：
L＝AB＋AC＋BC＝AB′＋AC＋BC>B′C＋BC，
当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时
L＝AB＋AC＋BC＝A′B′＋A′C＋BC＝B′C＋BC，
因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小；
这时由作图可知：BB′＝20，
∴B′C＝eq \r(202＋102)＝10eq \r(5)，
∴L＝10eq \r(5)＋10，
因此当ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10eq \r(5)＋10.
10．用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图22－3－5中的一种)．设竖档AB＝x米，请根据图中图案回答下列问题：(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有线段的长度和，所有横档和竖档分别与AD，AB平行)
(1)在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？
(2)在图②中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
(3)在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
图22－3－5
解：(1)当不锈钢材料总长度为12米，共有3条竖档时，BC＝eq \f(12－3x,3)＝4－x，
∴矩形框架ABCD的面积为AB·BC＝x(4－x)．
令x(4－x)＝3，解得x＝1或3，
∴当x＝1或3时，矩形框架ABCD的面积为3平方米．
(2)当不锈钢材料总长度为12米，共有4条竖档时，
BC＝eq \f(12－4x,3)，∴矩形框架ABCD的面积S＝x·eq \f(12－4x,3)＝－eq \f(4,3)x2＋4x，
当x＝－eq \f(4,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3))))＝eq \f(3,2)时，S最大值＝3，
∴当x＝eq \f(3,2)时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为3平方米．
(3)当不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档时，BC＝eq \f(a－nx,3)，
∴矩形框架ABCD的面积S＝x·eq \f(a－nx,3)＝－eq \f(n,3)x2＋eq \f(a,3)x，
当x＝－eq \f(\f(a,3),2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(n,3))))＝eq \f(a,2n)时，S最大值＝eq \f(a2,12n)，
∴当x＝eq \f(a,2n)时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为eq \f(a2,12n)平方米．
第2课时 二次函数与最大利润问题 [见B本P24]
1．烟花厂为扬州“烟花三月”国际经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－eq \f(5,2)t2＋20t＋1，若这种礼炮在最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( B )
A．3 s B．4 s
C．5 s D．6 s
【解析】 当t＝－eq \f(b,2a)时，即t＝－eq \f(20,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2))))＝4(s)时，礼炮升到最高点，故选B.
2．某旅行社有100张床位，每床每晚收费20元时，客床可全部租出，若每床每晚每次收费提高4元时，则减少10张床位租出；以每次提高4元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( C )
A．8元或12元 B．8元
C．12元 D．10元
【解析】 设每床每晚应提高x元，则减少出租床eq \f(x,4)·10张，所获利润y＝(20＋x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100－\f(x,4)·10))，
即y＝－eq \f(5,2)x2＋50x＋2 000＝－eq \f(5,2)(x－10)2＋2 250.
由x是4的正整数倍和抛物线y＝－eq \f(5,2)(x－10)2＋2 250关于x＝10对称可知，当x＝8或x＝12时，获利最大，又因为出租床位较少时，投资费用少，故选C.
3．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x＝__4__元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．
【解析】 依题意得y＝x(8－x)＝－(x－4)2＋16，当x＝4时，y取得最大值．
4．将进货单价为70元的某种商品按零售单价100元售出时，每天能卖出20个，若这种商品零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为获得最大利润，应降价__5元__．
【解析】 设降价x元，所获利润为y元，则有y＝(100－70－x)(20＋x)＝－x2＋10x＋600＝－(x－5)2＋625.当x＝5时，y值最大，故应降价5元．
5．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7 000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元(天数不是一天时，按整天计算)．设销售单价为x元，日均获利为y元，那么：
(1)y关于x的二次函数关系式为__y＝－2x2＋260x－6__500(30≤x≤70)__；
(2)当销售单价定为__65__元时，日均获利最大，日均获利最大为__1__950__元．
【解析】 (1)当销售单价为x元时，实际降价了(70－x)元，日均销售量为[60＋2(70－x)]千克，日均获利为[60＋2(70－x)]x－30[60＋2(70－x)]－500＝(x－30)[60＋2(70－x)]－500，
所以y＝(x－30)[60＋2(70－x)]－500
＝－2x2＋260x－6 500(30≤x≤70)．
(2)因为y＝－2x2＋260x－6 500＝－2(x－65)2＋1 950，所以当销售单价定为65元时，日均获利最大，最大利润为1 950元．
6．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖出10件(每件售价不能高于72元)，设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
解：(1)依题意有y＝(60＋x－50)(200－10x)(0
即y＝－10x2＋100x＋2 000(0
(2)y＝－10x2＋100x＋2 000
＝－10(x2－10x)＋2 000＝－10(x－5)2＋2 250，
∴当x＝5时，y有最大值2 250，即当每件商品的售价定为65元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2 250元．
7．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数．
(1)求y与x满足的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？
解：(1)设y与x满足的函数关系式为：y＝kx＋b.
