初中数学人教版九年级上册24.1.4 圆周角优秀课后作业题

这是一份初中数学人教版九年级上册24.1.4 圆周角优秀课后作业题，共17页。试卷主要包含了解得x=20等内容，欢迎下载使用。
24.1.4《圆周角》同步作业


第1课时 圆周角定理及其推论


基础题


知识点1 圆周角的概念


1．下列图形中的角是圆周角的是( )





知识点2 圆周角定理


2．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是( )





A．150° B．140° C．130° D．120°


3．如图，在⊙O中，圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的大小为( )





A．156° B．78° C．39° D．12°


4．如图，直径为AB的⊙O中，eq \(BC,\s\up8(︵))=2eq \(AC,\s\up8(︵))，连接BC，则∠B的度数为( )





A．35° B．30° C．20° D．15°


知识点3 圆周角定理的推论


5．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=35°，则∠B的度数是( )





A．35° B．45° C．55° D．65°











6．如图，BD是⊙O直径，点A，C在⊙O上，eq \(AB,\s\up8(︵))=eq \(BC,\s\up8(︵))，∠AOB=60°，则∠BDC度数是( )





A．60° B．45° C．35° D．30°


7．如图，在⊙O中，eq \(AB,\s\up8(︵))=eq \(AC,\s\up8(︵))，∠BAC=50°，则∠AEC的度数为( )





A．65° B．75° C．50° D．55°


8．如图，BD是圆O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为( )





A．30° B．45° C．60° D．75°


9．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM=8 cm，ON=6 cm，则该圆玻璃镜的半径是( )





A.eq \r(10) cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm





10．如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100 m，测得圆周角∠ACB=30°，则这个人工湖的直径为 m.





11．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.


求证：DB平分∠ADC.











易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错


12．已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，则此弦AB所对的圆周角的度数为 ．





中档题


13．如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为( )





A．25° B．50° C．60° D．80°


14．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD度数为( )





A．100° B．110° C．115° D．120°


15．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是( )





A．AD=2OB B．CE=EO C．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD


16．如图，⊙C经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知∠OBA=30°，点A的坐标为(2，0)，则点D的坐标为 ．





17．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.





(1)求BC的长；


(2)求BD的长．














18．如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为边BC的中点．





(1)求证：△ABC为等边三角形；


(2)求DE的长．















































综合题


19．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8 cm，eq \(AC,\s\up8(︵))=eq \(CD,\s\up8(︵))=eq \(BD,\s\up8(︵))，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值为 cm．












































第2课时 圆内接四边形


基础题


知识点 圆内接四边形的性质


1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是( )





A．60° B．90° C．100° D．120°


2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是( )





A．115° B．105° C．100° D．95°


3．如图，四边形ABCD为⊙O内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD位置关系是 ．





4．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30°，D是eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，则∠DAC的度数是 ．





5．如图所示，已知圆心角∠AOB=100°，求∠ACD的度数．






































6．已知圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，求这个四边形各内角的度数．





























7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=50°，∠ACD=25°，∠BAD=65°.求证：


(1)AD=CD；


(2)AB是⊙O的直径．






































易错点 对圆内接四边形的概念理解不清导致错误


8．如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB=110°，则∠α= ．





中档题


9．如图，点A，B，C，D为⊙O上的点，四边形AOBC是菱形，则∠ADB的度数是( )





A．30° B．45° C．60° D．75°








10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是eq \(CD,\s\up8(︵))上一点，且eq \(DF,\s\up8(︵))=eq \(BC,\s\up8(︵))，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为( )





A．45° B．50° C．55° D．60°


11．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B＋∠E= ．





12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为 (写出一个即可)．





13．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO=120°.求⊙C的半径．














14．如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD.连接AC交圆O于点F，连接AE，DE，DF.


(1)求证：∠E=∠C；


(2)若∠E=55°，求∠BDF的度数．














综合题


15．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.


