初中数学第二十二章 二次函数综合与测试优秀课时训练

这是一份初中数学第二十二章 二次函数综合与测试优秀课时训练，共17页。试卷主要包含了已知点P等内容，欢迎下载使用。

一．选择题


1．如果函数是二次函数，则m的取值范围是（ ）


A．m＝±2B．m＝2


C．m＝﹣2D．m为全体实数


2．若二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，则c应满足的条件是（ ）


A．c＝0B．c＝1C．c＝0或c＝1D．c＝0或c＝﹣1


3．如图在同一个坐标系中函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象可能的是（ ）


A．B．C．D．


4．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设M＝4a+2b+c，则M的取值范围是（ ）


A．﹣9＜M＜0B．﹣18＜M＜0C．0＜M＜9D．﹣9＜M＜9


5．已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0）上，当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，则a的值为（ ）


A．1B．﹣1C．2D．﹣2


6．如果二次函数y＝x2﹣ax+1，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，且关于z的分式方程＝2有正数解，则符合条件的整数a的值有多少个（ ）


A．3个B．4个C．5个D．6个


7．如图，已知将抛物线y＝x2﹣1沿x轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界），在这个区域内有5个整点（点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”）．现将抛物线y＝a（x+1）2+2（a＜0）沿x轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有11个整点，则a的取值范围是（ ）





A．a≤﹣1B．C．D．


8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，下列说法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞0．其中正确结论的个数是（ ）





A．2B．3C．4D．5


二．填空题


9．若函数y＝ax2﹣（a+3）x﹣1的图象与x轴只有一个公共点，则实数a的值为 ．


10．若函数y＝3x2﹣（9+a）x+6+2a（x是自变量且x为整数），在x＝6或x＝7时取得最小值，则a的取值范围是 ．


11．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 ．


12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于不同的两点A、B，C为二次函数的图象的顶点，AB＝2，若△ABC是边长为2的等边三角形，则a＝ ．


13．某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价、每千克成本与交易时间之间的关系分别如图1、图2所示（图1、图2中的图象分别是线段和抛物线，其中点P是抛物线的顶点）．在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是 ，此时每千克的收益是 ．





14．如图，在一个与地面垂直的截面中建立直角坐标系（横坐标表示地面位移，纵坐标表示高度），一架无人机的飞行路线为y＝ax2+bx+c（a≠0），在直角坐标系中x轴上的线段AB上的某点起飞，途经空中线段EF上的某点，最后在线段CD上的某点降落，其中A（﹣2，0）、B（﹣1，0）、C（3，0）、D（4，0）、E（0，3）、F（0，2），则下列结论正确的有 （填序号）


（1）abc＜0；


（2）从起飞到当x≤1时无人机一直是上升的；


（3）2≤a+b+c≤4.5；


（4）最大飞行高度不超过4．





三．解答题


15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与y轴交于点A．


（1）直接写出点A的坐标；


（2）点A、B关于对称轴对称，求点B的坐标；


（3）已知点P（4，0），．若抛物线与线段PQ恰有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．














16．某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20m长的篱笆围成一个矩形ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．


（1）若花园的面积96m2，求x的值；


（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是11m和5m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．





17．某养殖场计划用96米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，其中区域①是正方形，区域②和③是矩形，且AG：BG＝3：2．设BG的长为2x米．





（1）用含x的代数式表示DF＝ ；


（2）x为何值时，区域③的面积为180平方米；


（3）x为何值时，区域③的面积最大？最大面积是多少？








18．2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：


物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q（只）与第x天的关系为q＝﹣2x2+80x﹣200 （6≤x≤30，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．


（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；


（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；


（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m的取值范围为 ．


19．已知二次函数y＝x2+bx+2b（b是常数）．


（1）若函数图象过（1，4），求函数解析式；


（2）设函数图象顶点坐标为（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数关系式；


（3）若函数图象不经过第三象限时，当﹣5≤x≤3时，函数的最大值和最小值之差是20，求b的值．

















20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E，B．


（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；


（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．























参考答案


一．选择题（共8小题）


1．解：由题意得：m﹣2≠0，m2﹣2＝2，


解得m≠2，且m＝±2，


∴m＝﹣2．


故选：C．


2．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，


∴二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点，


当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点时，


（﹣2）2﹣4×1×c＝0，得c＝1；


当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴有两个公共点，其中一个为原点时，


则c＝0，y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），与x轴两个交点，坐标分别为（0，0），（2，0）；