由题意可得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(36＝24k＋b,21＝29k＋b.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－3,b＝108.))
故y与x的函数关系式为：y＝－3x＋108.
(2)每天获得的利润为：P＝(－3x＋108)(x－20)＝－3x2＋168x－2 160＝－3(x－28)2＋192.
故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．
8．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元时，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车，日收益为y元(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)．
(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为________元(用含x的代数式表示)；
(2)当每日租出多少辆车时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？
(3)当每日租出多少辆车时，租赁公司的日收益不盈也不亏？
解：(1)1 400－50x；
(2)y＝x(－50x＋1 400)－4 800＝－50x2＋1 400x－4 800＝－50(x－14)2＋5 000，
当x＝14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5 000，
∴当每日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大是5 000元．
(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，则y＝0，
即－50(x－14)2＋5 000＝0，
解得x1＝24，x2＝4，但x2＝24不合题意，舍去，
∴当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏．
9．某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图22－3－6所示的关系：
图22－3－6
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由所给函数图象得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(130k＋b＝50,150k＋b＝30))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1,b＝180))
∴函数关系式为y＝－x＋180.
(2)W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)
＝－x2＋280x－1 8000
＝－(x－140)2＋1 600，
当售价定为140元时，W最大＝1 600.
∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1 600元．
10．[2013·盐城]水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．
(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？
(2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图22－3－7所示的一次函数关系．
图22－3－7
①求y与x之间的函数关系式；
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收入－进货金额)
解：(1)设现在实际购进这种水果每千克a元，根据题意，得：
80(a＋2)＝88a
解之得：a＝20
答：现在实际购进这种水果每千克20元．
(2)①∵y是x的一次函数，设函数关系式为y＝kx＋b
将(25，165)，(35，55)分别代入y＝kx＋b，得：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(25k＋b＝165,35k＋b＝55))
解得：k＝－11，b＝440
∴y＝－11x＋440
②设最大利润为W元，则
W＝(x－20)(－11x＋440)
＝－11(x－30)2＋1 100
∴当x＝30时，W最大值＝1 100
答：将这种水果的单价定为每千克30元时，能获得最大利润1 100元．
第3课时 二次函数与抛物线形问题[见A本P25]
1．如图22－3－8，济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2＋bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需( D )
图22－3－8
A．30 s B．38 s
C．40 s D．36 s
2．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图22－3－9，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( A )
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
【解析】 y＝－(x2－4x＋4)＋4＝－(x－2)2＋4，水喷出的最大高度是4米．
图22－3－9
图22－3－10
3．如图22－3－10所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式为y＝－eq \f(1,4)x2，当水位线在AB位置时，水面宽为12 m，这时水面离桥顶的高度h是( D )
A．3 m B．2eq \r(6) m C．4eq \r(3) m D．9 m
【解析】 可根据点B的横坐标，求出纵坐标．根据图形知点B的横坐标为6，当x＝6时，y＝－9，∴h＝|－9|＝9，故选D.
4．图22－3－11(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，水面宽4 m，如图22－3－11(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( C )
图22－3－11
A．y＝－2x2 B．y＝2x2
C．y＝－eq \f(1,2)x2 D．y＝eq \f(1,2)x2
【解析】 设抛物物的解析式为y＝ax2，则把(2，－2)代入得－2＝4a，∴a＝－eq \f(1,2)，故选C.
