还剩22页未读，
继续阅读
人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试优秀综合训练题
展开
这是一份人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试优秀综合训练题，共25页。试卷主要包含了已知函数y＝﹣，如图等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1．已知函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜nB．m＜a＜n＜bC．a＜m＜b＜nD．a＜m＜n＜b
2．根据下表，确定方程ax2+bx+c＝0的一个解的取值范围是（ ）
A．2＜x＜2.23B．2.23＜x＜2.24
C．2.24＜x＜2.25D．2.24＜x≤2.25
3．如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
4．关于二次函数y＝2x2﹣mx+m﹣2，以下结论：
①抛物线交x轴有交点；
②不论m取何值，抛物线总经过点（1，0）；
③若m＞6，抛物线交x轴于A、B两点，则AB＞1；
④抛物线的顶点在y＝﹣2（x﹣1）2图象上．其中正确的序号是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④
5．如图：二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（ ）
A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣2
6．某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y＝x2的形状．今在一个坡度为1：5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱（如图），这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为（ ）
A．12.75米B．13.75米C．14.75米D．17.75米
7．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤
8．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．
其中正确判断有 （ ）
A．①②③④B．②③④C．①③④D．①③
二．填空题
9．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是 ．
10．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m＝ ．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝于点B、C，则BC的长为 ．
12．如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D、E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为 m．
13．二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2011在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2011在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2010B2011A2011都为等边三角形，则△A2010B2011A2011的边长＝ ．
14．如图，在一个与地面垂直的截面中建立直角坐标系（横坐标表示地面位移，纵坐标表示高度），一架无人机的飞行路线为y＝ax2+bx+c（a≠0），在直角坐标系中x轴上的线段AB上的某点起飞，途经空中线段EF上的某点，最后在线段CD上的某点降落，其中A（﹣2，0）、B（﹣1，0）、C（3，0）、D（4，0）、E（0，3）、F（0，2），则下列结论正确的有 （填序号）
（1）abc＜0；
（2）从起飞到当x≤1时无人机一直是上升的；
（3）2≤a+b+c≤4.5；
（4）最大飞行高度不超过4．
三．解答题
15．抛物线C1：y＝﹣x2﹣x+2交x轴于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）M为平面内一点，将抛物线C1绕点M旋转180°后得到抛物线C2，C2经过点A且抛物线C2上有一点P，使△BCP是以∠B为直角的等腰直角三角形．是否存在这样的点M？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．
16．已知，抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，顶点为P．
（1）当a＝1，m＝2时，求线段AB的长度；
（2）当a＝2，若点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，求该抛物线的解析式；
（3）若，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．
17．如图1，我们将经过抛物线顶点的所有非竖直的直线，叫做该抛物线的“风车线”，若抛物线的顶点为P（a，b），则它的所有“风车线”可以统一表示为：y＝k（x﹣a）+b，即当x＝a时，y始终等于b．
（1）若抛物线y＝﹣2（x+1）2+3与y轴交于点A，求该抛物线经过点A的“风车线”的解析式；
（2）若抛物线可以通过y＝﹣x2平移得到，且它的“风车线”可以统一表示为y＝kx+3k﹣2，求该抛物线的解析式；
（3）如图2，直线m：y＝x+3与直线n：y＝﹣2x+9交于点A，抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+1的“风车线”与直线m、n分别交于B、C两点，若△ABC的面积为12，求满足条件的“风车线”的解析式．
18．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．
（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点P，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，直线y＝与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．
