2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第一章第一节　集合 学案

第一章 集合与常用逻辑用语
第一节　集　　合
2019考纲考题考情



1．集合的含义与表示方法
(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。
(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉。
(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。
(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。
2．集合间的基本关系

3.集合的基本运算

　
1．集合元素的三个特性
确定性、无序性、互异性。
2．集合的子集个数
若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个。
3．注意空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解。
4．集合的运算性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A。
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B。
(3)补集的性质：A∪(A)＝U；A∩(A)＝∅；(A)＝A。(A∩B)＝(A)∪(B)；(A∪B)＝(A)∩(B)。

一、走进教材
1．(必修1P12A组T5改编)若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则(　　)
A．a∈P B．{a}∈P
C．{a}⊆P D．a∉P
解析　因为a＝2不是自然数，而集合P是不大于的自然数构成的集合，所以a∉P。故选D。
答案　D
2．(必修1P12B组T1改编)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________。
解析　由已知得M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，所以M∪N的子集有26＝64(个)。
答案　64
二、走近高考
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{ －2，－1,0,1,2}，则A∩B＝(　　)
A．{0,2} B．{1,2}
C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}
解析　根据集合交集中元素的特征，可以求得A∩B＝{0,2}。故选A。
答案　A
4．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(　　)
A．{0} B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
解析　因为A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，所以A∩B＝{1,2}。故选C。
答案　C
5．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．3　　　　B．2 C．1　　　　D．0
解析　联立方程组解得或所以交点坐标分别是，。故选B。

解析：集合A表示单位圆上的点的集合，集合B表示直线y＝x上的点的集合，根据图象容易判断有两个交点，故选B。

答案　B
三、走出误区
微提醒：①忽视集合的互异性致使出错；②分类讨论不全面导致漏解。
6．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________。
解析　因为B⊆A，所以m＝3或m＝，即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m＝0或3。
答案　0或3
7．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________。
解析　易得M＝{a}。因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝±1。
答案　0或1或－1

考点一 集合的含义及表示
【例1】　(1)已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为(　　)
A．3 B．6
C．8 D．9
(2)设集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，且A，B中有唯一的公共元素9，则实数a的值为________。
解析　(1)集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个。故选D。
(2)因为集合A，B中有唯一的公共元素9，所以9∈A。若2a－1＝9，即a＝5，此时A＝{－4，9,25}，B＝{9,0，－4}，则集合A，B中有两个公共元素－4,9，与已知矛盾，舍去。若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A＝{－4,9,5}，B＝{－2，－2,9}，B中有两个元素均为－2，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}，符合题意。综上所述，a＝－3。
答案　(1)D　(2)－3


1．研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。
2．利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性。
【变式训练】　(1)(2019·湖北天门等三地联考)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为(　　)
A．3　　　　B．4 C．5　　　　D．6
(2)若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________。
解析　(1)a∈{1,2,3}，b∈{4,5}，则M＝{5,6,7,8}，即M中元素的个数为4。故选B。
(2)若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A中含有元素－3，－1，－4，满足题意；若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A中的三个元素为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性；若a2－4＝－3，则a＝±1，当a＝1时，集合A中的三个元素为－2,1，－3，满足题意；当a＝－1时，不符合题意。综上可知，a＝0或a＝1。
答案　(1)B　(2)0或1
考点一 集合的含义及表示
【例2】　(1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为(　　)
A．7　　　　B．8 C．15　 　　D．16
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________。
解析　(1)A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1,2,3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个。或因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)。
(2)因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1 答案　(1)A　(2)(－∞，3]
【互动探究】　本例(2)中的集合A改为A＝{x|x<－2或x>5}，如何求解？
解析　因为B⊆A，所以①当B＝∅时，即2m－14。综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)。
答案　(－∞，2)∪(4，＋∞)

1．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解。
2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题。
【变式训练】　(1)(2019·湖北省部分重点中学联考)已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是(　　)
A．MN B．NM
C．M⊆∁RN D．N⊆∁RM
(2)(2019·长春市调研)已知集合M＝{0,1}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为(　　)
A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4
解析　(1)依题意知，M＝{x|y＝，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM。故选B。
(2)由M∪N＝M，得N⊆M。又M中有2个元素，故其子集的个数为22＝4，所以集合N的个数为4。故选D。
答案　(1)B　(2)D
考点三 集合的运算微点小专题
方向1：集合的基本运算
【例3】　(2018·天津高考)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝(　　)
A．{－1,1} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{2,3,4}
解析　由题意得，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，又C＝{x∈R|－1≤x<2}，所以(A∪B)∩C＝{－1,0,1}。故选C。
答案　C

集合的运算要注意数形结合，特别是数轴，Venn图等。
方向2：利用集合运算求参数
【例4】　(1)(2019·南昌二中模拟)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3]∪[2，＋∞)
B．[－1,2]
C．[－2,1]
D．[2，＋∞)
(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(　　)
A．0　　　　B．1 C．2　　　　D．4
解析　(1)集合A＝{x|y＝}＝{x|－2≤x≤2}，因为A∪B＝A，则B⊆A，所以有所以－2≤a≤1。故选C。
(2)由题意可得{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4。故选D。
答案　(1)C　(2)D

参数问题要注意分类讨论和等价转化。
方向3：集合的新定义问题
【例5】　已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为(　　)
A．77　　 　B．49 C．45　　 　D．30
解析　

