高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）精品教学设计及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）精品教学设计及反思，共10页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，总结升华，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.


2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用.


3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识.


【要点梳理】


【高清课堂：函数模型的应用实例392115 知识要点】


要点一：解答应用问题的基本思想和步骤


1.解应用题的基本思想





2.解答函数应用题的基本步骤


求解函数应用题时一般按以下几步进行：


第一步：审题


弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.


第二步：建模


在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.


第三步：求模


运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.


第四步：还原


把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.


上述四步可概括为以下流程：


实际问题(文字语言) SKIPIF 1 < 0 数学问题(数量关系与函数模型) SKIPIF 1 < 0 建模(数学语言) SKIPIF 1 < 0 求模(求解数学问题) SKIPIF 1 < 0 反馈(还原成实际问题的解答).


要点二：解答函数应用题应注意的问题


首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.


其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.


其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.


【典型例题】


类型一、已建立函数模型的应用题


例1.2011年3月11日，日本发生强烈地震，继而引发海啸．日本地震监测机构最初公布的报告称，这次地震的震级为里氏8.4级，但美国地质勘探局测定的震级为里氏8.9级，已知里氏震级R与地震释放的能量E的关系为 SKIPIF 1 < 0 ，那么里氏8.9级的地震释放的能量大约是里氏8.4级的地震释放的能量的多少倍？(已知 SKIPIF 1 < 0 )






































举一反三：


【变式一】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式 SKIPIF 1 < 0 ，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．


(Ⅰ)求a的值。


























类型二、自建函数模型的应用问题


例2. 某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？
































举一反三：


【变式1】某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．


（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？


（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f (x)的表达式；


（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个时，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）













































































例3．某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).


(1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,求内环线列车的最小平均速度;


(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有 SKIPIF 1 < 0 列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过 SKIPIF 1 < 0 分钟,问:内、外环线应各投入几列列车运行?












































类型三、拟和函数模型的应用问题


例4. 某汽车公司曾在2009年初公告：2009年销量目标定为39.3万辆；且该公司重事长极力表示有信心完成这个销量目标．


2006年，某汽车年销量8万辆；


2007年，某汽车年销量18万辆；


2008年，某汽车年销量30万辆．


如果我们分别将2006，2007，2008，2009年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x)=ax2+bx+c（a≠0），指数函数型g (x)=a·bx+c（a≠0，b≠1，b＞0），哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？















































举一反三：


【变式1】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：


若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？








































































































参考答案


类型一、已建立函数模型的应用题


例1.2011年3月11日，日本发生强烈地震，继而引发海啸．日本地震监测机构最初公布的报告称，这次地震的震级为里氏8.4级，但美国地质勘探局测定的震级为里氏8.9级，已知里氏震级R与地震释放的能量E的关系为 SKIPIF 1 < 0 ，那么里氏8.9级的地震释放的能量大约是里氏8.4级的地震释放的能量的多少倍？(已知 SKIPIF 1 < 0 )


【答案】5.62


【解析】依题意 SKIPIF 1 < 0 ，于是


里氏8.9级的地震释放的能量为 SKIPIF 1 < 0


里氏8.4级的地震释放的能量为 SKIPIF 1 < 0 ．


故所求结果为 SKIPIF 1 < 0 ．


【总结升华】当函数模型已给定后，只需对问题进行定量分析，套用了现成的公式即可把问题解决．


举一反三：


【变式一】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式 SKIPIF 1 < 0 ，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．


(Ⅰ)求a的值。


【答案】2


【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0


【总结升华】对于已经给出的函数模型问题，只需通过题目给出的数据信息，进行推理与计算，也就是准确地理解题意，再利用函数相关知识和数学方法把问题解决．


类型二、自建函数模型的应用问题


例2. 某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？


【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值。


【答案】4


【解析】设每年购买和贮存元件总费用为y元，其中购买成本费为固定投入，设为c元，


则 SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0 ，


当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即n=4时，y取得最小值且ymin=4000+c．


所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．


【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数 SKIPIF 1 < 0 在（0，+∞）上的单调性求最值．


举一反三：


【变式1】某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．


（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？


（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f (x)的表达式；


（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个时，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）


【答案】（1）550


（2） SKIPIF 1 < 0


（3）6000 11000


【解析】（1）设零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则


SKIPIF 1 < 0 ．


因此，当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元．


（2）当0＜x≤100时，P=60．


当100＜x＜550时， SKIPIF 1 < 0 ．


当x≥550时，P=51．


∴ SKIPIF 1 < 0


（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则


SKIPIF 1 < 0


当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000．


因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个时，利润是11000元．


【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例2】


例3．某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).