5．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为eq \f(1,2)米，在如图22－3－12所示的坐标系中，
图22－3－12
这个喷泉的函数关系式是( C )
A．y＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋3
B．y＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋3
C．y＝－12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋3
D．y＝－12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋3
【解析】 ∵喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为eq \f(1,2)米，∴抛物线的顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，设抛物线的解析式为y＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋3，而抛物线还经过点(0，0)，∴0＝a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋3，∴a＝－12，∴抛物线的解析式为
y＝－12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋3.
6．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图22－3－13)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( C )
图22－3－13
A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m
【解析】 以2米长线段所在直线为x轴，以其垂直平分线为y轴建立直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的总长度．
7．[2012·绍兴]教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式为y＝－eq \f(1,12)(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是__10__m.
【解析】 令函数式y＝－eq \f(1,12)(x－4)2＋3＝0，
即0＝－eq \f(1,12)(x－4)2＋3，
解得x1＝10，x2＝－2(舍去)，
即铅球推出的距离是10 m.
8．廊桥是我国古老的文化遗产，如图22－3－14是某座抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝－eq \f(1,40)x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是__18__米(精确到1米)．
图22－3－14
【解析】 直接根据E、F点的纵坐标为8，得8＝－eq \f(1,40)x2＋10，解得x2＝80，x≈±9，∴E(－9，8)，F(9，8)，故EF的长约为18米．
图22－3－15
9．如图22－3－15是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为__48__ m.
【解析】 如图所示，建立平面直角坐标系．
设AB与y轴交于点H，
∵AB＝36，
∴AH＝BH＝18，
由题可知：OH＝7，CH＝9，
∴OC＝9＋7＝16，
设该抛物线的解析式为y＝ax2＋k，
∵顶点C(0，16)，
∴抛物线y＝ax2＋16，
代入点(18，7)
∴7＝18×18a＋16，
∴7＝324a＋16，
∴324a＝－9，
∴a＝－eq \f(1,36)
∴抛物线：y＝－eq \f(1,36)x2＋16，
当y＝0时，0＝－eq \f(1,36)x2＋16，
∴－eq \f(1,36)x2＝－16，
∴x2＝16×36＝576
∴x＝±24，
∴E(24，0)，D(－24，0)，
∴OE＝OD＝24，
∴DE＝OD＋OE＝24＋24＝48，
10．如图22－3－16所示，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为__0.5__m.
图22－3－16
第10题答图
【解析】 根据题意可建立如图所示的直角坐标系，设绳子对应的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则此抛物线经过点(0，2.5)，(2，2.5)，(0.5，1)，所以有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝2.5，,4a＋2b＋c＝2.5，,\f(1,4)a＋\f(1,2)b＋c＝1，))解得a＝2，b＝－4，c＝2.5，
∴y＝2x2－4x＋2.5＝2(x－1)2＋0.5，
即抛物线的顶点坐标为(1，0.5)，
所以绳子最低点距离地面的距离为0.5 m.
图22－3－17
11．如图22－3－17，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求这条抛物线的解析式．
【解析】 (1)M在x轴正半轴上，OM＝12，所以M(12，0)，又P为抛物线的最高点，所以P(6，6)；
(2)用顶点式求抛物线解析式．
解：(1)M(12，0)，P(6，6)；
(2)设抛物线的解析式为y＝a(x－6)2＋6.
∵抛物线y＝a(x－6)2＋6经过点(0，0)，
∴0＝a(0－6)2＋6，解得a＝－eq \f(1,6)，
∴抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,6)(x－6)2＋6，
即y＝－eq \f(1,6)x2＋2x.
12．如图22－3－18，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
图22－3－18
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系h＝－eq \f(1,128)(t－19)2＋8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行．
解：(1)∵点C到ED的距离是11米，∴OC＝11，
设抛物线的解析式为y＝ax2＋11，由题意得B点坐标为(8，8)，
∴64a＋11＝8，
解得a＝－eq \f(3,64)，
∴y＝－eq \f(3,64)x2＋11；
(2)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至少为11－5＝6米，
∴6＝－eq \f(1,128)(t－19)2＋8，
即128×6＝－(t－19)2＋128×8
∴(t－19)2＝256，
∴t－19＝±16，
解得t1＝35，t2＝3，
∴35－3＝32(小时)．
答：需32小时禁止船只通行．
13．某汽车在刹车后行驶的距离s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间关系的部分数据如下表：
假设这种变化规律一直延续到汽车停止．
(1)根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；
(2)选择适当的函数表示s与t之间的关系，并求出相应的函数解析式；
(3)①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？
②当t分别为t1，t2(t1
图22－3－19
解：(1)描点如下图：
(2)由散点图可知，此函数为二次函数，设二次函数的解析式为s＝at2＋bt＋c.