如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，则集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个。故A⊕B中元素的个数为45。故选C。
答案　C

解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：①紧扣新定义。首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中；②用好集合的性质。解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素。
【题点对应练】　
1．(方向1)设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是(　　)
A．M∪N＝M B．M∪(N)＝M
C．N∪(M)＝R D．M∩N＝M
解析　因为M＝{x|x<4}，N＝{x|0 答案　A
2．(方向2)设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．(1，＋∞)
解析　A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，设函数f(x)＝x2－2ax－1，因为函数f(x)＝x2－2ax－1图象的对称轴为直线x＝a(a>0)，f(0)＝－1<0，根据对称性可知若A∩B中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有即所以即≤a<。故选B。
答案　B
3．(方向3)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P⊗Q＝{z|z＝a÷b，a∈P，b∈Q}，若P＝{－1,0,1}，Q＝{－2，2}，则集合P⊗Q中元素的个数是(　　)
A．2　 　　　B．3 C．4　 　　　D．5
解析　当a＝0时，无论b取何值，z＝a÷b＝0；当a＝－1，b＝－2时，z＝；当a＝－1，b＝2时，z＝－；当a＝1，b＝－2时，z＝－；当a＝1，b＝2时，z＝。故P⊗Q＝，该集合中共有3个元素。故选B。
答案　B

1．(配合例1使用)设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为(　　)
A．1　　　　B．2
C．3　　　　D．4
解析　若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1。故选A。
答案　A
2．(配合例1使用)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)
A．4 B．2
C．0 D．0或4
解析　由题意知方程ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解。当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)。故选A。
答案　A
3．(配合例4使用)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围为(　　)
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
解析　解法一：由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝{x|00}＝{x|0
解法二：A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝{x|0 答案　B
4．(配合例5使用)定义集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A且a－b∈A，则称集合A为闭集合。给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合B＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合。其中正确结论的序号是________。
解析　①中，－4＋(－2)＝－6不属于A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈B，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈B，n1－n2∈B，所以②正确；对于③，令A1＝{n|n＝5k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确。
答案　②

不明代表元素、忽视端点、遗忘空集致误
集合是高中数学中最基本的概念之一，在历年高考中，集合问题常以选择题或填空题的形式出现，主要考查集合的相关概念、集合间的基本关系、集合的基本运算等，但在平时的学习中，学生往往不能深刻理解这些知识，导致考场上出现各式各样的错误。
一、因忽视代表元素而致误
【典例1】　设P＝{y|y＝x2，x∈R}，Q＝{y|y＝2－|x|，x∈R}，求P∩Q。
【错解】　由解得或所以P∩Q＝{(1,1)，(－1,1)}。
【剖析】　上述解法混淆了集合的代表元素，本题中两个集合中的代表元素是y，而不是点的坐标。
【正解】　因为P＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，Q＝{y|y＝2－|x|，x∈R}＝{y|y≤2}，所以P∩Q＝{y|y≥0}∩{y|y≤2}＝{y|0≤y≤2}。
【变式训练1】　已知集合M＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{(x，y)|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N＝________。
解析　解方程组得或从而可知M∩N＝{(0,1)，(1,2)}。
答案　{(0,1)，(1,2)}
二、因忽视区间端点而致误
【典例2】　已知集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|a 【错解】　因为A＝{x|2≤x≤3}，B＝{x|a3，即a<－2或a>3，所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)。
【剖析】　上述解法的错误原因是忽视了集合A＝{x|2≤x≤3}的两个端点值2和3，事实上，当a＝3时，B＝{x|3 【正解】　因为A＝{x|2≤x≤3}，B＝{x|a 【变式训练2】　设集合S＝{x|x>3或x<－3}，T＝{x|a≤x≤a＋8}，若S∪T＝R，则实数a的取值范围是________。
解析　要使S∪T＝R，只需解得－5≤a≤－3。
答案　[－5，－3]
三、因忽视空集的特殊性而致误
【典例3】　已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a及m的取值范围。
【错解】　由题意得，A＝{1,2}，B＝{1，a－1}。由A∪B＝A知B⊆A，所以a－1＝2，从而a＝3。由A∩C＝C知C⊆A，设方程x2－mx＋2＝0的两根分别为x1，x2，则x1x2＝2。由A＝{1,2}知C＝A，从而m＝x1＋x2＝3。
【剖析】　上述解法存在两个方面的错误：一是忽略了集合B中方程有两等根的情况；二是忽视了C＝∅的情况。
【正解】　由题意得，A＝{1,2}，B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}。
由A∪B＝A，知B⊆A，所以可能有两种情况：①a－1＝2，即a＝3，此时A＝B；②a－1＝1，即a＝2，此时B＝{1}。
若C＝∅，显然满足A∩C＝C，此时，由Δ＝m2－8<0得－2 若C≠∅，设方程x2－mx＋2＝0的两根分别为x1，x2，则x1x2＝2。由A∩C＝C知C⊆A，故有C＝A，从而m＝x1＋x2＝3。
综上可知：a＝3或a＝2；m＝3或－2 【变式训练3】　已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若B⊆A，则实数m组成的集合为________。
解析　由题意得B⊆A＝{－3,2}，有以下几种情况：
①B＝∅，此时m＝0，显然符合题意；
②B＝{2}，此时2m－1＝0，解得m＝；
③B＝{－3}，此时－3m－1＝0，解得m＝－。
综上，实数m组成的集合为。
答案