2020版高考数学一轮复习课后限时集训47《直线与圆锥曲线》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(四十七)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(    )

A．1            　B．2   　C．1或2   　D．0

A　[因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．]

2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是(    )

A.          B.   C.       D.

C　[设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，

由点差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M(－4,1)，解得＝，e＝＝，故选C.]

3．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点．若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为(    )

A．y＝2x2           B．y2＝2x

C．x2＝2y   D．y2＝－2x

B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，则两式相减可得2p＝·(y1＋y2)＝kAB·2＝2，即可得p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x.]

4．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则·等于(    )

A．－3           B．－

C．－或－3   D．±

B　[依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，∴·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.]

5．(2018·太原一模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|＝(    )

A．6          B．8   C．12   D．16

A　[由题意知抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，易知当直线AB垂直于x轴时，△AOB的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－4k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝，所以△AOB的面积为×1×＝，解得k＝±，所以|AB|＝|y1－y2|＝6，故选A.]

二、填空题

6．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．

　[由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝0.则|AB|＝＝

＝＝.]

7．(2019·沧州百校联盟)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．

　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1①，

＋＝1②，

①②两式相减并整理得＝－·.

把已知条件代入上式得，－＝－×，∴＝，故椭圆的离心率e＝＝.]

8．P为椭圆＋＝1上的任意一点，AB为圆C：(x－1)2＋y2＝1的任一条直径，则·的取值范围是________．

[3,15]　[圆心C(1,0)为椭圆的右焦点，·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－1，显然||∈[a－c，a＋c]＝[2,4]，所以·＝||2－1∈[3,15]．]

三、解答题

9. 如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

[解]　设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.

因为直线AB过椭圆的左焦点F，所以方程有两个不等实根，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，

则x1＋x2＝－，x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝k(x0＋1)＝，

所以AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－(x－x0)．

令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋

＝－＝－＋.

因为k≠0，所以－<xG<0，所以点G横坐标的取值范围为.

10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．

[解]　(1)由题意，得解得

∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，

由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，

Δ＝96－8m2>0，∴－2<m<2，

∵x0＝＝－，∴y0＝x0＋m＝，

∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，

∴2＋2＝1，∴m＝±.

B组　能力提升

1．(2019·黑龙江松原模拟)已知P是圆C：x2＋y2＝4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足＝，当点P在圆C上运动时，点M形成的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)经过点A(0,2)的直线l与曲线E相交于点C，D，并且＝，求直线l的方程．

图①

[解]　(1)如图①，设M(x，y)，则P(x,2y)在圆C：x2＋y2＝4上．

所以x2＋4y2＝4，即曲线E的方程为＋y2＝1.

(2)经检验，当直线l⊥x轴时，题目条件不成立，所以直线l的斜率存在(如图②)．设直线l：y＝kx＋2，C(x1，y1)，D(x2，y2)，联立得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0.Δ＝(16k)2－4(1＋4k2)·12＞0，得k2＞.

图②

x1＋x2＝－，①

x1x2＝.②

又由＝，得x1＝x2，

将它代入①②得k2＝1，k＝±1，所以直线l的斜率为k＝±1，所以直线l的方程为y＝±x＋2.

2．(2019·河南濮阳期末)设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点．设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．

[解]　显然直线x＝0不满足题设条件，可设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，整理得x2＋4kx＋3＝0，∴x1＋x2＝－，x1·x2＝，由Δ＝(4k)2－4×3＝4k2－3＞0得，k＞或k＜－.①

又∠AOB为锐角，∴cos∠AOB＞0，∴·＞0，

∴·＝x1x2＋y1y2＞0.

又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝，

∴＋＞0，即k2＜4，∴－2＜k＜2.②

由①②得，－2＜k＜－或＜k＜2.

故k的取值范围是∪.