①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG＝S△OEG时，求m的值；
②在平面内是否在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，
令y＝0，根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根为a，b，
∵当x＝m或n时，y＝3＞0，
∴实数m，n，a，b的大小关系为a＜m＜n＜b．
故选：D．
2．解：∵对于函数y＝ax2+bx+c，
当x＝2.23时y＜0，
当x＝2.24时y＞0，
可见，x取2.23与2.24之间的某一值时，y＝0，
则方程ax2+bx+c＝0的一个解的取值范围是2.23＜x＜2.24．
故选：B．
3．解：设正方形的边长为m，则m＞0，
∵AE＝x，
∴DH＝x，
∴AH＝m﹣x，
∵EH2＝AE2+AH2，
∴y＝x2+（m﹣x）2，
y＝x2+x2﹣2mx+m2，
y＝2x2﹣2mx+m2，
＝2[（x﹣m）2+]，
＝2（x﹣m）2+m2，
∴y与x的函数图象是A．
故选：A．
4．解：二次函数y＝2x2﹣mx+m﹣2，
∵a＝2，b＝﹣m，c＝m﹣2，
∴b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣8（m﹣2）＝（m﹣4）2≥0，
则抛物线与x轴有交点，故①正确；
∵当x＝1时，y＝2﹣m+m﹣2＝0，
∴不论m取何值，抛物线总经过点（1，0），故②正确；
设A的坐标为（x1，0），B（x2，0），
令y＝0，得到2x2﹣mx+m﹣2＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴AB＝|x1﹣x2|＝＝＝||，
当m＞6时，可得m﹣4＞2，即＞1，
∴AB＞1，故③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（，），
∴将x＝代入得：y＝﹣2（﹣1）2＝﹣2（﹣+1）＝，
∴抛物线的顶点坐标在y＝﹣2（x﹣1）2图象上，故④正确，
综上，正确的序号有①②③④．
故选：A．
5．解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），
∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点C（0，t），
∴t＝2；
∵AC⊥BC，
∴OC2＝OA•OB，即4＝|x1x2|＝﹣x1x2，
根据韦达定理知x1x2＝，
∴a＝﹣．
故选：A．
6．解：如图，以点D为原点，DC方向为x轴建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝x2+bx+c，
易知：A（0，20），B（50，30），代入解析式可求得：
b＝﹣，c＝20，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+20，
∵斜坡的坡度为1：5，
∴斜坡所在直线的解析式为：y＝x，
设一条与x轴垂直的直线x＝m与抛物线交于M，与斜坡交于G，
则MG＝m2﹣m+20﹣m＝（m﹣25）2+13.75，
∴当m＝25时，MG的最小值为13.75，
即下垂的电缆与地面的最近距离为13.75m；
故选：B．
7．解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x＝1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；
∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选：C．
8．解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，
∵△＝4﹣4＝0，
∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①结论正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，
又∵﹣2＜0＜，点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，
∴y2＞y3＞y1，故②结论错误；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故③结论正确；
④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，
∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，
则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，
∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：+＝+＝，故④结论正确；
综上所述，正确的结论是①③④．
故选：C．
二．填空题
9．解：
当x≥1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣7x，
图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，﹣），
当x＜1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣x﹣6，
顶点坐标为（，﹣），
∴当b＝﹣6或b＝﹣时，两图象恰有三个交点．
故本题答案为：﹣6，﹣．
10．解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．
（2）当m﹣1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x轴有两个不同的交点，
于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，
解得，（m﹣）2＜，
解得m＜或m＞．
将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．
（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与y轴交于交于另一点，
