数学第十一章 三角形综合与测试精品课时作业

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第十一章《三角形》





一．选择题


1．已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+4、n+8，则n的取值范围是（ ）


A．n＞﹣1B．n＞0C．n＞2D．n＞3


2．如图，AP，CP分别是四边形ABCD的外角∠DAM，∠DCN的平分线，设∠ABC＝α，∠APC＝β，则∠ADC的度数为（ ）





A．180°﹣α﹣βB．α+βC．α+2βD．2α+β


3．已知三角形的两边分别为4和10，则此三角形的第三边可能是（ ）


A．4B．5C．9D．14


4．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度数是（ ）





A．110°B．120°C．130°D．140°


5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（ ）





A．45°B．60°C．50°D．55°


6．如图，∠ACB＝90°，直线AB与∠ACB的两边分别交于点A、B，点D是线段AB上的一个动点．学习了“余角和补角”知识后，小明同学又结合小学学过的“三角形内角和”知识，进一步探究发现：当动点D的位置刚好满足∠ADC＝90°时，对应的图形中除直角（90°）相等外，相等的角还有（ ）





A．1对B．2对C．3对D．4对


7．如图，三角形ABC，∠BAC＝90°，AD是三角形ABC的高，图中相等的是（ ）





A．∠B＝∠CB．∠BAD＝∠BC．∠C＝∠BADD．∠DAC＝∠C


8．将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（ ）





A．75°B．105°C．135°D．165°


9．赵师傅在做完门框后，为防止变形，按图中所示的方法在门上钉了两根斜拉的木条（图中的AB，CD两根木条），其中运用的几何原理是（ ）





A．两点之间线段最短


B．三角形两边之和大于第三边


C．垂线段最短


D．三角形的稳定性


10．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）





A．140°B．130°C．120°D．110°


11．将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B'处，若B'D∥CB，∠ACB'＝3∠ADB'，则下列结论正确的是（ ）





A．∠ADB'＝∠ACDB．∠ACB'+∠ADB'＞90°


C．∠B＝22.5°D．∠B'DC＝67.5°


12．如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）





A．32°B．45°C．60°D．64°





二．填空题


13．如图，将一张三角形纸片折叠，使得点A、点C都与点B重合，折痕分别为DE、FG，此时测得∠EBG＝36°，则∠ABC＝ °．





14．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝ 度．





15．若正n边形的每个内角都等于150°，则n＝ ，其内角和为 ，外角和为 ．


16．如图，△ABC中，∠A＝55°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DB的度数为 ．





17．如图，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A＝n°，则∠BEC＝ ．








三．解答题


18．如图1，已知点E和点F分别在直线AB和CD上，EL和FG分别平分∠BEF和∠EFC，EL∥FG．





（1）求证：AB∥CD；


（2）如图2，点M为FD上一点，∠BEM，∠EFD的角平分线EH，FH相交于点H，若∠H＝∠FEM+15°，延长HE交FG于点G，求∠G的度数；


（3）如图3，点N在直线AB和直线CD之间，且EN⊥FN，点P为直线AB上的点，若∠EPF，∠PFN的角平分线交于点Q，设∠BEN＝α，直接写出∠PQF的大小为 （用含α的式子表示）．








19．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外角∠EAC．求证：AD∥BC．








20．如图，在△ABC中，∠BAC：∠B：∠C＝3：5：7，点D是BC边上一点，点E是AC边上一点，连接AD、DE，若∠1＝∠2，∠ADB＝102°．


（1）求∠1的度数；


（2）判断ED与AB的位置关系，并说明理由．





21．如图：已知△ABC与△DEF是一副三角板的拼图，A，E，C，D在同一条线上．


（1）求证EF∥BC；


（2）求∠1与∠2的度数．











22．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．


（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；


（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；


（3）如图3，在 （2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．








参考答案


一．选择题


1．解：∵三角形的三边长分别是n+2、n+4、n+8，


∴n+2+n+4＞n+8，


解得n＞2．


故选：C．


2．解：在四边形ABCD中，


∠ADC＝360°﹣α﹣（∠DCB+∠DAB）


＝360°﹣α﹣（360°﹣2∠PCD﹣2∠PAD）


＝2（∠PCD+∠PAD）﹣α


＝2（∠ADC﹣β）﹣α，


∴∠ADC＝α+2β，


故选：C．


3．解：设此三角形第三边的长为x，则10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有9符合条件．


故选：C．


4．解：∴∠A＝50°，


∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，


∴∠DBC+∠DCB＝∠ABC+∠ACB﹣∠1﹣∠2＝130°﹣30°﹣40°＝60°，


∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝120°，


故选：B．


5．解：∵AE平分∠BAC，


∴∠BAE＝∠CAE＝30°，


∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣20°＝10°，


∵AD⊥BC，


∴∠ADE＝90°，


∴∠AED＝90°﹣∠EAD＝80°，


∵∠AED＝∠B+∠BAE，


∴∠B＝80°﹣30°＝50°，


故选：C．


6．解：∵∠ADC＝∠ACB＝90°，


∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°，


∴∠ACD＝∠B，


同法可证∠A＝∠DCB，


故选：B．


7．解：∵AD是三角形ABC的高，


∴∠ADB＝∠ADC＝90°＝∠BAC，


∴∠B+∠C＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∠C+∠CAD＝90°，


∴∠B＝∠DAC，∠C＝∠BAD，


故选：C．


8．解：∠AOC＝∠DAB﹣∠C＝15°，


∴∠α＝180°﹣15°＝165°，


故选：D．





9．解：按图中所示的方法在门上钉了两根斜拉的木条（图中的AB，CD两根木条），其中运用的几何原理是三角形的稳定性，


故选：D．


10．解：如图：





∵m∥n，∠1＝30°，


∴∠3＝∠1＝30°．


∵∠ACB＝90°，


∴∠4＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣30°＝60°，


∴∠2＝180°﹣∠4＝180°﹣60°＝120°．


故选：C．


11．解：设∠B＝x．


∵DB′∥BC，


∴∠ADB′＝∠B＝x，


∴∠ACB′＝3∠ADB′＝3x，


由翻折可知：∠B＝∠B′＝x，


又∵∠ADB′＝∠B


∴AB∥B′C，


∴∠A＝∠ACB′＝3x，


∵∠ACB＝90°，


∴x+3x＝90°，


∴x＝22.5°，


∴∠B＝22.5°，


故选：C．


12．解：如图所示：


由折叠的性质得：∠D＝∠B＝32°，


根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，


∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+64°，


∴∠1﹣∠2＝64°．


故选：D．





二．填空题（共5小题）


13．解：∵把一张三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，


∴∠ABE＝∠A，∠CBG＝∠C，


∵∠A+∠C＝180°﹣∠ABC，


∵∠ABC＝∠ABE+∠CBG+∠EBG，


∴∠ABC＝∠A+∠C+36°＝180°﹣∠ABC+36°，


∴∠ABC＝108°，


故答案为：108．


14．解：正六边形的每个内角的度数为：＝120°，


所以∠ABC＝120°﹣90°＝30°，


故答案为：30．


15．解：∵正n边形的每个内角都等于150°，


∴＝150°，


解得，n＝12；


其内角和为（12﹣2）×180°＝1800°；


由多边形外角和定理可得外角和是360°．


故答案为：12；1800°，360°．


