人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念优质教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念优质教案，共11页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


1.了解集合的含义，会使用符号“ SKIPIF 1 < 0 ”“ SKIPIF 1 < 0 ”表示元素与集合之间的关系．


2.能选择自然语言、图象语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．


3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等．


【要点梳理】


集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.


要点一、集合的有关概念


1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.


2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.


3．关于集合的元素的特征


(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.


(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.


(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.


4．元素与集合的关系：


(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belng t)A，记作a SKIPIF 1 < 0 A


(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(nt belng t)A，记作 SKIPIF 1 < 0


5．集合的分类


(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作： SKIPIF 1 < 0 .


(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.


(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.





6．常用数集及其表示


非负整数集(或自然数集)，记作N


正整数集，记作N*或N+


整数集，记作Z


有理数集，记作Q


实数集，记作R


要点二、集合的表示方法


我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.


1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.


2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，….


3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.


4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法. 如下图，就表示集合 SKIPIF 1 < 0 .


1，2，3，4





【典型例题】 SHAPE \* MERGEFORMAT


类型一：集合的概念及元素的性质


例1 集合 SKIPIF 1 < 0 由形如 SKIPIF 1 < 0 的数构成的，判断 SKIPIF 1 < 0 是不是集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素？








举一反三：


【变式1】设 SKIPIF 1 < 0


(1)若a SKIPIF 1 < 0 Z，则是否有a SKIPIF 1 < 0 S？


(2)对S中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1·x2，是否属于集合S？














类型二：元素与集合的关系


例2.用符号“ SKIPIF 1 < 0 ”或“ SKIPIF 1 < 0 ”填空．


(1) SKIPIF 1 < 0


(2) SKIPIF 1 < 0


(3) SKIPIF 1 < 0





举一反三：


【变式1】 用符号“ SKIPIF 1 < 0 ”或“ SKIPIF 1 < 0 ”填空


（1）若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；-2 SKIPIF 1 < 0 .


（2）若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；-2 SKIPIF 1 < 0 .


例3.设 SKIPIF 1 < 0 是至少含有两个元素的集合，在 SKIPIF 1 < 0 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，对于有序元素对（a,b）,在 SKIPIF 1 < 0 中唯一确定的元素 SKIPIF 1 < 0 与之对应），若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，则对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，下列等式中不恒成立的是（ ）


A. SKIPIF 1 < 0


B. SKIPIF 1 < 0


C. SKIPIF 1 < 0


D. SKIPIF 1 < 0


举一反三：


【变式1】定义集合运算： SKIPIF 1 < 0 .


设集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则集合 SKIPIF 1 < 0 的所有元素之和为


A. 0 B. 6 C. 12 D. 18


例4. SKIPIF 1 < 0 ，则M=( )


A. {2，3} B. {1，2，3，4} C. {1，2，3，6} D. {-1，2，3，4}


集合的表示及运算


例5. 设集合 SKIPIF 1 < 0 ={x SKIPIF 1 < 0 | SKIPIF 1 < 0 }，当集合 SKIPIF 1 < 0 为单元素集时，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值.














例6.已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值及集合 SKIPIF 1 < 0 .

















举一反三：


【变式1】已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值























例7．设 SKIPIF 1 < 0 是实数集，且满足条件：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .


（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 中必还有另外两个元素；


（2）集合 SKIPIF 1 < 0 不可能是单元素集；


（3）集合 SKIPIF 1 < 0 中至少有三个不同的元素.




















类型四：集合的表示方法


例8．试分别用列举法和描述法表示下列集合：


(1)方程 SKIPIF 1 < 0 的所有实数根组成的集合；


(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.














举一反三：


【变式1】用列举法表示集合：


(1)A={x SKIPIF 1 < 0 R|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0}


(2)B={(x，y)|x+y=3， x SKIPIF 1 < 0 N， y SKIPIF 1 < 0 N}


(3)C={y|x+y=3，x SKIPIF 1 < 0 N， y SKIPIF 1 < 0 N}


(4) SKIPIF 1 < 0


(5) SKIPIF 1 < 0


(6)P={x|x(x-a)=0， a SKIPIF 1 < 0 R}





【变式2】用适当的方法表示下列集合：


（1）比5大3的数；


（2）方程 SKIPIF 1 < 0 的解集；


（3）二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上的所有点组成的集合。








































































































参考答案


例1 答案：是


解析：由分母有理化得， SKIPIF 1 < 0 .由题中集合 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0


均有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .


点评：（1）解答本题首先要理解 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的， SKIPIF 1 < 0 能否化成此形式，进而去判断 SKIPIF 1 < 0 是不是集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素.


（2）判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.


【变式1】解：(1)若a SKIPIF 1 < 0 Z，则有a SKIPIF 1 < 0 S，即n=0时，x SKIPIF 1 < 0 Z，∴a SKIPIF 1 < 0 S；


(2) SKIPIF 1 < 0 x1，x2 SKIPIF 1 < 0 S，则 SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


∵m1，n1，m2，n2 SKIPIF 1 < 0 Z，∴m1m2+2n1n2 SKIPIF 1 < 0 Z，m1n2+m2n1 SKIPIF 1 < 0 Z


∴x1·x2 SKIPIF 1 < 0 S.


例2.解析：给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为 SKIPIF 1 < 0 ，或者 SKIPIF 1 < 0 ，二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.