这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，
解得：m＝．
故答案为：1或0或．
11．解：∵抛物线y＝ax2+3与y轴交于点A，
∴A点坐标为（0，3）．
当y＝3时，＝3，
解得x＝±3，
∴B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3），
∴BC＝3﹣（﹣3）＝6．
故答案为6．
12．解：如图所示，建立平面直角坐标系，x轴在直线DE上，y轴经过最高点C．
设AB与y轴交于点H，
∵AB＝36，
∴AH＝BH＝18，
由题可知：
OH＝7，CH＝9，
∴OC＝9+7＝16，
设该抛物线的解析式为：y＝ax2+k，
∵顶点C（0，16），
∴抛物线y＝ax2+16，
代入点（18，7）
∴7＝18×18a+16，
∴7＝324a+16，
∴324a＝﹣9，
∴a＝﹣，
∴抛物线：y＝﹣x2+16，
当y＝0时，0＝﹣x2+16，
∴﹣x2＝﹣16，
∴x2＝16×36＝576
∴x＝±24，
∴E（24，0），D（﹣24，0），
∴OE＝OD＝24，
∴DE＝OD+OE＝24+24＝48，
故答案为：48．
13．解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，
设A0A1＝a，A1A2＝b，A2A3＝c，则AB1＝a，BB2＝b，CB3＝c，
在正△A0B1A1中，B1（a，），
代入y＝x2中，得 ＝•（a）2，解得a＝1，即A0A1＝1，
在正△A1B2A2中，B2（b，1+），
代入y＝x2中，得1+＝•（b）2，解得b＝2，即A1A2＝2，
在正△A2B3A3中，B3（c，3+），
代入y＝x2中，得3+＝•（c）2，解得c＝3，即A2A3＝3，
由此可得△A2010B2011A2011的边长＝2011．
故答案为：2011．
14．解：∵线段AB上的某点起飞，途经空中线段EF上的某点，最后在线段CD上的某点降落，
且由所给点的坐标可知，对称轴位于y轴右侧，抛物线开口向下
∴a＜0，b＞0（a，b符号左同右异），c＞0（抛物线与y轴交于线段EF上某点）
∴abc＜0
∴（1）正确；
当起飞点位于点A，而降落点位于点C时，对称轴为x＝＝＜1
∴（2）不正确；
当抛物线过点B，点E，点C时，设y＝a（x+1）（x﹣3），
将E（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0﹣3），
∴a＝﹣1
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）
当x＝1时，y＝﹣2×（﹣2）＝4；
当抛物线过点B，点E，点D时，设y＝a（x+1）（x﹣4），
将E（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0﹣4），
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣4），
当x＝＝时，y＝＞4，
故（4）不正确，
当抛物线过点A，点F，点D时，设y＝a（x+2）（x﹣4），
将F（0，2）代入得：2＝a（0+2）（0﹣4），
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x+2）（x﹣4），
当x＝1时，y＝a+b+c＝＞2，
当抛物线过点A，点F，点C时，设y＝a（x+2）（x﹣3），
将F（0，2）代入得：2＝a（0+2）（0﹣3），
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x+2）（x﹣3），
当x＝1时，y＝a+b+c＝2，
将x＝1代入y＝﹣（x+1）（x﹣4）得y＝a+b+c＝4.5，
故（3）正确．
综上，（1）（3）正确．
故答案为：（1）（3）．
三．解答题
15．解：（1）当y＝0时，﹣x2﹣x+2＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∵点A在点B的右侧，
∴A（2，0），B（﹣4，0）；
（2）分两种情况：
①当P在x轴的下方时，如图1，过P作PD⊥x轴于D，
设抛物线C1的顶点为E，则E（﹣1，），
∵△PBC是等腰直角三角形，
∴BC＝PB，∠PBC＝90°，
∴∠CBO+∠OCB＝∠OBC+∠PBD＝90°，
∴∠OCB＝∠PBD，
∵∠BOC＝∠PDB＝90°，
∴△BOC≌△PDB（AAS），
∴PD＝OB＝4，BD＝OC＝2，
∴OD＝4﹣2＝2，
∴P（﹣2，﹣4），
∵抛物线C1绕点M旋转180°后得到抛物线C2，
∴设抛物线C2的解析式为：y＝，
把P（﹣2，﹣4）和A（2，0）代入得：，
解得：，
∴抛物线C2的解析式为：y＝＝，
此时点P为抛物线C2的顶点，
∴M是线段EP的中点，
∴M（﹣，﹣）；
②当点P在x轴的上方时，如图2，过P作PD⊥x轴于D，
同理得△PDB≌△BOC，
∴PD＝OB＝4，BD＝OC＝2，
∴P（﹣6，4），
∵抛物线C2经过点P和点A，同理可得抛物线的解析式为：y＝＝，
∴顶点F（﹣1，﹣），
∵抛物线C1绕点M旋转180°后得到抛物线C2，
∴M是线段EF的中点，
∴M（﹣1，0）；
综上，点M的坐标为：（﹣，﹣）或（﹣1，0）．
16．解：（1）当a＝1，m＝2时，y＝x2﹣4x+3，
当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴AB＝3﹣1＝2；
（2）当a＝2时，y＝2x2﹣4mx+2m2+2m﹣5＝2（x﹣m）2+2m﹣5，
∵顶点为P，
∴P（m，2m﹣5），
∴点P在直线 y＝2x﹣5上，
∵点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，
∴当点P在第一象限时，m＝2m﹣5，m＝5，该抛物线的解析式为y＝2（x﹣5）2+5，
当解析式为y＝2（x﹣5）2+5时，该抛物线与x轴无交点与题意有两个交点矛盾，故这种情况舍去，
当点P在第四象限时，m＝﹣（2m﹣5），m＝，该抛物线的解析式为；
（3）当a＝时，抛物线的解析式为y＝（x﹣m）2+2m﹣5，
分三种情况考虑：
①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，
整理，得：m2﹣14m+39＝0，
解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；