由上可得，c的值是1或0，


故选：C．


3．解：当k＞0时，函数y＝kx﹣2的图象经过一、三、四象限；函数y＝kx2的开口向上，对称轴在y轴上；


当k＜0时，函数y＝kx﹣2的图象经过二、三、四象限；函数y＝kx2的开口向下，对称轴在y轴上，故C正确．


故选：C．


4．解：将（﹣1，0）与（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，


∴0＝a﹣b+c，c＝﹣3，


∴b＝a﹣3，


∵抛物线顶点在第四象限，


∴﹣＞0，a＞0，


∴b＜0，


∴a＜3，


∴0＜a＜3，


∴M＝4a+2（a﹣3）﹣3＝6a﹣9，


∴﹣9＜M＜9，


故选：D．


5．解：∵抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0），


∴抛物线的顶点为（5，9），


∵当7＜m＜8时，总有n＜1，


∴a不可能大于0，


则a＜0，


∴x＜5时，y随x的增大而增大，x＞5时，y随x的增大而减小，


∵当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，且x＝3与x＝7对称，


∴m＝3时，n≤1，m＝7时，n≥1，


∴，


∴4a+9＝1，


∴a＝﹣2，


故选：D．


6．解：∵＝2


∴1+1﹣az＝2（2﹣z）


∴（2﹣a）z＝2


∴z＝


关于z的分式方程有正数解


∴＞0


∴2﹣a＞0


∴a＜2


但该分式方程当z＝2时显然是增根，故当a＝1时不符合题意，舍去．


∵二次函数y＝x2﹣ax+1，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小


∴其对称轴x＝﹣≥﹣2


∴a≥﹣4


∴﹣4≤a＜2，且a≠1


符合条件的整数a的值有﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0，共5个


故选：C．


7．解：如图：





∵y＝a（x+1）2+2（a＜0），


∴该抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，2），对称轴是直线x＝﹣1．


由此可知点（﹣1，2）、点（﹣1，1）、点（﹣1，0）、点（﹣1，﹣1）、点（﹣1，﹣2）符合题意，


此时x轴上的点 （﹣2，0）、（0，0）也符合题意．


将（0，1）代入y＝a（x+1）2+2得到1＝a+2．解得a＝﹣1．


将（1，0）代入y＝a（x+1）2+2得到0＝4a+2．解得a＝﹣．


∵有11个整点，


∴点（0，﹣1）、点（﹣2，﹣1）、点（﹣2，1）、点（0，1）也必须符合题意．


综上可知：当﹣1≤a＜﹣时，点（﹣1，2）、点（﹣1，1）、点（﹣1，0）、点（﹣1，﹣1）、点（﹣1，﹣2）、点 （﹣2，0）、（0，0）、点（0，﹣1）、点（﹣2，﹣1）、点（﹣2，1）、点（0，1），共有11个整点符合题意，


故选：D．


8．解：∵抛物线开口向下，则 a＜0．


对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号，则 b＞0．


抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c＞0，


∴abc＜0，故①正确；


∵抛物线的对称轴是直线 x＝1，则﹣＝1，b＝﹣2a，


∴2a+b＝0，故②正确；


由图象可知，抛物线与 x 轴的左交点位于 0 和﹣1 之间，在两个交点之间时，y＞0，在 x＝﹣1 时，y＜0，故③错误；


当 x＝﹣1 时，有 y＝a﹣b+c＜0，故④正确；


由 2a+b＝0，得 a＝﹣，代入a﹣b+c＜0得﹣+c＜0，两边乘以 2 得 2c﹣3b＜0，故⑤错误．


综上，正确的选项有：①②④．


所以正确结论的个数是3个．


故选：B．


二．填空题（共6小题）


9．解：当a≠0时，


∵关于x的函数y＝ax2﹣（a+3）x﹣1的图象与x轴只有一个公共点，


∴△＝[﹣（a+3）]2﹣4a•（﹣1）＝a2+10a+9＝0，


解得：a＝﹣1或﹣9，


当a＝0时，y＝﹣3x﹣1，与x轴只有一个公共点，


综上，a的值为﹣1或﹣9或0．


故答案为：﹣1或﹣9或0．


10．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，


∵在x＝6或x＝7时取得最小值，x是整数，


∴，


解不等式①得a＞24，


解不等式②得a＜36，


所以，不等式组的解是24＜a＜36，


即a的取值范围是24＜a＜36．


故答案为：24＜a＜36．


11．解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，


∴x≤3，


代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，


当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，


∴s≥9；


故答案为：s≥9．


12．解：设点A、B的横坐标分别为m、n，则m+n＝﹣，mn＝，


∵AB＝2＝|m﹣n|，


∴（m﹣n）2＝4，


∴m2﹣2mn+n2＝（m+n）2﹣4mn＝＝4，


∴b2﹣4ac＝4a2，


∵△ABC是边长为2的等边三角形，


∴点C到AB的距离为，


∵a＞0，


∴点C的纵坐标为﹣，


∴＝﹣，


∴4ac﹣b2＝﹣4a，


∴4a2＝4a，a＝，


故答案为：．


13．解：设图1中交易时间y1与每千克售价x1的函数关系式为：


y1＝kx1+b，


将（5，10）（6，8）代入解得k＝﹣2，b＝20，


所以y1＝﹣2x1+20


设每千克成本y2与交易时间x2的函数关系式为：


y2＝a（x2﹣10）2+3


将（6，7）代入，解得a＝


所以y2＝（x2﹣10）2+3


＝x22﹣5x2+28


设在这段时间内，出售每千克这种水果的收益为w元，


根据题意，得


y2＝x22﹣5x2+28


＝（﹣2x1+20）2﹣5（﹣2x1+20）+28


＝x12﹣10x1+28


w＝x1﹣y2


＝x1﹣（x12﹣10x1+28）


＝﹣x12+11x1﹣28


＝﹣（x1﹣）2+


当x1＝时，y1＝﹣11+20＝9，


w取得最大值，最大值为．


答：在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻为9时，


此时每千克的收益是元．


故答案为：9时，元．


14．解：∵线段AB上的某点起飞，途经空中线段EF上的某点，最后在线段CD上的某点降落，


且由所给点的坐标可知，对称轴位于y轴右侧，抛物线开口向下


∴a＜0，b＞0（a，b符号左同右异），c＞0（抛物线与y轴交于线段EF上某点）


∴abc＜0


∴（1）正确；


当起飞点位于点A，而降落点位于点C时，对称轴为x＝＝＜1


∴（2）不正确；


当抛物线过点B，点E，点C时，设y＝a（x+1）（x﹣3），


将E（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0﹣3），


∴a＝﹣1


∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）


当x＝1时，y＝﹣2×（﹣2）＝4；


当抛物线过点B，点E，点D时，设y＝a（x+1）（x﹣4），


将E（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0﹣4），


解得a＝﹣，


∴y＝﹣（x+1）（x﹣4），


当x＝＝时，y＝＞4，


故（4）不正确，


当抛物线过点A，点F，点D时，设y＝a（x+2）（x﹣4），


将F（0，2）代入得：2＝a（0+2）（0﹣4），


解得a＝﹣，


∴y＝﹣（x+2）（x﹣4），


当x＝1时，y＝a+b+c＝＞2，


当抛物线过点A，点F，点C时，设y＝a（x+2）（x﹣3），


将F（0，2）代入得：2＝a（0+2）（0﹣3），


解得a＝﹣，


∴y＝﹣（x+2）（x﹣3），


当x＝1时，y＝a+b+c＝2，


将x＝1代入y＝﹣（x+1）（x﹣4）得y＝a+b+c＝4.5，


故（3）正确．


综上，（1）（3）正确．


故答案为：（1）（3）．


三．解答题（共6小题）


15．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与y轴交于点A，


∴A的坐标为（0，﹣3）；


（2）∵；


∴B（2，﹣3）．


（3）当抛物线过点P（4，0）时，，


∴．


此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．


当抛物线过点时，a＝1，


此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．．


∵抛物线与线段PQ恰有两个公共点，


∴．


∵△＝4a2+12a＞0


∴a＞0或a＜﹣3，


当抛物线开口向下时，


a＜﹣3．


综上所述，当或a＜﹣3时，抛物线与线段PQ恰有两个公共点．


16．解：（1）设AB＝x米，可知BC＝（20﹣x）米，根据题意得：x（20﹣x）＝96．


解这个方程得：x1＝12，x2＝8，


答：x的值是12m或8m．


（2）设花园的面积为S，


则S＝x（20﹣x）＝﹣（x﹣10）2+100．


∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离是11m和5米，


∴，


∴5≤x≤9．


∴当x＝9时，S最大＝﹣（9﹣10）2+100＝99（平方米）．


答：花园面积的最大值是99平方米．


17．解：（1）∵区域①是正方形，区域②和③是矩形，


AG：BG＝3：2．设BG的长为2x米，则AG＝3x，


∴AF＝GH＝BE＝FH＝AG＝3x，


EH＝GB＝2x，


DC＝FE＝AB＝5x，


∴DF＝（96﹣3×5x﹣3×3x）＝48﹣12x．


故答案为48﹣12x．


（2）根据题意，得5x（48﹣12x）＝180，


解得x1＝1，x2＝3


答：x为1或3时，区域③的面积为180平方米；


（3）设区域③的面积为S，


则S＝5x（48﹣12x）


＝﹣60x2+240x


＝﹣60（x﹣2）2+240


∵﹣60＜0，


∴当x＝2时，S有最大值，最大值为240


答：x为2时，区域③的面积最大，为240平方米．


18．解：（1）根据表格数据可知：


前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系为：


p＝x+1，1≤x≤5且x为整数；


q＝5x+65，1≤x≤5且x为整数；


（2）当1≤x≤5且x为整数时，


W＝（x+1﹣0.5）（5x+65）


＝5x2+x+；


当6≤x≤30且x为整数时，


W＝（1﹣0.5）（﹣2x2+80x﹣200）


＝﹣x2+40x﹣100．


即有W＝，


当1≤x≤5且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，


故当x＝5时，W有最大值为：495元；


当6≤x≤30且x为整数时，


W═﹣x2+40x﹣100＝﹣（x﹣20）2+300，


故当x＝20时，W有最大值为：300元；


由495＞300，可知：


第5天时利润最大为495元．


（3）根据题意可知：


获得的正常利润之外的非法所得部分为：


（2﹣1）×70+（3﹣1）×75+（4﹣1）×80+（5﹣1）×85+（6﹣1）×90＝1250（元），


∴1250m≥2000，


解得m≥．


则m的取值范围为m≥．


故答案为：m≥．


19．解：（1）将点（1，4）代入y＝x2+bx+2b，


得1+b+2b＝4，


∴b＝1，


∴函数解析式是y＝x2+x+2；


（2）∵y＝x2+bx+2b＝（x+b）2﹣，


设函数图象顶点坐标为（m，n），


∴m＝﹣b，n＝﹣+2b，


∴b＝﹣2m，


∴n＝﹣＝﹣m2﹣4m；


（3）∵y＝（x+b）2﹣，


∴对称轴x＝﹣b，


在y＝x2+bx+2b中，


当x＝﹣5时，y＝25﹣5b+2b＝25﹣3b，


当x＝3时，y＝9+3b+2b＝9+5b，


分两种情况：


①当b≤0时，2b＝c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；


此时y＝x2，当﹣5≤x≤3时，函数最小值是0，最大值是25，


∴最大值与最小值之差为25，此种情况不符合题意；


②当b＞0时，2b＝c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，


∴b2﹣8b≤0，


∴0＜b≤8，


∴﹣4≤x＝﹣＜0，


当﹣5≤x≤3时，函数有最小值﹣+2b，


∵当x＝3和x＝﹣5对称时，对称轴是：x＝﹣1，


∴当﹣4≤﹣＜﹣1时，函数有最大值9+5b，


∵函数的最大值与最小值之差为20，


∴9+5b﹣（﹣+2b）＝20，


∴b＝﹣6+4或﹣6﹣4（舍），


当﹣1＜﹣＜0时，函数有最大值25﹣3b；


∵函数的最大值与最小值之差为20，


∴25﹣3b﹣（﹣+2b）＝20，


∴b＝10﹣4或10+4＞8（舍），


综上所述b＝﹣6+4或b＝10﹣4．


20．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+9，


∵抛物线与y轴交于点A（0，5），


∴4a+9＝5，


∴a＝﹣1，


y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5，


（2）当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，


∴x1＝﹣1，x2＝5，


∴E（﹣1，0），B（5，0），


设直线AB的解析式为y＝mx+n，


∵A（0，5），B（5，0），


∴m＝﹣1，n＝5，


∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5；


设P（x，﹣x2+4x+5），


∴D（x，﹣x+5），


∴PD＝﹣x2+4x+5+x﹣5＝﹣x2+5x，


∵AC＝4，


∴S四边形APCD＝×AC×PD＝2（﹣x2+5x）＝﹣2x2+10x＝﹣2（x﹣）2+，


∵﹣2＜0


∴当x＝时，


∴即：点P（，）时，S四边形APCD最大＝．





第x天
1
2
3
4
5
销售价格p（元/只）
2
3
4
5
6
销量q（只）
70
75
80
85
90