(1) SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0


令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0


(3) ∵(-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x2，


∴ SKIPIF 1 < 0


点评：第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合 SKIPIF 1 < 0 这个“口袋”中是装了些x呢？还是装了些n呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“｜”左边的元素组成的，符号“｜”右边的部分表示x具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合 SKIPIF 1 < 0 这个“口袋”是由y构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合 SKIPIF 1 < 0 是由抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的所有点构成的，是一个点集.


【变式1】 答案：（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0


例3.答案： A


解析：抓住本题的本质 SKIPIF 1 < 0 恒成立. SKIPIF 1 < 0 只要为 SKIPIF 1 < 0 中元素即可有 SKIPIF 1 < 0 . B中由已知即为 SKIPIF 1 < 0 符合已知条件形式. SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 即可. D中 SKIPIF 1 < 0 相当于已知中的 SKIPIF 1 < 0 也正确.只有A不一定正确.


点评：本题应紧紧抓住关系式 SKIPIF 1 < 0 ，即关系式中有三个数，其中有两个数相同且分别在两边，此时关系式等于中间的数，只要分析出这个特点即可解决.


【变式1】答案： D


解析： SKIPIF 1 < 0 ，


SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，


于是 SKIPIF 1 < 0 的所有元素之和为0+6+12=18.


点评：这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.


例4. 答案：D


解析：集合中的元素满足是整数，且能够使 SKIPIF 1 < 0 是自然数，所以 SKIPIF 1 < 0


由a SKIPIF 1 < 0 Z，所以-1≤a≤4


当a=-1时， SKIPIF 1 < 0 符合题意；


当a=0时， SKIPIF 1 < 0 不符合题意；


当a=1时， SKIPIF 1 < 0 不符合题意；


当a=2时， SKIPIF 1 < 0 符合题意；


当a=3时， SKIPIF 1 < 0 符合题意；


当a=4时， SKIPIF 1 < 0 符合题意.


故a=-1，a=2，a=3，a=4为M中元素，即M={-1，2，3，4}，选项D正确.


例5. 答案：0，1


解析：由集合 SKIPIF 1 < 0 中只含有一个元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：


当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.


当a≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.


例6.答案： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 解析：（1）若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 .


所以 SKIPIF 1 < 0 ，与集合中元素的互异性矛盾，则 SKIPIF 1 < 0 应舍去.


（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，


当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 满足题意；


当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，与集合中元素的互异性矛盾，则 SKIPIF 1 < 0 应舍去.


（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，由上分析知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均应舍去.


综上， SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 .


点评：本题中由于1和集合 SKIPIF 1 < 0 中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此类问题在解答时，既要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须在学习中引起足够的重视.


【变式1】答案： SKIPIF 1 < 0


解析：当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足题意；


当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，与集合的概念矛盾，不满足题意舍去，


SKIPIF 1 < 0 时， 由上面知，满足题意故 SKIPIF 1 < 0


例7．答案：（1） SKIPIF 1 < 0 （2）略 （3）略


解析：（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，


故集合 SKIPIF 1 < 0 中还含有 SKIPIF 1 < 0 两个元素.


（2）若 SKIPIF 1 < 0 为单元素集，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此方程无实数解， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都为集合 SKIPIF 1 < 0 的元素，则 SKIPIF 1 < 0 不可能是单元素集.


（3）由已知 SKIPIF 1 < 0 .现只需证明 SKIPIF 1 < 0 三个数互不相等.


①若 SKIPIF 1 < 0 方程无解， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；


②若 SKIPIF 1 < 0 ，方程无解， SKIPIF 1 < 0 ；


③若 SKIPIF 1 < 0 ，方程无解， SKIPIF 1 < 0 ，


故集合 SKIPIF 1 < 0 中至少有三个不同的元素.


点评：集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点.


例8．答案： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 。


解析：(1)设方程 SKIPIF 1 < 0 的实数根为x，并且满足条件 SKIPIF 1 < 0


因此，用描述法表示为 SKIPIF 1 < 0 ；


方程 SKIPIF 1 < 0 有两个实数根 SKIPIF 1 < 0


因此，用列举法表示为 SKIPIF 1 < 0 .


(2)设大于15小于25的整数为x，它满足条件 SKIPIF 1 < 0 ，且15

因此，用描述法表示为 SKIPIF 1 < 0 ；


大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24，


因此，用列举法表示为 SKIPIF 1 < 0 .


点评：


（1）列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开.


（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然.


（3）用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，同时要注意代表元素所具有的性质.


【变式1】解析：本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什么.


(1)A={1，-2，-1，2}


(2)B={(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)}


(3)C={0，1，2，3}


(4)D={(0，0)}


(5)M={0}


(6)当a≠0时，P={0，a}；当a=0时，P={0}.


点评：此例题（2）与（3），（4）与（5）两组都是考察代表元素的，而（6）考察了集合元素的互异性，遇到代数式时，能否意识到字母a SKIPIF 1 < 0 R，需要分类讨论.


【变式2】答案：（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 。


解析：（1）比5大3的数显然是8，故可表示为 SKIPIF 1 < 0 。


（2）方程 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，


SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 方程的解集为 SKIPIF 1 < 0 。


（3）用描述法表示为 SKIPIF 1 < 0 。


点评：用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合。