②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，
解得：m＝；
③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，
整理，得：m2﹣20m+60＝0，
解得：m3＝10﹣2（舍去），m4＝10+2．
综上所述：m的值为或10+2．
17．解：（1）对于y＝﹣2（x+1）2+3，令x＝0，则y＝1，故点A（0，1），
顶点P的坐标为（﹣1，3），
则“风车线”的表达式为y＝k（x+1）+3，
将点A的坐标代入上式并解得：k＝﹣2，
故“风车线”的解析式为y＝﹣2（x+1）+3＝﹣2x+1；
（2）y＝kx+3k﹣2＝k（x+3）﹣2，故点P的坐标为（﹣3，﹣2），
故平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x+3）2﹣2；
（3）∵抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+1，则点P（2，1），
则“风车线”的表达式为y＝k（x﹣2）+1，
联立，解得，故点A（2，5），
故AP＝5﹣1＝4，
则△ABC的面积＝S△APB+S△APC＝×4×（xC﹣xB）＝12，
解得：xC﹣xB＝6，
设点B的横坐标为t，则点C的横坐标为t+6，
点B在直线m上，则点B（t，t+3），
同理点C（t+6，﹣2t﹣3），
将点B、C的坐标分别代入y＝k（x﹣2）+1，得，
解得，
故“风车线”的表达式为y＝k（x﹣2）+1＝﹣（x﹣2）+1＝﹣x+3．
18．解：（1）把点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）代入抛物线的解析式为y＝x2+bx+c中得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点的坐标为（1，﹣4）；
（2）如图1，设直线BC的解析式为y＝kx+d（k≠0），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴B（3，0），
将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+d中，
得：，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∵OP＝t，
设点P的坐标为（t，0），则点N的坐标为（t，t﹣3），H（t，t2﹣2t﹣3），
∴NH＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，
∴S＝S△BCH＝NH•OB＝＝﹣t＝﹣，
∵0≤t≤3，﹣，
∴当t＝时，S取最大值，最大值为；
（3）分两种情况：
①当Q在x轴的上方时，如图2和图4，四边形ACPQ是平行四边形，
根据A（﹣1，0）和C（0，﹣3）可知：点Q的纵坐标为3，
当y＝3时，x2﹣2x﹣3＝3，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣，
∴P（2+，0）或（2﹣，0）；
②当Q在x轴的上方时，如图3，四边形ACQP是平行四边形，
当y＝﹣3时，由对称得：Q（2，﹣3），
∴P（1，0）；
综上，P点的坐标为（2+，0）或（2﹣，0）或（1，0）．
19．解：（1）∵点A（﹣1，0），C（4，0），
∴AC＝5，OC＝4，
∵AC＝BC＝5，
∴B（4，5），
把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），
∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，EF的最大值为，
∴点E的坐标为（，），
∴S△ABF＝＝＝．
（3）存在，
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴设P（1，m），
分三种情况：
①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2＝PA2，
∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（4+1）2+52＝（1+1）2+m2，
解得：m＝8，
∴P（1，8）；
②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2＝PB2，
∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52＝（4﹣1）2+（m﹣5）2，
解得：m＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2＝BA2，
∴（1+1）2+m2+（4﹣1）2+（m﹣5）2＝（4+1）2+52，
解得：m＝6或﹣1，
∴P（1，6）或（1，﹣1）；
综上，点P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．
20．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣4）＝﹣；
（2）①如图1，∵B（4，0），C（0，4），
∴设BC的解析式为：y＝kx+b，
则，解得，
∴BC的解析式为：y＝﹣x+4，
∴﹣x+4＝，
解得：x＝1，
∴E（1，3），
∵M（m，0），且MH⊥x轴，
∴G（m，），F（m，﹣），
∵S△EFG＝S△OEG，
∴，
[（﹣）﹣（）]（1﹣m）＝，
解得：m1＝，m2＝﹣2；
②存在，由①知：E（1，3），
∵四边形EFHP是正方形，
∴FH＝EF，∠EFH＝∠FHP＝∠HPE＝90°，
∵M（m，0），且MH⊥x轴，
∴H（m，﹣m+4），F（m，﹣），
分两种情况：
i）当﹣3≤m＜1时，如图2，点F在EP的左侧，
∴FH＝（﹣m+4）﹣（﹣）＝，
∵EF＝FH，
∴，
解得：m1＝（舍），m2＝，
∴H（，），
∴P（1，），
ii）当1＜m＜4时，点F在PE的右边，如图3，
同理得﹣＝m﹣1，
解得：m1＝，m2＝（舍），
同理得P（1，）；
综上，点P的坐标为：或．
x
2
2.23
2.24
2.25
ax2+bx+c
﹣0.05
﹣0.02
0.03
0.07
一．选择题
1．已知函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜nB．m＜a＜n＜bC．a＜m＜b＜nD．a＜m＜n＜b