(1)若∠E=∠F，求证：∠ADC=∠ABC；


(2)若∠E=∠F=42°，求∠A的度数；


(3)若∠E=α，∠F=β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．











































































































参考答案


基础题


知识点1 圆周角的概念


1．下列图形中的角是圆周角的是(B)





知识点2 圆周角定理


2．(茂名中考)如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是(A)


A．150° B．140° C．130° D．120°





3．(滨州中考)如图，在⊙O中，圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的大小为(C)


A．156° B．78° C．39° D．12°





4．(山西模拟)如图，直径为AB的⊙O中，eq \(BC,\s\up8(︵))=2eq \(AC,\s\up8(︵))，连接BC，则∠B的度数为(B)





A．35° B．30° C．20° D．15°


知识点3 圆周角定理的推论


5．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=35°，则∠B的度数是(C)


A．35° B．45° C．55° D．65°





6．(绍兴中考)如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，eq \(AB,\s\up8(︵))=eq \(BC,\s\up8(︵))，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是(D)


A．60° B．45° C．35° D．30°





7．(黔西南中考)如图，在⊙O中，eq \(AB,\s\up8(︵))=eq \(AC,\s\up8(︵))，∠BAC=50°，则∠AEC的度数为(A)


A．65° B．75° C．50° D．55°





8．(太原二模)如图，BD是圆O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为(C)


A．30° B．45° C．60° D．75°





9．(常州中考)如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM=8 cm，ON=6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)


A.eq \r(10) cm B．5 cm


C．6 cm D．10 cm








10．(朝阳中考)如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100 m，测得圆周角∠ACB=30°，则这个人工湖的直径为200m.





11．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.





证明：∵AB=BC，


∴eq \(AB,\s\up8(︵))=eq \(BC,\s\up8(︵)).


∴∠ADB=∠BDC.


∴DB平分∠ADC.





易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错


12．已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，则此弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°．


02 中档题


13．(海南中考)如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为(B)


A．25° B．50°


C．60° D．80°





14．(吕梁孝义市期中)如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为(B)


A．100° B．110°


C．115° D．120°





15．(广州中考)如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是(D)


A．AD=2OB B．CE=EO


C．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD





16．如图，⊙C经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知∠OBA=30°，点A的坐标为(2，0)，则点D的坐标为(0，2eq \r(3))．





17．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.





(1)求BC的长；


(2)求BD的长．


解：(1)∵AB为⊙O的直径，


∴∠ACB=∠ADB=90°.


∴在Rt△ABC中，


BC=eq \r(AB2－AC2)=eq \r(102－52)=5eq \r(3).


(2)∵CD平分∠ACB，


∴∠ACD=∠BCD=45°.


∴∠BAD=∠ABD=45°.


∴AD=BD.


设BD=AD=x，


在Rt△ABD中，由勾股定理，得


AD2＋BD2=AB2.


∴x2＋x2=102.


解得x=5eq \r(2).


∴BD=5eq \r(2).








18．如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为边BC的中点．





(1)求证：△ABC为等边三角形；


(2)求DE的长．


解：(1)证明：连接AD.


∵AB是⊙O的直径，


∴∠ADB=90°.


∵点D是BC的中点，


∴AD是BC的垂直平分线．


∴AB=AC.


又∵AB=BC，


∴AB=AC=BC.


∴△ABC为等边三角形．


(2)连接BE.


∵AB是⊙O的直径，


∴∠AEB=90°.


∴BE⊥AC.


∵△ABC是等边三角形，


∴AE=EC，即E为AC的中点．


又∵D是BC的中点，


∴DE是△ABC的中位线．


∴DE=eq \f(1,2)AB=eq \f(1,2)×2=1.





03 综合题


19．(东营中考)如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8 cm，eq \(AC,\s\up8(︵))=eq \(CD,\s\up8(︵))=eq \(BD,\s\up8(︵))，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值为8__cm．








第2课时 圆内接四边形


01 基础题


知识点 圆内接四边形的性质


1．(湘潭中考)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是(D)


A．60° B．90°


C．100° D．120°





2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是(B)


A．115° B．105°


C．100° D．95°





3．(娄底中考)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是AB∥CD．





4．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30°，D是eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，则∠DAC的度数是30°．





5．如图所示，已知圆心角∠AOB=100°，求∠ACD的度数．





解：在优弧AMBeq \( ,\s\up8(︵)) 上任取一点N，连接AN，BN，


由圆周角定理，得∠N=eq \f(1,2)∠AOB=eq \f(1,2)×100°=50°.