16．解：由翻折的性质可知：∠ADE＝∠EDA′，∠AED＝∠A′ED＝（180°﹣70°）＝55°，


∵∠A＝55°，


∴∠ADE＝∠EDA′＝180°﹣55°﹣55°＝70°，


∴∠A′DB＝180°﹣140°＝40°，


故答案为40°．


17．解：∵线段BD、BE把∠ABC三等分，


∴∠EBC＝∠ABC；


又∵线段CD、CE把∠ACB三等分，


∴∠ECB＝∠ACB；


∴∠EBC+∠ECB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），


∴∠BEC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝60°+∠A，


∵∠A＝n°，


∴∠BEC＝60°+n°；


故答案为60°+n°；


三．解答题（共5小题）


18．证明：（1）如图1，∵EL和FG分别平分∠BEF和∠EFC，





∴∠FEL＝∠BEF，∠EFG＝∠EFC，


∵GF∥EL，


∴∠FEL＝∠EFG，


∴∠BEF＝∠EFC，


∴AB∥CD；


（2）如图2，设∠BEH＝α，∠DFH＝β，


∵FH平分∠EFD，FG平分∠EFC，


∴∠EFH+∠EFG＝+∠EFC＝90°，


∵∠BEM，∠EFD的角平分线EH，FH相交于点H，


∴∠BEH＝∠MEH＝α，∠EFH＝∠DFH＝β，


∵AB∥CD，


∴∠ENG＝∠DFG，


∵△EGN中，∠BEG＝∠G+∠ENG，


∴∠BEG＝∠G+∠DFG，


∴∠G＝∠BEG﹣∠DFG＝180°﹣α﹣（90°+β）＝90°﹣（α+β），


∵AB∥CD，


∴∠BEF+∠EFD＝180°，即2α+∠FEM+2β＝180°，


∴∠FEM＝180°﹣2（α+β），


∵∠H＝∠FEM+15°，且∠G+∠H＝90°，


∴90°﹣（α+β）+180°﹣2（α+β）+15°＝90°，


∴α+β＝65°，


∴∠G＝90°﹣65°＝25°；


（3）分两种情况：


延长FN交AB于H，


①当P在点E的右边时，如图3，设∠EPK＝x，∠PFQ＝y，





∵PK平分∠APF，FQ平分∠PFN，


∴∠EPK＝∠KPF＝x，∠PFQ＝∠QFH＝y，


∵△PQF中，∠KQF＝∠KPF+∠PFQ＝x+y，


∠PQF＝180°﹣（x+y），


∵EN⊥FN，


∴∠ENF＝∠ENH＝90°


∵∠BEN＝α，


∴∠EHN＝90°﹣α，


∵△PFH中，∠EHN＝∠HPF+∠HFP，


∴90°﹣α＝2x+2y，


∴∠PQF＝180°﹣（x+y）＝180°﹣＝135°+；


②当点P在E的左边时，如图4，设∠EPQ＝x，∠PFQ＝y，





∵△PFH中，∠HPF+∠PFH+∠FHP＝180°，


∴2x+2y+90°﹣α＝180°，


∴x+y＝，


∴△PFQ中，∠PQF＝180°﹣（x+y）＝180°﹣＝135°﹣，


综上，∠PQF的度数为135°+或135°﹣．


故答案为：135°+或135°﹣．





19．证明：由三角形的外角性质得，∠EAC＝∠B+∠C，


∵∠B＝∠C，


∴∠EAC＝2∠B，


∵AD平分外角∠EAC，


∴∠EAC＝2∠EAD，


∴∠B＝∠EAD，


∴AD∥BC．


20．解：（1）∵∠BAC：∠B：∠C＝3：5：7，


∴设∠BAC＝3x，∠B＝5x，∠C＝7x，


∴3x+5x+7x＝180°，


解得：x＝12°，


∴∠BAC＝36°，∠B＝60°，∠C＝84°，


∵∠ADB＝102°，


∴∠1＝∠ADB﹣∠C＝102°﹣84°＝18°；





（2）ED∥AB．理由：


∵∠1＝∠2，


∴∠2＝18°，


∵∠BAC＝36°，


∴∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝36°﹣18°＝18°，


∴∠2＝∠BAD，


∴ED∥AB．


21．解：（1）∵EF⊥AD，BC⊥AD，


∴BC∥EF（同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行）．





（2）∵∠APE＝180°﹣∠AEP﹣∠A＝180°﹣90°﹣45°＝45°，


又∵∠APE＝∠OPF，


∴∠1＝∠F+∠OPF＝30°+45°＝75°，


∠2＝∠DCQ+∠D＝90°+60°＝150°．


22．解：（1）如图1，延长AD交BC于E．





在△ABE中，∠AEC＝∠A+∠B＝28°+72°＝100°，


在△DEC中，∠ADC＝∠AEC+∠C＝100°+11°＝111°．





（2）∠A﹣∠C＝2∠P，理由如下：





如图2，∠5＝∠A+∠1，∠5＝∠P+∠3，


∴∠A+∠1＝∠P+∠3，


∵PB平分∠ABC，PD平分∠ADC，


∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，


∴∠A+∠2＝∠P+∠4，


由（1）知∠4＝∠2+∠P+∠C，


∴∠A+∠2＝∠P+∠2+∠P+∠C，


∴∠A﹣∠C＝2∠P．





（3）∠A+∠C＝2∠P，理由如下：





同（2）理知∠A+∠1＝∠P+∠3，∠C+∠4＝∠P+∠2，


∴∠A+∠C+∠1+∠4＝2∠P+∠2+∠3，


∵PB平分∠ABC，PD平分∠ADC，


∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，


∴∠1+∠4＝∠2+∠3，


∴∠A+∠C＝2∠P．