2020版高考数学一轮复习课后限时集训25《平面向量的基本定理及坐标表示》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(二十五)

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是                 (    )

A．e1与e1＋e2

B．e1－2e2与e1＋2e2

C．e1＋e2与e1－e2

D．e1＋3e2与6e2＋2e1

D　[选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；

选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；

选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；

选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量，故选D.]

2．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(    )

A．－a＋b   B.a－b

C．－a－b   D．－a＋b

B　[设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，

∴∴∴c＝a－b.]

3．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则等于(    )

A．b－a

B．b＋a

C．a＋b

D．a－b

A　[＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.]

4．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b为(    )

A．(－3,4)           B．(3,4)

C．(3，－4)   D．(－3，－4)

A　[由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b＝(－6,8)＝(－3,4)，故选A.]

5. (2019·开封模拟)已知点 A(1,3)，B(4，－1)，则与同方向的单位向量是(    )

A.   B.

C.   D.

A　[＝－＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与同方向的单位向量为＝，故选A.]

二、填空题

6．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值为________．

－2　[由题意得x2－1×4＝0，解得x＝±2.当x＝2时，a＝(2,1)，b＝(4,2)，此时a，b方向相同，不符合题意，舍去；当x＝－2时，a＝(－2,1)，b＝(4，－2)，此时a，b方向相反，符合题意．]

7．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1,1)，C(2,3)，||＝2||，则向量的坐标是________．

(4,7)　[由点C是线段AB上一点，||＝2||，得＝－2.设点B为(x，y)，则(2－x,3－y)＝－2(1,2)，即解得

所以向量的坐标是(4,7)．]

8．已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C不能构成三角形，则实数m满足的条件是________．

m＝　[由题意得＝(－3,1)，＝(2－m,1－m)，若A，B，C不能构成三角形，则，共线，则－3×(1－m)＝1×(2－m)，解得m＝.]

三、解答题

9．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b).   

(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；

(2)若＝2，求点C的坐标．

[解]　(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)．

∵A，B，C三点共线，∴∥.

∵2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.

(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．

∴解得

∴点C的坐标为(5，－3)．

10．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．

(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.

[解]　(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，

所以解得

(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，

由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.

B组　能力提升

1．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于(    )

A．(－2,7)           B．(－6,21)

C．(2，－7)   D．(6，－21)

B　[＝－＝(－3,2)，∵点Q是AC的中点，

∴＝2＝(－6,4)，＝＋＝(－2,7)，

∵＝2，∴＝3＝(－6,21)．]

2．(2019·北京西城模拟)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(    )

A．1           B．2

C．3   D．4

D　[以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，

则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，所以a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即解得λ＝－2，μ＝－，所以＝4，故选D.]

3．(2019·江南十校联考)已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,3)，且(a＋c)∥(a－b)，则m＝________.

　[a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,3)，∴a＋c＝(m＋1，m＋3)，a－b＝(－1，m－5)，

又(a＋c)∥(a－b)，

∴(m＋1)(m－5)＋m＋3＝0，即m2－3m－2＝0，

解之得m＝.]

4．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t(t∈R)，问：

(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在第二、四象限角平分线上？

(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．

[解]　(1)因为O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，所以＝(1,2)，＝(3,3)，＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．若P在x轴上，只需2＋3t＝0，t＝－；若P在第二、四象限角平分线上，则1＋3t＝－(2＋3t)，t＝－.

(2)＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)，

若四边形OABP是平行四边形，则＝，

即此方程组无解．

所以四边形OABP不可能为平行四边形．