2020版高考数学一轮复习课后限时集训38《空间向量的运算及应用》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(三十八)

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(    )

A．垂直   B．平行

C．异面   D．相交但不垂直

B　[由题意得，＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，

∴＝－3，∴与共线，

又与没有公共点，∴AB∥CD.]

2．在空间直角坐标系中，A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若A，B，C，D四点共面，则(    )

A．2x＋y＋z＝1

B．x＋y＋z＝0

C．x－y＋z＝－4

D．x＋y－z＝0

A　[∵A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，∴＝(0,1，－1)，＝(－2,2,2)，＝(x－1，y－1，z＋2)．

∵A，B，C，D四点共面，∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，即(x－1，y－1，z＋2)＝λ(0,1，－1)＋μ(－2,2,2)，

∴解得2x＋y＋z＝1，故选A.]

3．如图所示，三棱锥O­ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝(    )

A.(－a＋b＋c)

B.(a＋b－c)

C.(a－b＋c)

D.(－a－b＋c)

B　[＝＋＝(－)＋＝－＋(－)＝＋－＝(a＋b－c)．]

4．在空间直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为A(2,1，－1)，B(3,4，λ)，C(2,7,1)，若⊥，则λ＝(    )

A．3           B．1

C．±3   D．－3

C　[由题知，＝(1,3，λ＋1)，＝(1，－3，λ－1)，由⊥，可得·＝0，即1－9＋λ2－1＝0，即λ2＝9，λ＝±3，故选C.]

5．已知正四面体A­BCD的棱长为1，且＝2，＝2，则·＝(    )

A.   B.

C．－   D．－

D　[因为＝2，＝2，所以EF∥BD，EF＝BD，即＝，则·＝·＝||||cos ＝－.故选D.]

二、填空题

6.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．

垂直　[以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M0,1，，O，N，·＝·＝0，∴ON与AM垂直．]

7．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．

α∥β　[设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，

由m·＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z，

由m·＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1，

∴m＝(1,1,1)，m＝－n，

∴m∥n，∴α∥β.]

8．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则BD的长为________．

2或　[∵AB与CD成60°角，

∴〈，〉＝60°或120°.

又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，

∴||＝＝

＝

＝

＝，

∴||＝2或.∴BD的长为2或.]

三、解答题

9．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.

(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；

(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．

[解]　(1)∵c∥，＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，

∴c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，

∴|c|＝＝3|m|＝3，

∴m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．

(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，

∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，

又∵|a|＝＝，

|b|＝＝，

∴cos〈a，b〉＝＝＝－，

故向量a与向量b的夹角的余弦值为－.

10.如图所示，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点，求证：

(1)PB∥平面EFH；

(2)PD⊥平面AHF.

[证明]　建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz.

∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．

(1)∵E，H分别是线段AP，AB的中点，

∴PB∥EH.

∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，

∴PB∥平面EFH.

(2)＝(0,2，－2)，＝(1,0,0)，＝(0,1,1)，

∴·＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，

·＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.

∴PD⊥AF，PD⊥AH.

又∵AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF.

B组　能力提升

1．若x，y∈R，有下列命题：

①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；

②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；

③若＝x＋y，则P，M，A，B共面；

④若点P，M，A，B共面，则＝x＋y.

其中真命题的个数是(    )

A．1           B．2

C．3   D．4

B　[①正确；②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立；③正确；④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不正确．]

2.(2019·四川名校联考)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(    )

A．相交

B．平行

C．垂直

D．不能确定

B　[∵正方体棱长为a，A1M＝AN＝，

∴＝，＝，

∴＝＋＋

＝＋＋

＝(＋)＋＋＝＋.

又∵是平面B1BCC1的法向量，

且·＝·＝0，

∴⊥，

∴MN∥平面B1BCC1.故选B.]

3．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．

①②③　[∵·＝0，·＝0，

∴AB⊥AP，AD⊥AP，

则①②正确．

又与不平行，

∴是平面ABCD的法向量，则③正确．

∵＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，

∴与不平行，

故④错误．]

4.如图所示，四棱锥S­ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P为侧棱SD上的点．

(1)求证：AC⊥SD；

(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC，若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．

[解]　(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD.连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD.

以O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．

底面边长为a，则高SO＝a，

于是S，D，B，C，＝，

＝，

则·＝0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.

(2)棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.

理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且＝，＝，＝.

设＝t，则＝＋＝＋t＝，而·＝0⇒t＝.

即当SE∶EC＝2∶1时，⊥.

而BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC.