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    (导与练)2020版高考数学一轮复习(文数)习题:第3篇 第4节 三角函数的图象与性质(含解析)

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    www.ks5u.com第4节 三角函数的图象与性质

    【选题明细表】

    知识点、方法

    题号

    三角函数的定义域、值域与最值

    1,7

    三角函数的单调性、单调区间

    3,9,13

    三角函数的奇偶性、周期性与对称性

    2,5,6,8,10

    综合应用

    4,11,12,14

    基础巩固(时间:30分钟)

    1.函数y=的定义域为( C )

    (A)[-,]

    (B)[kπ-,kπ+](kZ)

    (C)[2kπ-,2kπ+](kZ)

    (D)R

    解析:因为cos x-0,

    得cos x,

    所以2kπ-x2kπ+,kZ.

    2.(2018·全国卷)函数f(x)=的最小正周期为( C )

    (A) (B) (C)π (D)2π

    解析:由已知得f(x)====sin x·cos x=sin 2x,所以f(x)的最小正周期为T==π.故选C.

    3.函数y=2sin(-2x)(x[0,π])的一个递增区间是( A )

    (A)[,] (B)[,π]

    (C)[,] (D)[-,]

    解析:首先将函数化为y=-2sin(2x-)(x[0,π]),

    令t=2x-,x增大,t增大,

    所以为求函数的增区间,需研究y=2sin t的减区间.

    +2kπ≤2x-+2kπ,kZ得

    +kπ≤x+kπ,kZ,

    所以k=0时得[,],故选A.

    4.(2018·全国卷)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( B )

    (A)f(x)的最小正周期为π,最大值为3

    (B)f(x)的最小正周期为π,最大值为4

    (C)f(x)的最小正周期为2π,最大值为3

    (D)f(x)的最小正周期为2π,最大值为4

    解析:因为f(x)=2cos2x-sin2x+2=1+cos 2x-+2=cos 2x+,所以f(x)的最小正周期为π,最大值为4.故选B.

    5.将函数y=2sin(x+)cos(x+)的图象向左平移(>0)个单位长度,所得图象对应的函数恰为奇函数,则的最小值为( B )

    (A) (B) (C) (D)

    解析:根据题意可得y=sin(2x+),将其图象向左平移(>0)个单位长度,可得y=sin(2x++2)的图象.

    因为该图象所对应的函数恰为奇函数,

    所以+2=kπ(kZ),=-(kZ),

    >0,所以当k=1时,取得最小值,且min=,

    故选B.

    6.已知函数f(x)=2sin(x+),若对任意的实数x,总有f(x1)f(x)f(x2),则|x1-x2|的最小值是( A )

    (A)2 (B)4 (C)π (D)2π

    解析:由题意可得|x1-x2|的最小值为半个周期,即==2.故选A.

    7.(2017·全国卷)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为    . 

    解析:f(x)=2cos x+sin x=(cos x+sin x)=sin (x+θ),其中tan θ=2,

    所以f(x)的最大值为.

    答案:

    8.已知点P(4,-3)在角的终边上,函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)图象上与y轴最近的两个对称中心间的距离为,则f()的值为    . 

    解析:由题意=,则T=π,

    ω==2,

    则f(x)=sin(2x+);

    又由三角函数的定义可得sin =-,cos =,

    则f()=sincos +cossin =.

    答案:

    能力提升(时间:15分钟)

    9.(2018·大连二十四中模拟)已知f(x)是偶函数,当x[0,]时,f(x)=xsin x.若a=f(cos 1),b=f(cos 2),c=f(cos 3),则a,b,c的大小关系为( B )

    (A)a<b<c (B)b<a<c

    (C)c<b<a (D)b<c<a

    解析:由于函数f(x)为偶函数,

    故b=f(cos 2)=f(-cos 2),c=f(cos 3)=f(-cos 3).

    由于x[0,],f(x)=sin x+xcos x0,

    所以函数在区间[0,]上为增函数.

    因为0<-cos 2<cos 1<-cos 3<,

    根据函数单调性可得f(-cos 2)<f(cos 1)<f(-cos 3),故b<a<c.

    10.(2018·绵阳一诊)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)图象的最高点与相邻最低点的距离是,若将y=f(x)的图象向右平移个单位得到y=g(x)的图象,则函数y=g(x)图象的一条对称轴方程是( B )

    (A)x= (B)x=

    (C)x= (D)x=0

    解析:f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin(ωx+),ω>0.

    设函数f(x)的周期为T.

    则由题意得()2+[2-(-2)]2=()2,得T=2.

    所以=2,

    所以ω=π.

    则f(x)=2sin(πx+).

    y=g(x)=2sin[π(x-)+]=2sin(πx+).

    πx+=+kπ,kZ得x=k+,kZ.

    当k=0时,函数y=g(x)图象的一条对称轴方程为x=.故选B.

    11.(2018·重庆巴蜀中学模拟)已知函数f(x)=2cos x·sin x+2sin2x(xR),给出下列五个命题:

    (,0)是函数f(x)图象的一个对称中心;

    f(x)的最小正周期是2π;

    f(x)在区间[-,]上是增函数;

    f(x)的图象关于直线x=对称;

    x[-,]时,f(x)的值域为[1-,3].

    其中正确的命题为( D )

    (A)①②④ (B)③④⑤

    (C)②③    (D)③④

    解析:将原函数化简得,f(x)=sin 2x-cos 2x+1=2sin(2x-)+1(xR),其对称中心为(+,1)(kZ),故错;最小正周期T==π,故错;f(x)在-+2kπ≤2x-+2kπ,kZ,即-+kπ≤x+kπ,kZ上单调递增,

    所以当k=0时,f(x)在[-,]上是增函数,故正确;令2x-=+kπ,kZ,则对称轴为x=+,kZ,

    所以当k=0时,x=是其对称轴,故正确;因为函数在[-,-]上单调递减,在[-,]上单调递增,故其最小值为f(-)=-1,最大值为f()=3,故当x[-,]时,f(x)的值域为[-1,3],故错.

    12.(2018·山西运城康杰中学一模)已知x1,x2是函数f(x)=2sin 2x

    +cos 2x-m在[0,]内的两个零点,则sin(x1+x2)=    . 

    解析:f(x)=2sin 2x+cos 2x-m=sin(2x+)-m,其中 (cos =,

    sin =),由函数f(x)在[0,]内的两个零点,知方程sin(2x+)-

    m=0在[0,]内有两个根,即函数y=m与y=sin(2x+)的图象在[0,]内有两个交点,且x1,x2关于直线x=-对称,

    所以x1+x2=-,

    所以sin(x1+x2)=sin(-)=cos =.

    答案:

    13.已知函数f(x)=-2sin(2x+)(||<π),若(,)是f(x)的一个单调递增区间,则的值为    . 

    解析:令+2kπ≤2x++2kπ,kZ,

    -+kπ≤x-+kπ,kZ,

    此时函数单调递增,若(,)是f(x)的一个单调递增区间,

    则必有

    解得

    =+2kπ,kZ,

    又||<π,所以=.

    答案:

    14.(2018·长沙一中模拟)设函数f(x)=Asin (ωx+)(A,ω,是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间[,]上具有单调性,且f()=f()=

    -f(),则f(x)的最小正周期为    . 

    解析:因为f(x)在[,]上具有单调性,且f()=f()=-f(),则×-,且函数的图象关于直线x==对称,且一个对称点为(,0),

    可得0<ω≤3.且-=×,

    ω=2.

    所以f(x)的最小正周期T==π.

    答案:π

     

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