高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质优质教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质优质教学设计，共12页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，思路点拨，总结升华等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


1.理解函数的奇偶性定义；


2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；


3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.


【要点梳理】


要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤


1．函数奇偶性的概念


偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.


奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.


要点诠释：


（1）奇偶性是整体性质；


（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；


（3）f(-x)=f(x)的等价形式为： SKIPIF 1 < 0 ，


f(-x)=-f(x)的等价形式为： SKIPIF 1 < 0 ；


（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；


（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.


2.奇偶函数的图象与性质


（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.


（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，则这个函数是偶函数.


3.用定义判断函数奇偶性的步骤


（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；


（2）结合函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域，化简函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；


（3）求 SKIPIF 1 < 0 ，可根据 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的关系，判断函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性.


若 SKIPIF 1 < 0 =- SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是奇函数；


若 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是偶函数；


若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 既不是奇函数，也不是偶函数；


若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 =- SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 既是奇函数，又是偶函数


要点二、判断函数奇偶性的常用方法


（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之一是否相等.


（2）验证法：在判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系时，只需验证 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =0及 SKIPIF 1 < 0 是否成立即可.


（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（ SKIPIF 1 < 0 轴）对称.


（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.


（5）分段函数奇偶性的判断


判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量 SKIPIF 1 < 0 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系.首先要特别注意 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.


要点三、关于函数奇偶性的常见结论


奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则 SKIPIF 1 < 0 在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知 SKIPIF 1 < 0 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则 SKIPIF 1 < 0 在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.








【典型例题】


类型一、判断函数的奇偶性


例1. 判断下列函数的奇偶性：


(1) SKIPIF 1 < 0 ； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；


(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4) SKIPIF 1 < 0 ；


(5) SKIPIF 1 < 0 ； (6) SKIPIF 1 < 0 ．
































举一反三：


【变式1】判断下列函数的奇偶性：


(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；


(3) SKIPIF 1 < 0 ； (4) SKIPIF 1 < 0 .












































【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，


f(x)·g(x)为偶函数.


























【变式3】设函数 SKIPIF 1 < 0 和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，


则下列结论恒成立的是 （ ）.


A． SKIPIF 1 < 0 +|g(x)|是偶函数 B． SKIPIF 1 < 0 -|g(x)|是奇函数


C．| SKIPIF 1 < 0 | +g(x)是偶函数 D．| SKIPIF 1 < 0 |- g(x)是奇函数





类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)


例2.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).























举一反三：


【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 ．





例3.已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的奇函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，


求 SKIPIF 1 < 0 的解析式．





























举一反三：


【变式1】


（1）已知偶函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是R，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的解析式.


（2）已知奇函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是R，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的解析式.


























例4.设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在[0，2]上是单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.


























类型三、函数奇偶性的综合问题


例5．设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.


















































举一反三：


【变式1】 判断 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性．









































例6. 已知 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间．





















































参考答案


【典型例题】


类型一、判断函数的奇偶性


例1. 判断下列函数的奇偶性：


(1) SKIPIF 1 < 0 ； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；


(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4) SKIPIF 1 < 0 ；


(5) SKIPIF 1 < 0 ； (6) SKIPIF 1 < 0 ．


【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.


【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．


【解析】(1)∵f(x)的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；


(2)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ；


(3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；


(4) SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0 ，∴f(x)为奇函数；


(5)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；


(6) SKIPIF 1 < 0 ，∴f(x)为奇函数.


【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉 SKIPIF 1 < 0 的绝对值符号时就十分麻烦.


举一反三：


【变式1】判断下列函数的奇偶性：


(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 ；


(4) SKIPIF 1 < 0 .


【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．


【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，


又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是奇函数．


（2） SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，


又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是偶函数．


（3）函数定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，定义域不关于原点对称，∴ SKIPIF 1 < 0 为非奇非偶函数．


（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)


任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)


x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.


【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】


【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.


证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则


F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)


G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)


∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.


【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例2（2）】


【变式3】设函数 SKIPIF 1 < 0 和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论


恒成立的是 （ ）.


A． SKIPIF 1 < 0 +|g(x)|是偶函数 B． SKIPIF 1 < 0 -|g(x)|是奇函数


C．| SKIPIF 1 < 0 | +g(x)是偶函数 D．| SKIPIF 1 < 0 |- g(x)是奇函数


【答案】A


类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)


例2.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).


【答案】-26


【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10


∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26


法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数


∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8


∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.


【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x5+ax3-bx为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题 SKIPIF 1 < 0 便能迎刃而解.


举一反三：


【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为（ ）．


【答案】6


【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ．


例3.已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的奇函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的解析式．


【答案】 SKIPIF 1 < 0


【解析】 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的奇函数，


SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，


SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0


又奇函数 SKIPIF 1 < 0 在原点有定义， SKIPIF 1 < 0 ．


SKIPIF 1 < 0


【总结升华】若奇函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处有意义，则必有 SKIPIF 1 < 0 ，即它的图象必过原点（0，0）．


举一反三：


【高清课堂：函数的奇偶性356732 例3】


【变式1】（1）已知偶函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是R，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的解析式.


（2）已知奇函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是R，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的解析式.


【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0


例4.设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在[0，2]上是单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.


【答案】 SKIPIF 1 < 0


【解析】∵f(a-1)

而|a+1|，|a|∈[0，2]


SKIPIF 1 < 0 .


【总结升华】若一个函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，则一定有 SKIPIF 1 < 0 ，这样就减少了讨论的麻烦．


类型三、函数奇偶性的综合问题


例5．设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.


【思路点拨】对a进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。


【答案】当a=0时，函数为偶函数；当a≠0时，函数为非奇非偶函数. 当 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 .


【解析】当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；


当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.


(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0


① SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0


② SKIPIF 1 < 0 上单调递增，


SKIPIF 1 < 0 上的最小值为f(a)=a2+1.


(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0


① SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0


② SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0


综上： SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0 .


举一反三：


【变式1】 判断 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性．


【答案】当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 既是奇函数，又是偶函数；


当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数．


【解析】对 SKIPIF 1 < 0 进行分类讨论．


若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．


SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 定义域 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称， SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 既是奇函数，又是偶函数．


当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是奇函数．


综上，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 既是奇函数，又是偶函数；


当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数．


例6. 已知 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间．


【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。


【答案】[0，1]和（―∞，―1]


【解析】 ∵ SKIPIF 1 < 0 是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴ SKIPIF 1 < 0 在（－∞，0]上是增函数．


设u=1―x2，则函数 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 与函数u=1―x2的复合函数．


∵当0≤x≤1时，u是减函数，且u≥0，而u≥0时， SKIPIF 1 < 0 是减函数，根据复合函数的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 是增函数．


∵当x≤－1时，u是增函数，且u≤0，而u≤0时， SKIPIF 1 < 0 是增函数，根据复合函数的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 是增函数．


同理可得当－1≤x≤0或x≥1时， SKIPIF 1 < 0 是减函数．


∴所求的递增区间为[0，1]和（―∞，―1]．


【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．


（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错．确定x的取值范围时，必须考虑相应的u的取值范围．本例中，x≥1时，u仍是减函数，但此时u≤0，不属于 SKIPIF 1 < 0 的减区间，所以不能取x≥1，这是应当特别注意的．