2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第一章第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件
2019考纲考题考情



1．命题
(1)命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
(2)四种命题及相互关系

(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。
2．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qDp
p是q的必要不充分条件
pDq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pDq且qDp
　
1．否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论。
2．区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BD⇒/A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AD⇒/B)两者的不同。
3．A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件。
4．充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。
(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件。
(3)若A＝B，则p是q的充要条件。

一、走进教材
1．(选修1－1P8A组T2改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(　　)
A．“若xy，则x2>y2”
C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2”
解析　根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”。故选C。
答案　C
2．(选修1－1P10练习T3(2)改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2。故选B。
答案　B
二、走近高考
3．(2018·天津高考)设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　由x3>8可得x>2，由|x|>2可得x>2或x<－2。故“x3>8”是“|x|>2”的充分而不必要条件。故选A。
答案　A
4．(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　a，b，c，d是非零实数，若ad＝bc，则＝，此时a，b，c，d不一定成等比数列；反之，若a，b，c，d成等比数列，则＝，所以ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件，故选B。
答案　B
三、走出误区
微提醒：①对“p∧q”的否定出错；②分类讨论不全面；
③充分条件与必要条件的判定出错。
5．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是____________。
解析　“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，又a＝b＝0的实质为a＝0且b＝0，故其否定为a≠0或b≠0。
答案　若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0
6．若命题“ax2－2ax－3≤0成立”是真命题，则实数a的取值范围是________。
解析　由已知可得ax2－2ax－3≤0恒成立。当a＝0时，－3≤0恒成立；当a≠0时，得解得－3≤a<0。故－3≤a≤0。
答案　[－3,0]
7．“a＝0”是“函数f(x)＝sinx－＋a为奇函数”的________条件。
解析　显然a＝0时，f(x)＝sinx－为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0。又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sinx－＋a＝0。因此2a＝0，故a＝0。所以“a＝0”是“函数f(x)＝sinx－＋a为奇函数”的充要条件。
答案　充要

考点一 四种命题及其关系
【例1】　(1)(2019·西安八校联考)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(　　)
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．否定
(2)原命题为“若 A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
解析　(1)命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题。
(2)原命题即“若an＋1 答案　(1)B　(2)A

1．写一个命题的其他三种命题时，需注意：
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提。
2．(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例；
(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断。
【变式训练】　(1)(2019·武汉模拟)对于原命题“正弦函数不是分段函数”，下列叙述正确的是(　　)
A．否命题是“正弦函数是分段函数”
B．逆命题是“分段函数不是正弦函数”
C．逆否命题是“分段函数是正弦函数”
D．以上都不正确
(2)设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是(　　)
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
解析　(1)原命题可写成“若一个函数是正弦函数，则该函数不是分段函数”，否命题为“若一个函数不是正弦函数，则该函数是分段函数”，逆命题为“若一个函数不是分段函数，则该函数是正弦函数”，逆否命题为“若一个函数是分段函数，则该函数不是正弦函数”，可知A、B、C都是错误的。故选D。
(2)可以考虑原命题的逆否命题，即a，b都小于1，则a＋b<2，显然为真。其逆命题，即若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2为假，如a＝1.2，b＝0.2，则a＋b<2。故选A。
答案　(1)D　(2)A
考点二 充分条件与必要条件的判定
【例2】　(1)(2019·成都市毕业班模拟)“φ＝－”是“函数f(x)＝cos(3x－φ)的图象关于直线x＝对称”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)若集合A＝{x|x－x2>0}，B＝{x|(x＋1)(m－x)>0}，则“m>1”是“A∩B≠∅”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则－φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝－kπ，k∈Z，故“φ＝－”是“函数f(x)＝cos(3x－φ)的图象关于直线x＝对称”的充分不必要条件。故选A。
(2)因为p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1。因为綈q⇒綈p，但綈pD⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件。故选A。
(3)化简集合A＝{x|01，则B＝{x|－10，因(1，＋∞)⊂(0，＋∞)。故选A。
答案　(1)A　(2)A　(3)A