将(0，0)，(0.2，2.8)，(1，10)代入上式可得：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝0，,0.04a＋0.2b＋c＝2.8，,a＋b＋c＝10，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－5，,b＝15，,c＝0，))
∴此二次函数的解析式为s＝－5t2＋15t.
(3)①汽车刹车后到停止时的距离即为汽车滑行的最大距离．
当t＝－eq \f(15,2×（－5）)＝eq \f(3,2)时，滑行距离最大，且s＝eq \f(0－152,4×（－5）)＝eq \f(225,20)＝eq \f(45,4)，∴刹车后汽车行驶了eq \f(45,4)米才停止．
②由题意可知：eq \f(s1,t1)＝eq \f(－5t12＋15t1,t1)＝－5t1＋15；
eq \f(s2,t2)＝eq \f(－5t22＋15t2,t2)＝－5t2＋15，∴eq \f(s1,t1)－eq \f(s2,t2)＝5(t2－t1)．
又∵t10，即eq \f(s1,t1)>eq \f(s2,t2)，
eq \f(s1,t1)>eq \f(s2,t2)的实际意义是刹车后到t2时间内的平均速度小于刹车后到t1时间内的平均速度．
时间t(秒)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
…
行驶距离s(米)
0
2.8
5.2
7.2
8.8
10
10.8
…
第1课时 二次函数与图形面积问题 [见A本P23]
1．小敏用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是( A )
A．4 cm2 B．8 cm2 C．16 cm2 D．32 cm2
【解析】 设矩形一边长为x cm，则另一边长为(4－x)cm，则S矩形＝x(4－x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4(0＜x＜4)，故当x＝2时，S最大值＝4 cm2.选A.
2．如图22－3－1所示，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( A )
图22－3－1
A．当C是AB的中点时，S最小
B．当C是AB的中点时，S最大
C．当C为AB的三等分点时，S最小
D．当C为AB的三等分点时，S最大
【解析】 设AC＝x，则BC＝1－x，所以S＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2).因为二次项系数大于0，所以当x＝eq \f(1,2)时，S的值最小，即点C是AB的中点时，两个正方形的面积和最小，故选A.
3．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足关系y＝－(x－12)2＋144(0
【解析】 直接根据二次函数的性质作答，当x＝12时，y有最大值为144.
4．在边长为4 m的正方形铅皮中间挖去一个面积至少是1 m2的小正方形，则剩下的四方框形铅皮的面积y(m2)与小正方形边长x(m)之间的函数关系式是__y＝－x2＋16(1≤x<4)__，y的最大值是__15__m2.
【解析】 y＝S大正方形－S小正方形，所以y＝42－x2，即y＝－x2＋16，又1≤x<4，所以当x＝1时，y最大值为15 m2.
5．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__12.5__cm2.
【解析】 设剪成的两段长分别为x cm，(20－x)cm，这两个正方形面积之和为y，
则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20－x,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,16)(x2＋400－40x＋x2)
＝eq \f(1,16)(2x2－40x＋400)＝eq \f(1,8)(x2－20x＋200)
＝eq \f(1,8)[(x2－20x＋100)＋100]＝eq \f(1,8)(x－10)2＋12.5，故两个正方形面积之和的最小值为12.5 cm2.
6．某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图22－3－2所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗．他已备足可以修高为1.5 m、长为18 m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为x m，即AD＝EF＝BC＝x m．(不考虑墙的厚度)
(1)若想使水池的总容积为36 m3，x应等于多少？
(2)求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
(3)若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？
图22－3－2
【解析】(1)水池的容积为长×宽×高，而长为x m，则宽为(18－3x)m，高为1.5 m，根据总容积为36 m3，易列方程求x的值；(2)，(3)根据容积V与x的函数关系，结合二次函数性质即可求解．
解：(1)∵AD＝EF＝BC＝x，∴AB＝18－3x，
∴水池的总容积为1.5x(18－3x)＝36，
即x2－6x＋8＝0，解得x＝2或4，∴x应为2或4.