(1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,求内环线列车的最小平均速度;


(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有 SKIPIF 1 < 0 列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过 SKIPIF 1 < 0 分钟,问:内、外环线应各投入几列列车运行?


【思路点拨】（1）根据题意列出不等式求解（2）列出不等式求解，因为计算过程中，数字比较大，可以使用计算器。


【答案】（1）20（2）10 8


【解析】


（1）设内环线列车平均速度最小为 SKIPIF 1 < 0


由题得： SKIPIF 1 < 0


解得 SKIPIF 1 < 0 。


答：内环线列车的最小平均速度为每小时20千米。


（2）设内、外环线分别投入列车数量为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 列


由题得： SKIPIF 1 < 0


即 SKIPIF 1 < 0


得 SKIPIF 1 < 0 ，


解得： SKIPIF 1 < 0 ，由计算器得： SKIPIF 1 < 0 。


答：内、外环线应各投入10列、8列列车运行，才能使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过 SKIPIF 1 < 0 分钟


类型三、拟和函数模型的应用问题


例4. 某汽车公司曾在2009年初公告：2009年销量目标定为39.3万辆；且该公司重事长极力表示有信心完成这个销量目标．


2006年，某汽车年销量8万辆；


2007年，某汽车年销量18万辆；


2008年，某汽车年销量30万辆．


如果我们分别将2006，2007，2008，2009年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x)=ax2+bx+c（a≠0），指数函数型g (x)=a·bx+c（a≠0，b≠1，b＞0），哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？


【解析】 建立年销量y（万辆）与第x年的函数，可知函数图象必过点（1，8），（2，18），（3，30）．


（1）构造二次函数型f (x)=ax2+bx+c（a≠0），


将点的坐标代入，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．


则f (x)=x2+7x，故f (4)=44，与计划误差为4.7．


（2）构造指函数型g (x)=a·bx+c，将点的坐标代入，


可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，


故 SKIPIF 1 < 0 ，与计划误差为5.1．


由上可得f (x)=x2+7x模型能更好地反映该公司年销量y（万辆）与第x年的关系．


【总结升华】某个函数模型能否更好地反映变量间的关系，必须与实际数据的误差相对较小．


举一反三：


【变式1】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：


若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？


【解析】 本例没有给出函数模型，所以我们要先画出草图，再根据图象与我们学习过的函数图象进行比较，猜测出函数模型.


体重


身高


SKIPIF 1 < 0


●


●


●


●


●


●


●


●


●


●


以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出由离散点构成的草图，如图所示．


根据点的分布情况，结合以前学过的指数函数图象特征，可猜测以 SKIPIF 1 < 0 (a＞0，a≠1 )为男性的体重与身高关系的函数模型．


把点(70，7.90)、(160，47.25)代入函数以 SKIPIF 1 < 0 中，得


SKIPIF 1 < 0 使用计算器可求得 SKIPIF 1 < 0


所以，函数模型为 SKIPIF 1 < 0 ．


用计算器验证其它点与模拟函数的关系，发现拟和程度相符．


再将x=175代入函数式 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，用计算器求得y≈63.98．


因为 SKIPIF 1 < 0 ≈1.22＞1.2，所以，这个男生偏胖．


【总结升华】由于本题没有给出函数模型，因此需要根据题目中的有关数据描绘出基本草图，然后根据直观性，去和已学过的有关函数图象对照、比较，由此猜测函数模型．在解此类问题的过程中，首先需要在实际的情境中去理解、分析所给的一系列数据，舍弃与解题无关的因素，抽象转化为数学模型．


身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05