2020版高考数学一轮复习课后限时集训29《等差数列及其前n项和》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(二十九)

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．在等差数列{an}中，若前10项的和S10＝60，且a7＝7，则a4＝(    )

A．4          B．－4      C．5      D．－5

C　[法一：由题意得解得

∴a4＝a1＋3d＝5，故选C.

法二：由等差数列的性质有a1＋a10＝a7＋a4，∵S10＝＝60，∴a1＋a10＝12.又∵a7＝7，∴a4＝5，故选C.]

2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a7＋a12＝24，则S13＝(    )

A．52          B．78   C．104   D．208

C　[由a2＋a7＋a12＝24得3a7＝24，

即a7＝8，

∴S13＝＝13a7＝13×8＝104，故选C.]

3．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项为(    )

A．an＝           B．an＝

C．an＝   D．an＝

A　[由已知式＝＋可得－＝－，知是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.]

4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，m≥2，m∈N*，则m＝(    )

A．3          B．4   C．5   D．6

C　[∵{an}是等差数列，Sm－1＝－2，Sm＝0，∴am＝Sm－Sm－1＝2.

又Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴d＝am＋1－am＝1.

又 Sm＝＝＝0，

∴a1＝－2，∴am＝－2＋(m－1)·1＝2，∴m＝5.]

5．(2019·银川模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上述的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为(    )

A．6斤          B．9斤   C．9.5斤   D．12斤

A　[依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选A.]

二、填空题

6．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝________.

22　[ak＝a1＋(k－1)d＝(k－1)d，a1＋a2＋a3＋…＋a7＝7a4＝7a1＋21d＝21d，所以k－1＝21，得k＝22.]

7．在等差数列{an}中，公差d＝，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________.

10　[a2＋a4＋a6＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋25，由S100＝45得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝10.]

8．(2019·青岛模拟)若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则＝________.

　[由题意得a1－a2＝，b1－b2＝，所以＝.]

三、解答题

9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.

(1)求a及k的值；

(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.

[解]　(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，

由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，

所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.

由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，

解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.

(2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，

则bn＝＝n＋1，

故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，

即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，

所以Tn＝＝.

10．(2019·长春模拟)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．

(1)求{an}的通项公式；

(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.

[解]　(1)设{an}的公差为d.由题意，得

a＝a1a13，

即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．

于是d(2a1＋25d)＝0.

又a1＝25，所以d＝0(舍去)或d＝－2.

故an＝－2n＋27.

(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.

由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．

从而Sn＝(a1＋a3n－2)

＝(－6n＋56)

＝－3n2＋28n.

B组　能力提升

1．若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是(    )

A．公差为3的等差数列 B．公差为4的等差数列

C．公差为6的等差数列   D．公差为9的等差数列

C　[an＝n＋a1－1，

∴a2n－1＝2n＋a1－2，a2n＝2n＋a1－1，

∴a2n－1＋2a2n＝6n＋3a1－4.

因此数列{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列，故选C.]

2．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？(    )

A．9日       B．8日   C．16日      D．12日

A　[根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a1＝103，公差d1＝13的等差数列，前n天共跑的里程为S＝na1＋d1＝103n＋n(n－1)＝6.5n2＋96.5n；驽马每日行程也构成一个首项b1＝97，公差d2＝－0.5的等差数列，前n天共跑的里程为S＝nb1＋d2＝97n－n(n－1)＝－0.25n2＋97.25n.两马相逢时，共跑了一个来回．设其第n天相逢，则有6.5n2＋96.5n－0.25n2＋97.25n＝1 125×2，解得n＝9，即它们第9天相遇，故选A.]

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则正整数m的值为________．

5　[由题意知am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，则公差d＝am＋1－am＝1.

由Sm＝0得＝0，解得a1＝－am＝－2，

则am＝－2＋(m－1)×1＝2，解得m＝5.]

4．(2019·武汉模拟)已知数列{an}满足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)．

(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式；

(2)设bn＝－15，求数列{|bn|}的前n项和Tn.

[解]　(1)证明：∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)，

∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴－＝2，

∴数列是等差数列，其公差为2，首项为2，

∴＝2＋2(n－1)＝2n.

(2)由(1)知an＝2n2，∴bn＝－15＝2n－15，

则数列{bn}的前n项和Sn＝＝n2－14n.

令bn＝2n－15≤0，n∈N*，解得n≤7.

∴n≤7时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Sn＝－n2＋14n.

n≥8时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－b7＋b8＋…＋bn＝－2S7＋Sn＝－2×(72－14×7)＋n2－14n＝n2－14n＋98.

∴Tn＝