(2)由(1)知V与x的函数关系式为：
V＝1.5x(18－3x)＝－4.5x2＋27x，
x的取值范围是0
(3)V＝－4.5x2＋27x＝－eq \f(9,2)(x－3)2＋eq \f(81,2)，
∴当x＝3时，V有最大值40.5，
∴若使水池的总容积最大，x应为3，最大容积为40.5 m3.
7．如图22－3－3，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为x(s)，△PBQ的面积为y(cm2)．
(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)求△PBQ的面积的最大值．
图22－3－3
解：(1)∵S△PBQ＝eq \f(1,2)PB·BQ，
PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x，
∴y＝eq \f(1,2)(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0
(2)由(1)知y＝－x2＋9x，∴y＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(9,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(81,4).
∵当0
∴当x＝4时，y最大值＝20，即△PBQ的最大面积是20 cm2.
8如图22－3－4，在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知E，F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝x(cm)．
(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大，试问x应取何值．
图22－3－4
解：(1)根据题意，知这个正方体的底面边长a＝eq \r(2)x，EF＝eq \r(2)a＝2x，∵AE＋EF＋BF＝AB，
∴x＋2x＋x＝24，∴x＝6，
∴a＝6eq \r(2)，∴V ＝a3＝(6eq \r(2))3＝432eq \r(2)(cm3)．
(2)设包装盒的底面边长为a cm，高为h cm，则a＝eq \r(2)x，
h＝eq \f(24－2x,\r(2)) ＝12eq \r(2)－eq \r(2)x，
∴S＝4ah＋a2 ＝4eq \r(2)x·eq \r(2)(12－x)＋(eq \r(2)x)2＝－6x2＋96x＝－6(x－8)2＋384.
∵0
9．已知在△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20.
(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；
(2)当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？
(3)当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．
解：(1)依题意得：y＝eq \f(1,2)x(20－x)＝－eq \f(1,2)x2＋10x(0
解方程48＝－eq \f(1,2)x2＋10x得：x1＝12，x2＝8.
∴当△ABC面积为48时BC的长为12或8.
(2)由(1)得：y＝－eq \f(1,2)x2＋10x＝－eq \f(1,2)(x－10)2＋50，
∴当x＝10即BC＝10时，△ABC的面积最大，最大面积是50.
(3)
△ABC的周长存在最小的情形，理由如下：
由(2)可知△ABC的面积最大时，BC＝10，BC边上的高也为10，
过点A作直线l平行于BC，作点B关于直线l的对称点B′，
连接B′C交直线l于点A′，再连接A′B，AB′，
则由对称性得：A′B′＝A′B，AB′＝AB，
∴A′B＋A′C＝A′B′＋A′C＝B′C，
当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：
L＝AB＋AC＋BC＝AB′＋AC＋BC>B′C＋BC，
当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时
L＝AB＋AC＋BC＝A′B′＋A′C＋BC＝B′C＋BC，
因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小；
这时由作图可知：BB′＝20，
∴B′C＝eq \r(202＋102)＝10eq \r(5)，
∴L＝10eq \r(5)＋10，
因此当ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10eq \r(5)＋10.
10．用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图22－3－5中的一种)．设竖档AB＝x米，请根据图中图案回答下列问题：(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有线段的长度和，所有横档和竖档分别与AD，AB平行)
(1)在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？
(2)在图②中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
(3)在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
图22－3－5
解：(1)当不锈钢材料总长度为12米，共有3条竖档时，BC＝eq \f(12－3x,3)＝4－x，
∴矩形框架ABCD的面积为AB·BC＝x(4－x)．
令x(4－x)＝3，解得x＝1或3，
∴当x＝1或3时，矩形框架ABCD的面积为3平方米．
(2)当不锈钢材料总长度为12米，共有4条竖档时，
BC＝eq \f(12－4x,3)，∴矩形框架ABCD的面积S＝x·eq \f(12－4x,3)＝－eq \f(4,3)x2＋4x，
当x＝－eq \f(4,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3))))＝eq \f(3,2)时，S最大值＝3，
∴当x＝eq \f(3,2)时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为3平方米．
(3)当不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档时，BC＝eq \f(a－nx,3)，
∴矩形框架ABCD的面积S＝x·eq \f(a－nx,3)＝－eq \f(n,3)x2＋eq \f(a,3)x，
当x＝－eq \f(\f(a,3),2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(n,3))))＝eq \f(a,2n)时，S最大值＝eq \f(a2,12n)，
∴当x＝eq \f(a,2n)时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为eq \f(a2,12n)平方米．
第2课时 二次函数与最大利润问题 [见B本P24]
1．烟花厂为扬州“烟花三月”国际经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－eq \f(5,2)t2＋20t＋1，若这种礼炮在最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( B )
A．3 s B．4 s
C．5 s D．6 s
【解析】 当t＝－eq \f(b,2a)时，即t＝－eq \f(20,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2))))＝4(s)时，礼炮升到最高点，故选B.