2．根据下表，确定方程ax2+bx+c＝0的一个解的取值范围是（ ）
A．2＜x＜2.23B．2.23＜x＜2.24
C．2.24＜x＜2.25D．2.24＜x≤2.25
3．如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
4．关于二次函数y＝2x2﹣mx+m﹣2，以下结论：
①抛物线交x轴有交点；
②不论m取何值，抛物线总经过点（1，0）；
③若m＞6，抛物线交x轴于A、B两点，则AB＞1；
④抛物线的顶点在y＝﹣2（x﹣1）2图象上．其中正确的序号是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④
5．如图：二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（ ）
A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣2
6．某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y＝x2的形状．今在一个坡度为1：5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱（如图），这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为（ ）
A．12.75米B．13.75米C．14.75米D．17.75米
7．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤
8．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．
其中正确判断有 （ ）
A．①②③④B．②③④C．①③④D．①③
二．填空题
9．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是 ．
10．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m＝ ．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝于点B、C，则BC的长为 ．
12．如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D、E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为 m．
13．二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2011在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2011在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2010B2011A2011都为等边三角形，则△A2010B2011A2011的边长＝ ．
14．如图，在一个与地面垂直的截面中建立直角坐标系（横坐标表示地面位移，纵坐标表示高度），一架无人机的飞行路线为y＝ax2+bx+c（a≠0），在直角坐标系中x轴上的线段AB上的某点起飞，途经空中线段EF上的某点，最后在线段CD上的某点降落，其中A（﹣2，0）、B（﹣1，0）、C（3，0）、D（4，0）、E（0，3）、F（0，2），则下列结论正确的有 （填序号）
（1）abc＜0；
（2）从起飞到当x≤1时无人机一直是上升的；
（3）2≤a+b+c≤4.5；
（4）最大飞行高度不超过4．
三．解答题
15．抛物线C1：y＝﹣x2﹣x+2交x轴于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）M为平面内一点，将抛物线C1绕点M旋转180°后得到抛物线C2，C2经过点A且抛物线C2上有一点P，使△BCP是以∠B为直角的等腰直角三角形．是否存在这样的点M？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．
16．已知，抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，顶点为P．
（1）当a＝1，m＝2时，求线段AB的长度；
（2）当a＝2，若点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，求该抛物线的解析式；
（3）若，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．
17．如图1，我们将经过抛物线顶点的所有非竖直的直线，叫做该抛物线的“风车线”，若抛物线的顶点为P（a，b），则它的所有“风车线”可以统一表示为：y＝k（x﹣a）+b，即当x＝a时，y始终等于b．
（1）若抛物线y＝﹣2（x+1）2+3与y轴交于点A，求该抛物线经过点A的“风车线”的解析式；
（2）若抛物线可以通过y＝﹣x2平移得到，且它的“风车线”可以统一表示为y＝kx+3k﹣2，求该抛物线的解析式；
（3）如图2，直线m：y＝x+3与直线n：y＝﹣2x+9交于点A，抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+1的“风车线”与直线m、n分别交于B、C两点，若△ABC的面积为12，求满足条件的“风车线”的解析式．
18．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．
（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点P，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，直线y＝与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．
①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG＝S△OEG时，求m的值；
②在平面内是否在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，
令y＝0，根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根为a，b，
∵当x＝m或n时，y＝3＞0，
∴实数m，n，a，b的大小关系为a＜m＜n＜b．