∴∠ACB=180°－∠N=180°－50°=130°.


∴∠ACD=180°－∠ACB=180°－130°=50°.








6．已知圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，求这个四边形各内角的度数．


解：根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相等，所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8.


设这四个内角的度数分别为2x°、x°、7x°、8x°，则


2x＋x＋7x＋8x=360.解得x=20.


则2x=40，7x=140，8x=160.


答：这个四边形各内角的度数分别为40°、20°、140°、160°.








7．(T4的变式)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=50°，∠ACD=25°，∠BAD=65°.求证：


(1)AD=CD；


(2)AB是⊙O的直径．





证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，


∴∠D=180°－∠B=130°.


∵∠ACD=25°，


∴∠DAC=180°－∠D－∠ACD=180°－130°－25°=25°.


∴∠DAC=∠ACD.


∴AD=CD.


(2)∵∠BAC=∠BAD－∠DAC=65°－25°=40°，∠B=50°，


∴∠ACB=180°－∠B－∠BAC=180°－50°－40°=90°.


∴AB是⊙O的直径．








易错点 对圆内接四边形的概念理解不清导致错误


8．(来宾中考)如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB=110°，则∠α=140°．





02 中档题


9．(山西中考模拟百校联考)如图，点A，B，C，D为⊙O上的点，四边形AOBC是菱形，则∠ADB的度数是(C)


A．30° B．45° C．60° D．75°





10．(聊城中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是eq \(CD,\s\up8(︵))上一点，且eq \(DF,\s\up8(︵))=eq \(BC,\s\up8(︵))，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为(B)


A．45° B．50° C．55° D．60°





11．(南京中考)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B＋∠E=215°．





12．(吉林中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为80(50°≤∠BPD≤100°)(写出一个即可)．





13．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO=120°.求⊙C的半径．





解：∵四边形ABMO内接于⊙C，


∴∠BAO＋∠BMO=180°.


∵∠BMO=120°，


∴∠BAO=60°.


在Rt△ABO中，AO=4，∠BAO=60°，


∴AB=8.


∵∠AOB=90°，


∴AB为⊙C的直径．


∴⊙C的半径为4.








14．(苏州中考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD.连接AC交圆O于点F，连接AE，DE，DF.


(1)求证：∠E=∠C；


(2)若∠E=55°，求∠BDF的度数．





解：(1)证明：连接AD.


∵AB是⊙O的直径，


∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.


∵CD=BD，∴AD垂直平分BC.∴AB=AC.∴∠B=∠C.


又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C.


(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，


∴∠AFD=180°－∠E.


又∵∠CFD=180°－∠AFD，


∴∠CFD=∠E=55°.


∵∠E=∠C=55°，


∴∠BDF=∠C＋∠CFD=110°.





03 综合题


15．(佛山中考)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.


(1)若∠E=∠F，求证：∠ADC=∠ABC；


(2)若∠E=∠F=42°，求∠A的度数；


(3)若∠E=α，∠F=β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．





解：(1)证明：∵∠DCE=∠BCF，∠E=∠F，


又∵∠ADC=∠E＋∠DCE，∠ABC=∠F＋∠BCF，


∴∠ADC=∠ABC.


(2)由(1)知∠ADC=∠ABC，


∵四边形ABCD内接于⊙O，


∴∠ADC＋∠ABC=180°.


∴∠ADC=90°.


在Rt△ADF中，∠A=90°－∠F=90°－42°=48°.


(3)连接EF.


∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，


∴∠ECD=∠A.


∵∠ECD=∠CEF＋∠CFE，


∴∠A=∠CEF＋∠CFE.


∵∠A＋∠CEF＋∠CFE＋∠DEC＋∠BFC=180°，


∴2∠A＋α＋β=180°.


∴∠A=90°－eq \f(α＋β,2).