2．某旅行社有100张床位，每床每晚收费20元时，客床可全部租出，若每床每晚每次收费提高4元时，则减少10张床位租出；以每次提高4元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( C )
A．8元或12元 B．8元
C．12元 D．10元
【解析】 设每床每晚应提高x元，则减少出租床eq \f(x,4)·10张，所获利润y＝(20＋x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100－\f(x,4)·10))，
即y＝－eq \f(5,2)x2＋50x＋2 000＝－eq \f(5,2)(x－10)2＋2 250.
由x是4的正整数倍和抛物线y＝－eq \f(5,2)(x－10)2＋2 250关于x＝10对称可知，当x＝8或x＝12时，获利最大，又因为出租床位较少时，投资费用少，故选C.
3．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x＝__4__元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．
【解析】 依题意得y＝x(8－x)＝－(x－4)2＋16，当x＝4时，y取得最大值．
4．将进货单价为70元的某种商品按零售单价100元售出时，每天能卖出20个，若这种商品零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为获得最大利润，应降价__5元__．
【解析】 设降价x元，所获利润为y元，则有y＝(100－70－x)(20＋x)＝－x2＋10x＋600＝－(x－5)2＋625.当x＝5时，y值最大，故应降价5元．
5．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7 000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元(天数不是一天时，按整天计算)．设销售单价为x元，日均获利为y元，那么：
(1)y关于x的二次函数关系式为__y＝－2x2＋260x－6__500(30≤x≤70)__；
(2)当销售单价定为__65__元时，日均获利最大，日均获利最大为__1__950__元．
【解析】 (1)当销售单价为x元时，实际降价了(70－x)元，日均销售量为[60＋2(70－x)]千克，日均获利为[60＋2(70－x)]x－30[60＋2(70－x)]－500＝(x－30)[60＋2(70－x)]－500，
所以y＝(x－30)[60＋2(70－x)]－500
＝－2x2＋260x－6 500(30≤x≤70)．
(2)因为y＝－2x2＋260x－6 500＝－2(x－65)2＋1 950，所以当销售单价定为65元时，日均获利最大，最大利润为1 950元．
6．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖出10件(每件售价不能高于72元)，设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
解：(1)依题意有y＝(60＋x－50)(200－10x)(0
即y＝－10x2＋100x＋2 000(0
(2)y＝－10x2＋100x＋2 000
＝－10(x2－10x)＋2 000＝－10(x－5)2＋2 250，
∴当x＝5时，y有最大值2 250，即当每件商品的售价定为65元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2 250元．
7．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数．
(1)求y与x满足的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？
解：(1)设y与x满足的函数关系式为：y＝kx＋b.
由题意可得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(36＝24k＋b,21＝29k＋b.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－3,b＝108.))
故y与x的函数关系式为：y＝－3x＋108.
(2)每天获得的利润为：P＝(－3x＋108)(x－20)＝－3x2＋168x－2 160＝－3(x－28)2＋192.
故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．
8．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元时，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车，日收益为y元(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)．
(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为________元(用含x的代数式表示)；
(2)当每日租出多少辆车时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？
(3)当每日租出多少辆车时，租赁公司的日收益不盈也不亏？
解：(1)1 400－50x；
(2)y＝x(－50x＋1 400)－4 800＝－50x2＋1 400x－4 800＝－50(x－14)2＋5 000，
当x＝14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5 000，
∴当每日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大是5 000元．
(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，则y＝0，
即－50(x－14)2＋5 000＝0，
解得x1＝24，x2＝4，但x2＝24不合题意，舍去，
∴当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏．
9．某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图22－3－6所示的关系：
图22－3－6
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由所给函数图象得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(130k＋b＝50,150k＋b＝30))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1,b＝180))
∴函数关系式为y＝－x＋180.