故选：D．
2．解：∵对于函数y＝ax2+bx+c，
当x＝2.23时y＜0，
当x＝2.24时y＞0，
可见，x取2.23与2.24之间的某一值时，y＝0，
则方程ax2+bx+c＝0的一个解的取值范围是2.23＜x＜2.24．
故选：B．
3．解：设正方形的边长为m，则m＞0，
∵AE＝x，
∴DH＝x，
∴AH＝m﹣x，
∵EH2＝AE2+AH2，
∴y＝x2+（m﹣x）2，
y＝x2+x2﹣2mx+m2，
y＝2x2﹣2mx+m2，
＝2[（x﹣m）2+]，
＝2（x﹣m）2+m2，
∴y与x的函数图象是A．
故选：A．
4．解：二次函数y＝2x2﹣mx+m﹣2，
∵a＝2，b＝﹣m，c＝m﹣2，
∴b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣8（m﹣2）＝（m﹣4）2≥0，
则抛物线与x轴有交点，故①正确；
∵当x＝1时，y＝2﹣m+m﹣2＝0，
∴不论m取何值，抛物线总经过点（1，0），故②正确；
设A的坐标为（x1，0），B（x2，0），
令y＝0，得到2x2﹣mx+m﹣2＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴AB＝|x1﹣x2|＝＝＝||，
当m＞6时，可得m﹣4＞2，即＞1，
∴AB＞1，故③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（，），
∴将x＝代入得：y＝﹣2（﹣1）2＝﹣2（﹣+1）＝，
∴抛物线的顶点坐标在y＝﹣2（x﹣1）2图象上，故④正确，
综上，正确的序号有①②③④．
故选：A．
5．解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），
∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点C（0，t），
∴t＝2；
∵AC⊥BC，
∴OC2＝OA•OB，即4＝|x1x2|＝﹣x1x2，
根据韦达定理知x1x2＝，
∴a＝﹣．
故选：A．
6．解：如图，以点D为原点，DC方向为x轴建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝x2+bx+c，
易知：A（0，20），B（50，30），代入解析式可求得：
b＝﹣，c＝20，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+20，
∵斜坡的坡度为1：5，
∴斜坡所在直线的解析式为：y＝x，
设一条与x轴垂直的直线x＝m与抛物线交于M，与斜坡交于G，
则MG＝m2﹣m+20﹣m＝（m﹣25）2+13.75，
∴当m＝25时，MG的最小值为13.75，
即下垂的电缆与地面的最近距离为13.75m；
故选：B．
7．解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x＝1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；
∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选：C．
8．解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，
∵△＝4﹣4＝0，
∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①结论正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，
又∵﹣2＜0＜，点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，
∴y2＞y3＞y1，故②结论错误；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故③结论正确；
④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，
∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，
则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，
∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：+＝+＝，故④结论正确；
综上所述，正确的结论是①③④．
故选：C．
二．填空题
9．解：
当x≥1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣7x，
图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，﹣），
当x＜1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣x﹣6，
顶点坐标为（，﹣），
∴当b＝﹣6或b＝﹣时，两图象恰有三个交点．
故本题答案为：﹣6，﹣．
10．解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．
（2）当m﹣1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x轴有两个不同的交点，
于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，
解得，（m﹣）2＜，
解得m＜或m＞．
将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．
（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与y轴交于交于另一点，
这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，
解得：m＝．
故答案为：1或0或．
11．解：∵抛物线y＝ax2+3与y轴交于点A，
∴A点坐标为（0，3）．
当y＝3时，＝3，
解得x＝±3，
∴B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3），
∴BC＝3﹣（﹣3）＝6．
故答案为6．
12．解：如图所示，建立平面直角坐标系，x轴在直线DE上，y轴经过最高点C．
设AB与y轴交于点H，
∵AB＝36，
∴AH＝BH＝18，
由题可知：
OH＝7，CH＝9，
