人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数公开课教学设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数公开课教学设计，共9页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，总结升华等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】


1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；


2.了解常用对数与自然对数的意义；


3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；


4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．


5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．


【要点梳理】


要点一、对数概念


1.对数的概念


如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:lgaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.


要点诠释：


对数式lgaN=b中各字母的取值范围是：a>0且a1， N>0， bR.


2.对数 SKIPIF 1 < 0 具有下列性质：


(1)0和负数没有对数，即 SKIPIF 1 < 0 ；


(2)1的对数为0，即 SKIPIF 1 < 0 ；


(3)底的对数等于1，即 SKIPIF 1 < 0 .


3．两种特殊的对数


通常将以10为底的对数叫做常用对数， SKIPIF 1 < 0 .以e（e是一个无理数， SKIPIF 1 < 0 ）为底的对数叫做自然对数， SKIPIF 1 < 0 .


4．对数式与指数式的关系


由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.


SKIPIF 1 < 0


由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.


要点二、对数的运算法则


已知 SKIPIF 1 < 0


(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；


SKIPIF 1 < 0


推广： SKIPIF 1 < 0


(2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；


SKIPIF 1 < 0


(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；


SKIPIF 1 < 0


要点诠释：


（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：lg2(-3)(-5)=lg2(-3)+lg2(-5)是不成立的，因为虽然lg2(-3)(-5)是存在的，但lg2(-3)与lg2(-5)是不存在的.


（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：


lga(MN)=lgaMlgaN，


lga(M·N)=lgaM·lgaN，


lga SKIPIF 1 < 0 .


要点三、对数公式


1．对数恒等式：


SKIPIF 1 < 0


2．换底公式


同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有:


(1) SKIPIF 1 < 0


令 lgaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即 SKIPIF 1 < 0 ， 即 SKIPIF 1 < 0 ，即: SKIPIF 1 < 0 .


(2) SKIPIF 1 < 0 ，令lgaM=b， 则有ab=M， 则有 SKIPIF 1 < 0


即 SKIPIF 1 < 0 ， 即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0


当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:


SKIPIF 1 < 0 .





【典型例题】


类型一、对数的概念


例1.求下列各式中 SKIPIF 1 < 0 的取值范围：


（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ．





























举一反三：


【变式1】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 ．








类型二、指数式与对数式互化及其应用


例2.将下列指数式与对数式互化：


(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 ；


(4) SKIPIF 1 < 0 ；(5) SKIPIF 1 < 0 ；(6) SKIPIF 1 < 0 .














举一反三：


【变式1】求下列各式中x的值：


(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3)lg1000=x (4) SKIPIF 1 < 0

















【变式2】计算： SKIPIF 1 < 0 并比较．

















类型三、利用对数恒等式化简求值


例3．求值： SKIPIF 1 < 0











举一反三：


【变式1】求 SKIPIF 1 < 0 的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)








类型四、积、商、幂的对数


例4. SKIPIF 1 < 0 表示下列各式


SKIPIF 1 < 0














举一反三：


【变式1】求值


(1) SKIPIF 1 < 0


(2)lg2·lg50+(lg5)2


(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2





























类型五、换底公式的运用


例5.已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．

















举一反三：


【变式1】求值：


(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 .























类型六、对数运算法则的应用


例6.求值


(1) SKIPIF 1 < 0


(2) SKIPIF 1 < 0


(3) SKIPIF 1 < 0


(4) SKIPIF 1 < 0

















举一反三：


【变式1】计算下列各式的值


（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．





























【变式2】求值： SKIPIF 1 < 0




















参考答案


【典型例题】


类型一、对数的概念


例1.求下列各式中 SKIPIF 1 < 0 的取值范围：


（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ．


【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0


【解析】（1）由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即为所求．


（2）由题意 SKIPIF 1 < 0


即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．


（3）由题意 SKIPIF 1 < 0


解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．


【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．


举一反三：


【变式1】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 ．


【答案】 SKIPIF 1 < 0


类型二、指数式与对数式互化及其应用


例2.将下列指数式与对数式互化：


(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 ；(4) SKIPIF 1 < 0 ；(5) SKIPIF 1 < 0 ；(6) SKIPIF 1 < 0 .


【解析】运用对数的定义进行互化.


(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 ；(4) SKIPIF 1 < 0 ；(5) SKIPIF 1 < 0 ；(6) SKIPIF 1 < 0 .


【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.


举一反三：


【变式1】求下列各式中x的值：


(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3)lg1000=x (4) SKIPIF 1 < 0


【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）3；（4）-4．


【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.


(1) SKIPIF 1 < 0 ；


(2) SKIPIF 1 < 0 ；


(3)10x=1000=103，于是x=3；


(4)由 SKIPIF 1 < 0 .


高清课程：对数及对数运算 例1


【变式2】计算： SKIPIF 1 < 0 并比较．


【解析】 SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0 ．


类型三、利用对数恒等式化简求值


例3．求值： SKIPIF 1 < 0


【答案】35


【解析】 SKIPIF 1 < 0 .


【总结升华】对数恒等式 SKIPIF 1 < 0 中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.


举一反三：


【变式1】求 SKIPIF 1 < 0 的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)


【答案】 SKIPIF 1 < 0


【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.


SKIPIF 1 < 0 .


类型四、积、商、幂的对数


高清课程：对数及对数运算例3


例4. SKIPIF 1 < 0 表示下列各式


SKIPIF 1 < 0


【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ；


（2） SKIPIF 1 < 0 ；


（3） SKIPIF 1 < 0 ；


（4） SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ．


【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．


举一反三：


【变式1】求值


(1) SKIPIF 1 < 0 (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2


【答案】（1）22；（2）1；（3）2．


【解析】(1) SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1


(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2


=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.


类型五、换底公式的运用


例5.已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．


【答案】 SKIPIF 1 < 0


【解析】


解法一： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，


于是 SKIPIF 1 < 0 ．


解法二： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，


于是 SKIPIF 1 < 0


解法三： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，


SKIPIF 1 < 0 ．


解法四： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0


又 SKIPIF 1 < 0 ．


令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，


即 SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0 ．


【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．


（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．


（3）解决这类问题要注意隐含条件“ SKIPIF 1 < 0 ”的灵活运用．


举一反三：


【变式1】求值：(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 .


【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ．


【解析】(1) SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0 ；


(2) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；


(3)法一： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0


法二： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .


类型六、对数运算法则的应用


例6.求值


(1) SKIPIF 1 < 0


(2) SKIPIF 1 < 0


(3) SKIPIF 1 < 0


(4) SKIPIF 1 < 0


【答案】（1）-10；（2）0；（3）3；（4）13


【解析】(1)原式= SKIPIF 1 < 0


(2) 原式= SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0


(3)原式= SKIPIF 1 < 0


(4)原式 SKIPIF 1 < 0


举一反三：


【变式1】计算下列各式的值


（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．


【答案】（1）3；（2）1．


【解析】（1）原式= SKIPIF 1 < 0 =2 SKIPIF 1 < 0 =2+1=3；


（2）原式= SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0 ．


【变式2】求值： SKIPIF 1 < 0


【答案】2


【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0


另解：设 SKIPIF 1 < 0 =m (m>0).∴ SKIPIF 1 < 0 ，


∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，


∴ lg2=lgm， ∴ 2=m，即 SKIPIF 1 < 0 .