(2)W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)
＝－x2＋280x－1 8000
＝－(x－140)2＋1 600，
当售价定为140元时，W最大＝1 600.
∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1 600元．
10．[2013·盐城]水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．
(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？
(2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图22－3－7所示的一次函数关系．
图22－3－7
①求y与x之间的函数关系式；
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收入－进货金额)
解：(1)设现在实际购进这种水果每千克a元，根据题意，得：
80(a＋2)＝88a
解之得：a＝20
答：现在实际购进这种水果每千克20元．
(2)①∵y是x的一次函数，设函数关系式为y＝kx＋b
将(25，165)，(35，55)分别代入y＝kx＋b，得：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(25k＋b＝165,35k＋b＝55))
解得：k＝－11，b＝440
∴y＝－11x＋440
②设最大利润为W元，则
W＝(x－20)(－11x＋440)
＝－11(x－30)2＋1 100
∴当x＝30时，W最大值＝1 100
答：将这种水果的单价定为每千克30元时，能获得最大利润1 100元．
第3课时 二次函数与抛物线形问题[见A本P25]
1．如图22－3－8，济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2＋bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需( D )
图22－3－8
A．30 s B．38 s
C．40 s D．36 s
2．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图22－3－9，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( A )
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
【解析】 y＝－(x2－4x＋4)＋4＝－(x－2)2＋4，水喷出的最大高度是4米．
图22－3－9
图22－3－10
3．如图22－3－10所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式为y＝－eq \f(1,4)x2，当水位线在AB位置时，水面宽为12 m，这时水面离桥顶的高度h是( D )
A．3 m B．2eq \r(6) m C．4eq \r(3) m D．9 m
【解析】 可根据点B的横坐标，求出纵坐标．根据图形知点B的横坐标为6，当x＝6时，y＝－9，∴h＝|－9|＝9，故选D.
4．图22－3－11(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，水面宽4 m，如图22－3－11(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( C )
图22－3－11
A．y＝－2x2 B．y＝2x2
C．y＝－eq \f(1,2)x2 D．y＝eq \f(1,2)x2
【解析】 设抛物物的解析式为y＝ax2，则把(2，－2)代入得－2＝4a，∴a＝－eq \f(1,2)，故选C.
5．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为eq \f(1,2)米，在如图22－3－12所示的坐标系中，
图22－3－12
这个喷泉的函数关系式是( C )
A．y＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋3
B．y＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋3
C．y＝－12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋3
D．y＝－12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋3
【解析】 ∵喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为eq \f(1,2)米，∴抛物线的顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，设抛物线的解析式为y＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋3，而抛物线还经过点(0，0)，∴0＝a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋3，∴a＝－12，∴抛物线的解析式为
y＝－12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋3.
6．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图22－3－13)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( C )
图22－3－13
A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m
【解析】 以2米长线段所在直线为x轴，以其垂直平分线为y轴建立直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的总长度．
7．[2012·绍兴]教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式为y＝－eq \f(1,12)(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是__10__m.
【解析】 令函数式y＝－eq \f(1,12)(x－4)2＋3＝0，
即0＝－eq \f(1,12)(x－4)2＋3，
解得x1＝10，x2＝－2(舍去)，
即铅球推出的距离是10 m.
8．廊桥是我国古老的文化遗产，如图22－3－14是某座抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝－eq \f(1,40)x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是__18__米(精确到1米)．
图22－3－14
【解析】 直接根据E、F点的纵坐标为8，得8＝－eq \f(1,40)x2＋10，解得x2＝80，x≈±9，∴E(－9，8)，F(9，8)，故EF的长约为18米．
图22－3－15
9．如图22－3－15是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为__48__ m.