∴OC＝9+7＝16，
设该抛物线的解析式为：y＝ax2+k，
∵顶点C（0，16），
∴抛物线y＝ax2+16，
代入点（18，7）
∴7＝18×18a+16，
∴7＝324a+16，
∴324a＝﹣9，
∴a＝﹣，
∴抛物线：y＝﹣x2+16，
当y＝0时，0＝﹣x2+16，
∴﹣x2＝﹣16，
∴x2＝16×36＝576
∴x＝±24，
∴E（24，0），D（﹣24，0），
∴OE＝OD＝24，
∴DE＝OD+OE＝24+24＝48，
故答案为：48．
13．解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，
设A0A1＝a，A1A2＝b，A2A3＝c，则AB1＝a，BB2＝b，CB3＝c，
在正△A0B1A1中，B1（a，），
代入y＝x2中，得 ＝•（a）2，解得a＝1，即A0A1＝1，
在正△A1B2A2中，B2（b，1+），
代入y＝x2中，得1+＝•（b）2，解得b＝2，即A1A2＝2，
在正△A2B3A3中，B3（c，3+），
代入y＝x2中，得3+＝•（c）2，解得c＝3，即A2A3＝3，
由此可得△A2010B2011A2011的边长＝2011．
故答案为：2011．
14．解：∵线段AB上的某点起飞，途经空中线段EF上的某点，最后在线段CD上的某点降落，
且由所给点的坐标可知，对称轴位于y轴右侧，抛物线开口向下
∴a＜0，b＞0（a，b符号左同右异），c＞0（抛物线与y轴交于线段EF上某点）
∴abc＜0
∴（1）正确；
当起飞点位于点A，而降落点位于点C时，对称轴为x＝＝＜1
∴（2）不正确；
当抛物线过点B，点E，点C时，设y＝a（x+1）（x﹣3），
将E（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0﹣3），
∴a＝﹣1
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）
当x＝1时，y＝﹣2×（﹣2）＝4；
当抛物线过点B，点E，点D时，设y＝a（x+1）（x﹣4），
将E（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0﹣4），
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣4），
当x＝＝时，y＝＞4，
故（4）不正确，
当抛物线过点A，点F，点D时，设y＝a（x+2）（x﹣4），
将F（0，2）代入得：2＝a（0+2）（0﹣4），
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x+2）（x﹣4），
当x＝1时，y＝a+b+c＝＞2，
当抛物线过点A，点F，点C时，设y＝a（x+2）（x﹣3），
将F（0，2）代入得：2＝a（0+2）（0﹣3），
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x+2）（x﹣3），
当x＝1时，y＝a+b+c＝2，
将x＝1代入y＝﹣（x+1）（x﹣4）得y＝a+b+c＝4.5，
故（3）正确．
综上，（1）（3）正确．
故答案为：（1）（3）．
三．解答题
15．解：（1）当y＝0时，﹣x2﹣x+2＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∵点A在点B的右侧，
∴A（2，0），B（﹣4，0）；
（2）分两种情况：
①当P在x轴的下方时，如图1，过P作PD⊥x轴于D，
设抛物线C1的顶点为E，则E（﹣1，），
∵△PBC是等腰直角三角形，
∴BC＝PB，∠PBC＝90°，
∴∠CBO+∠OCB＝∠OBC+∠PBD＝90°，
∴∠OCB＝∠PBD，
∵∠BOC＝∠PDB＝90°，
∴△BOC≌△PDB（AAS），
∴PD＝OB＝4，BD＝OC＝2，
∴OD＝4﹣2＝2，
∴P（﹣2，﹣4），
∵抛物线C1绕点M旋转180°后得到抛物线C2，
∴设抛物线C2的解析式为：y＝，
把P（﹣2，﹣4）和A（2，0）代入得：，
解得：，
∴抛物线C2的解析式为：y＝＝，
此时点P为抛物线C2的顶点，
∴M是线段EP的中点，
∴M（﹣，﹣）；
②当点P在x轴的上方时，如图2，过P作PD⊥x轴于D，
同理得△PDB≌△BOC，
∴PD＝OB＝4，BD＝OC＝2，
∴P（﹣6，4），
∵抛物线C2经过点P和点A，同理可得抛物线的解析式为：y＝＝，
∴顶点F（﹣1，﹣），
∵抛物线C1绕点M旋转180°后得到抛物线C2，
∴M是线段EF的中点，
∴M（﹣1，0）；
综上，点M的坐标为：（﹣，﹣）或（﹣1，0）．
16．解：（1）当a＝1，m＝2时，y＝x2﹣4x+3，
当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴AB＝3﹣1＝2；
（2）当a＝2时，y＝2x2﹣4mx+2m2+2m﹣5＝2（x﹣m）2+2m﹣5，
∵顶点为P，
∴P（m，2m﹣5），
∴点P在直线 y＝2x﹣5上，
∵点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，
∴当点P在第一象限时，m＝2m﹣5，m＝5，该抛物线的解析式为y＝2（x﹣5）2+5，
当解析式为y＝2（x﹣5）2+5时，该抛物线与x轴无交点与题意有两个交点矛盾，故这种情况舍去，
当点P在第四象限时，m＝﹣（2m﹣5），m＝，该抛物线的解析式为；
（3）当a＝时，抛物线的解析式为y＝（x﹣m）2+2m﹣5，
分三种情况考虑：
①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，
整理，得：m2﹣14m+39＝0，
解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；
②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，
解得：m＝；
③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，
整理，得：m2﹣20m+60＝0，
解得：m3＝10﹣2（舍去），m4＝10+2．
综上所述：m的值为或10+2．
17．解：（1）对于y＝﹣2（x+1）2+3，令x＝0，则y＝1，故点A（0，1），
顶点P的坐标为（﹣1，3），
则“风车线”的表达式为y＝k（x+1）+3，
将点A的坐标代入上式并解得：k＝﹣2，
故“风车线”的解析式为y＝﹣2（x+1）+3＝﹣2x+1；