充要条件的三种判断方法
1．定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断。
2．集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断。
3．等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题。
【变式训练】　(1)(2019·石家庄市质量检测)已知p：－1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)已知函数f(x)＝则“x＝0”是“f(x)＝1”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(3)(2019·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　(1)由log2x<1，解得0 (2)若x＝0，则f(0)＝e0＝1；若f(x)＝1，则ex＝1或ln(－x)＝1，解得x＝0或x＝－e。故“x＝0”是“f(x)＝1”的充分不必要条件。故选B。
(3)当m与n反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立。若m·n＝|m·n|，则m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉＝|m|·|n||cos〈m，n〉|，则cos〈m，n〉＝|cos〈m，n〉|，故cos〈m，n〉≥0，即0°≤〈m，n〉≤90°，此时m与n不一定共线，即必要性不成立。故“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，故选D。
答案　(1)B　(2)B　(3)D
考点三 充分条件、必要条件的应用
【例3】　(1)已知函数f(x)＝则函数f(x)有两个零点成立的充分不必要条件是a∈(　　)
A．[1,2] B．(1,2]
C．(1,2) D．(0,1]
(2)已知集合A＝，B＝{x|log3(x＋a)≥1}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________。
解析　(1)因为函数f(x)＝所以函数f(x)有两个零点等价于函数g(x)＝的图象与直线y＝a的图象有两个交点，绘制函数g(x)的图象如图所示，结合函数图象可得1
(2)由≤1，得x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3，故A＝{x|x≤－2或x≥3}。由log3(x＋a)≥1，得x＋a≥3，即x≥3－a，故B＝{x|x≥3－a}。由题意可知BA，所以3－a≥3，解得a≤0。故实数a的取值范围是(－∞，0]。
答案　(1)C　(2)(－∞，0]

根据充分、必要条件求参数范围的思路方法
1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解。
2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象。
【变式训练】　设集合P＝{t|数列{n2＋tn(n∈N*)}单调递增}，集合Q＝{t|函数f(x)＝kx2＋tx在区间[1，＋∞)上单调递增，k≠0}，若t∈P是t∈Q的充分不必要条件，则实数k的最小值为________。
解析　因为数列{n2＋tn}(n∈N*)单调递增，所以(n＋1)2＋t(n＋1)>n2＋tn，解得t>－2n－1，又n∈N*，所以t>－3。因为函数f(x)＝kx2＋tx(k≠0)在区间[1，＋∞)上单调递增，且其图象的对称轴为直线x＝－，所以－≤1，且k>0，故t≥－2k，所以－2k≤－3，即k≥，故实数k的最小值为。
答案　

　1．(配合例1使用)命题p：“若a≥b，则a＋b>2 018且a>－b”的逆否命题是(　　)
A．若a＋b≤2 018且a≤－b，则a B．若a＋b≤2 018且a≤－b，则a>b
C．若a＋b≤2 018或a≤－b，则a D．若a＋b≤2 018或a≤－b，则a>b
解析　根据逆否命题的写法可得命题p：“若a≥b，则a＋b>2 018且a>－b”的逆否命题是“若a＋b≤2 018或a≤－b，则a 答案　C
2．(配合例1使用)下列有关命题的说法正确的是(　　)
A．命题“若x2＝4，则x＝2”的否命题为“若x2＝4，则x≠2”
B．命题“∃x∈R，x2＋2x－1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x－1>0”
C．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为假命题
D．若“p∨q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题
解析　一个命题的否命题是对命题的条件和结论同时否定，对于A，只否定了结论，未否定条件，故A项错误；对于B，命题“∃x∈R，x2＋2x－1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x－1≥0”，故B项错误；对于C，命题“若x＝y，则sinx＝siny”是真命题，所以该命题的逆否命题为真命题，故C项错误；对于D，若“p∨q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题是正确的。故选D。
答案　D
3．(配合例2使用)已知数列{an}，{bn}满足bn＝an＋an＋1，则“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　若数列{an}为等差数列，设其公差为d1，则bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝2d1，所以数列{bn}是等差数列；若数列{bn}为等差数列，设其公差为d2，则bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝d2，不能推出数列{an}为等差数列。故选A。
答案　A
4．(配合例3使用)设命题p：x2－(2a＋1)x＋a2＋a<0，命题q：lg(2x－1)≤1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解析　命题p：a 答案　A