【解析】 如图所示，建立平面直角坐标系．
设AB与y轴交于点H，
∵AB＝36，
∴AH＝BH＝18，
由题可知：OH＝7，CH＝9，
∴OC＝9＋7＝16，
设该抛物线的解析式为y＝ax2＋k，
∵顶点C(0，16)，
∴抛物线y＝ax2＋16，
代入点(18，7)
∴7＝18×18a＋16，
∴7＝324a＋16，
∴324a＝－9，
∴a＝－eq \f(1,36)
∴抛物线：y＝－eq \f(1,36)x2＋16，
当y＝0时，0＝－eq \f(1,36)x2＋16，
∴－eq \f(1,36)x2＝－16，
∴x2＝16×36＝576
∴x＝±24，
∴E(24，0)，D(－24，0)，
∴OE＝OD＝24，
∴DE＝OD＋OE＝24＋24＝48，
10．如图22－3－16所示，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为__0.5__m.
图22－3－16
第10题答图
【解析】 根据题意可建立如图所示的直角坐标系，设绳子对应的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则此抛物线经过点(0，2.5)，(2，2.5)，(0.5，1)，所以有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝2.5，,4a＋2b＋c＝2.5，,\f(1,4)a＋\f(1,2)b＋c＝1，))解得a＝2，b＝－4，c＝2.5，
∴y＝2x2－4x＋2.5＝2(x－1)2＋0.5，
即抛物线的顶点坐标为(1，0.5)，
所以绳子最低点距离地面的距离为0.5 m.
图22－3－17
11．如图22－3－17，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求这条抛物线的解析式．
【解析】 (1)M在x轴正半轴上，OM＝12，所以M(12，0)，又P为抛物线的最高点，所以P(6，6)；
(2)用顶点式求抛物线解析式．
解：(1)M(12，0)，P(6，6)；
(2)设抛物线的解析式为y＝a(x－6)2＋6.
∵抛物线y＝a(x－6)2＋6经过点(0，0)，
∴0＝a(0－6)2＋6，解得a＝－eq \f(1,6)，
∴抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,6)(x－6)2＋6，
即y＝－eq \f(1,6)x2＋2x.
12．如图22－3－18，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
图22－3－18
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系h＝－eq \f(1,128)(t－19)2＋8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行．
解：(1)∵点C到ED的距离是11米，∴OC＝11，
设抛物线的解析式为y＝ax2＋11，由题意得B点坐标为(8，8)，
∴64a＋11＝8，
解得a＝－eq \f(3,64)，
∴y＝－eq \f(3,64)x2＋11；
(2)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至少为11－5＝6米，
∴6＝－eq \f(1,128)(t－19)2＋8，
即128×6＝－(t－19)2＋128×8
∴(t－19)2＝256，
∴t－19＝±16，
解得t1＝35，t2＝3，
∴35－3＝32(小时)．
答：需32小时禁止船只通行．
13．某汽车在刹车后行驶的距离s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间关系的部分数据如下表：
假设这种变化规律一直延续到汽车停止．
(1)根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；
(2)选择适当的函数表示s与t之间的关系，并求出相应的函数解析式；
(3)①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？
②当t分别为t1，t2(t1
图22－3－19
解：(1)描点如下图：
(2)由散点图可知，此函数为二次函数，设二次函数的解析式为s＝at2＋bt＋c.
将(0，0)，(0.2，2.8)，(1，10)代入上式可得：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝0，,0.04a＋0.2b＋c＝2.8，,a＋b＋c＝10，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－5，,b＝15，,c＝0，))
∴此二次函数的解析式为s＝－5t2＋15t.
(3)①汽车刹车后到停止时的距离即为汽车滑行的最大距离．
当t＝－eq \f(15,2×（－5）)＝eq \f(3,2)时，滑行距离最大，且s＝eq \f(0－152,4×（－5）)＝eq \f(225,20)＝eq \f(45,4)，∴刹车后汽车行驶了eq \f(45,4)米才停止．
②由题意可知：eq \f(s1,t1)＝eq \f(－5t12＋15t1,t1)＝－5t1＋15；
eq \f(s2,t2)＝eq \f(－5t22＋15t2,t2)＝－5t2＋15，∴eq \f(s1,t1)－eq \f(s2,t2)＝5(t2－t1)．
又∵t1
eq \f(s1,t1)>eq \f(s2,t2)的实际意义是刹车后到t2时间内的平均速度小于刹车后到t1时间内的平均速度．
时间t(秒)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
…
行驶距离s(米)
0
2.8
5.2
7.2
8.8
10
10.8
…
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