数学人教版21.3 实际问题与一元二次方程获奖课件ppt
展开1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.(难点)2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.(重点)
问题 某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道,使其中两条与AB平行,另外一条与AD平行,其余部分种花草,要使每一块花草的面积都为78m2,那么通道宽应该设计为多少?设通道宽为xm,则由题意列的方程为_____________________.
(30-2x)(20-x)=6×78
引例:要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?(精确到0.1cm)
分析:这本书的长宽之比 : 正中央的矩形长宽之比 : ,上下边衬与左右边衬之比 : .
解:设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由此得到上下边衬宽度之比为:
解:设上下边衬的9xcm,左右边衬宽为7xcm依题意得
方程的哪个根合乎实际意义?为什么?
试一试:如果换一种设未知数的方法,是否可以更简单地解决上面的问题?
解:设正中央的矩形两边别为9xcm,7xcm.依题意得
例1:如图所示,在△ABC中,∠C=90°, AC=6cm,BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动;同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动,且当其中一点到达终点时,另一点也随之停止移动.问点P,Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²?
根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm
解:若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm²
解得 x1= x2=3
答:点P,Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².
主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;
例2:如图,在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求道路的宽为多少?
解:设道路的宽为 x 米
(32-x)(20-x)=540
整理,得x2-52x+100=0
解得 x1=2,x2=50
当x=50时,32-x=-18,不合题意,舍去.
在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求这种方案下的道路的宽为多少?
在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少?
(32-2x)(20-x)=540
(32-2x)(20-2x)=540
在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪,如果横、纵小路的宽度比为3:2,且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少?
小路所占面积是矩形面积的四分之一
剩余面积是矩形面积的四分之三
解:设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x, 于是可列方程
(30-4x)(20-6x)= —×20×30
我们利用“图形经过移动,它的面积大小不会改变”的性质,把纵、横两条路移动一下,使列方程容易些(目的是求出水渠的宽,至于实际施工,仍可按原图的位置修路).
视频:平移求面积动态展示
解:设AB长是x m. (100-4x)x=400 x2-25x+100=0 x1=5,x2=20 x=20,100-4x=20<25 x=5,100-4x=80>25 x=5(舍去)答:羊圈的边长AB和BC的长个是20m,20m.
例3:如图:要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB和BC的长个是多少米?
变式:如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80平方米?
解:设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m,
由题意得 x(25-2x+1)=80
化简,得 x2-13x+40=0
解得 x1=5 , x2=8
当x=5时,26-2x=16>12 (舍去)
当x=8时,26-2x=10<12
故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.
则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.
1. 在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是( )A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0C.x2-130x-1400=0 D.x2-65x-350=0
2.一块长方形铁板,长是宽的2倍,如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形, 然后把四边折起来,做成一个没有盖的盒子,盒子的容积是3000 cm3,求铁板的长和宽.
解:设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm
5(2x-10)(x-10)=3000x2-15x-250=0解得 x1=25 x2=-10(舍去)所以 2x=50
答:铁板的长50cm,宽为25cm.
3.如图,要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案,其中有两横两竖彩条,横竖彩条的宽度之比为2∶3 ,若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度?
解:设横向彩条的宽度2xcm ,竖彩条的宽度3xcm (20-6x)(30-4x)=400 6x2-65x+50=0
几何图形与一元二次方程问题
常见几何图形面积是等量关系.
常采用图形平移能聚零为整方便列方程
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