（2）y＝kx+3k﹣2＝k（x+3）﹣2，故点P的坐标为（﹣3，﹣2），
故平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x+3）2﹣2；
（3）∵抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+1，则点P（2，1），
则“风车线”的表达式为y＝k（x﹣2）+1，
联立，解得，故点A（2，5），
故AP＝5﹣1＝4，
则△ABC的面积＝S△APB+S△APC＝×4×（xC﹣xB）＝12，
解得：xC﹣xB＝6，
设点B的横坐标为t，则点C的横坐标为t+6，
点B在直线m上，则点B（t，t+3），
同理点C（t+6，﹣2t﹣3），
将点B、C的坐标分别代入y＝k（x﹣2）+1，得，
解得，
故“风车线”的表达式为y＝k（x﹣2）+1＝﹣（x﹣2）+1＝﹣x+3．
18．解：（1）把点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）代入抛物线的解析式为y＝x2+bx+c中得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点的坐标为（1，﹣4）；
（2）如图1，设直线BC的解析式为y＝kx+d（k≠0），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴B（3，0），
将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+d中，
得：，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∵OP＝t，
设点P的坐标为（t，0），则点N的坐标为（t，t﹣3），H（t，t2﹣2t﹣3），
∴NH＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，
∴S＝S△BCH＝NH•OB＝＝﹣t＝﹣，
∵0≤t≤3，﹣，
∴当t＝时，S取最大值，最大值为；
（3）分两种情况：
①当Q在x轴的上方时，如图2和图4，四边形ACPQ是平行四边形，
根据A（﹣1，0）和C（0，﹣3）可知：点Q的纵坐标为3，
当y＝3时，x2﹣2x﹣3＝3，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣，
∴P（2+，0）或（2﹣，0）；
②当Q在x轴的上方时，如图3，四边形ACQP是平行四边形，
当y＝﹣3时，由对称得：Q（2，﹣3），
∴P（1，0）；
综上，P点的坐标为（2+，0）或（2﹣，0）或（1，0）．
19．解：（1）∵点A（﹣1，0），C（4，0），
∴AC＝5，OC＝4，
∵AC＝BC＝5，
∴B（4，5），
把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），
∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，EF的最大值为，
∴点E的坐标为（，），
∴S△ABF＝＝＝．
（3）存在，
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴设P（1，m），
分三种情况：
①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2＝PA2，
∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（4+1）2+52＝（1+1）2+m2，
解得：m＝8，
∴P（1，8）；
②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2＝PB2，
∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52＝（4﹣1）2+（m﹣5）2，
解得：m＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2＝BA2，
∴（1+1）2+m2+（4﹣1）2+（m﹣5）2＝（4+1）2+52，
解得：m＝6或﹣1，
∴P（1，6）或（1，﹣1）；
综上，点P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．
20．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣4）＝﹣；
（2）①如图1，∵B（4，0），C（0，4），
∴设BC的解析式为：y＝kx+b，
则，解得，
∴BC的解析式为：y＝﹣x+4，
∴﹣x+4＝，
解得：x＝1，
∴E（1，3），
∵M（m，0），且MH⊥x轴，
∴G（m，），F（m，﹣），
∵S△EFG＝S△OEG，
∴，
[（﹣）﹣（）]（1﹣m）＝，
解得：m1＝，m2＝﹣2；
②存在，由①知：E（1，3），
∵四边形EFHP是正方形，
∴FH＝EF，∠EFH＝∠FHP＝∠HPE＝90°，
∵M（m，0），且MH⊥x轴，
∴H（m，﹣m+4），F（m，﹣），
分两种情况：
i）当﹣3≤m＜1时，如图2，点F在EP的左侧，
∴FH＝（﹣m+4）﹣（﹣）＝，
∵EF＝FH，
∴，
解得：m1＝（舍），m2＝，
∴H（，），
∴P（1，），
ii）当1＜m＜4时，点F在PE的右边，如图3，
同理得﹣＝m﹣1，
解得：m1＝，m2＝（舍），
同理得P（1，）；
综上，点P的坐标为：或．
x
2
2.23
2.24
2.25
ax2+bx+c
﹣0.05
﹣0.02
0.03
0.07
相关试卷
【期中复习】人教版 初中数学九年级上册 期末专题复习 二次函数（面积问题）压轴题专题训练（含解析）： 这是一份【期中复习】人教版 初中数学九年级上册 期末专题复习 二次函数（面积问题）压轴题专题训练（含解析），共61页。试卷主要包含了抛物线与轴交于、两点等内容，欢迎下载使用。
【期中复习】人教版 初中数学九年级上册 期末专题复习 二次函数压轴题专题训练（含解析）： 这是一份【期中复习】人教版 初中数学九年级上册 期末专题复习 二次函数压轴题专题训练（含解析），共59页。试卷主要包含了已知二次函数，如图，抛物线与直线交于点和点B，已知抛物线的顶点为与轴交于等内容，欢迎下载使用。
【期中复习】人教版 初中数学九年级上册 期末专题复习 二次函数压轴题专题训练（含解析）： 这是一份【期中复习】人教版 初中数学九年级上册 期末专题复习 二次函数压轴题专题训练（含解析），共60页。
