初中数学北师大版八年级上册7 二次根式第2课时教案设计

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第2课时 二次根式的运算


【上节知识回顾】


1．关于二次根式的概念，要注意以下几点：


（1）从形式上看，二次根式是以根号“”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步运算。如，等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算；


（2）当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式（整式或分式）时，虽然最后运算不是开方而是乘法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式，而前面与其相乘的有理数或有理式就叫做二次根式的系数；


（3）二次根式的被开方数，可以是某个确定的非负实数，也可以是某个代数式表示的数，但其中所含字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数；


（4）像“，”等虽然可以进行开方运算，但它们仍属于二次根式。


2．二次根式的主要性质


（1）； （2）； （3）；


（4）积的算术平方根的性质：；


（5）商的算术平方根的性质：；


（6）若，则。


3．注意与的运用。


【新授】


一、二次根式的乘法


一、复习引入


1．填空 （1）×=_______，=______；


（2）×=_______，=________．


（3）×=________，=_______．


参考上面的结果，用“>、0）， 反过来，=（a≥0，b>0）


例1．计算：（1） （2） （3） （4）


例2．化简：


（1） （2） （3） （4）


例3．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．


三、分母有理化


两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。对于有理化因式，要注意以下四点：


(1)它们必须是成对出现的两个代数式；


(2)这两个代数式都是二次根式；


(3)这两个代数式的积不含有二次根式；


(4)一个二次根式，可以与几个不同的代数式互为有理化因式。


①单项： （单项二次根式的有理化因式是它本身）；


②两项： （平方差公式）。


在进行二次根式的除法运算时，把分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的一般方法是：先将分母的二次根式化简，再选择一个适当的代数式同时乘以分子与分母，把分母的根号化去；特殊情况可用特殊的方法化去分母的根号，如约分．





例1. 判断题：(1) 的理化因式是


(2)


(3)的有理化因式


例2. 将进行分母有理化





例3．观察下列各式，通过分母有理化，进行化简：


==-1，


==-，


同理可得：=-，……


从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算


（+++……）（+1）的值．


把形如的式子分母有理化，可以应用以下三种方法：


（1）将分子与分母乘以同一个代数式，使分母有理化，即；


（2）逆用关系式，把分子与分母中的公因式直接约分，得；


（3）逆用关系式，再根据二次根式的除法法则进行约分，即练习：选择恰当的方法把下列各式的分母有理化：


（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．


四、二次根式的加减


1计算下列各式．


（1）2+3 （2）2-3+5 （3）+2+3 （4）3-2+


二次根式加减法的法则


二次根式相加减，先把各个二次根式化简成最简二次根式，在把同类二次根式分别合并。合并同类二次根式与合并同类项类似，因此，二次根式的加减可以对比整式的加减进行。


例1.计算：(1) (2)


例2．计算


（1）3-9+3 （2）（+）+（-）


例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．


例4．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）





例5．已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，化简+，并求值．


五、 二次根式运算中的技巧


例1：计算








例2：化简：





例3：化简：