2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第六章第一节　不等关系与不等式 学案

第六章  不等式、推理与证明

第一节　不等关系与不等式

2019考纲考题考情

1．实数的大小顺序与运算性质的关系

(1)a＞b⇔a－b＞0；

(2)a＝b⇔a－b＝0；

(3)a＜b⇔a－b＜0。

2．不等式的性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a。(双向性)

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c。(单向性)

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c。(双向性)

(4)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d。(单向性)

(5)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc。

(6)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd。(单向性)

(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)。(单向性)

(8)开方法则：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)。(单向性)

(9)倒数性质：设ab＞0，则a＜b⇔＞。(双向性)

注意以下结论：

1．a>b，ab>0⇒<。

2．a<0<b⇒<。

3．a>b>0,0<c<d⇒>。

4．0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<。

5．若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0)；>；<(b－m>0)。

一、走进教材

1．(必修5P74练习T3改编)若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析　－>0⇒>⇒a>b≥0⇒a2>b2，但由a2－b2>0⇒/ －>0。故选A。

答案　A

2．(必修5P75A组T2改编)________(填“>”“<”或“＝”)。

解析　分母有理化有＝＋2，＝＋，显然＋2<＋，所以<。

答案　<

二、走近高考

3．(2017·山东高考)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)

A．a＋<<log2(a＋b)

B．<log2(a＋b)<a＋

C．a＋<log2(a＋b)<

D．log2(a＋b)<a＋<

解析　利用特殊值法检验排除，如当a＝2，b＝时，选项A，C，D对应的不等式不成立，故选B。

答案　B

4．(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：

(ⅰ)男学生人数多于女学生人数；

(ⅱ)女学生人数多于教师人数；

(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数。

①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________。

②该小组人数的最小值为________。

解析　令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，且2z>x>y>z，①若教师人数为4，则4<y<x<8，当x＝7时，y取得最大值6。②当z＝1时，1＝z<y<x<2，不满足条件；当z＝2时，2＝z<y<x<4，不满足条件；当z＝3时，3＝z<y<x<6，y＝4，x＝5，满足条件。所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12。

答案　①6　②12

三、走出误区

微提醒：①乱用不等式的相乘性致错；②命题的必要性出错；③求范围乱用不等式的加法原理致错。

5．若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　)

A．－>0 B．－<0

C.> D.<

解析　因为c<d<0，所以0<－d<－c，又0<b<a，－bd<－ac，即bd>ac，又cd>0，>，即>。

答案　D

6．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2。即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝。所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件。故选A。

答案　A

7．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________。

解析　由－<α<，－<－β<，α<β，得－π<α－β<0。

答案　(－π，0)

　考点一   比较大小

【例1】　(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c≥b>a B．a>c≥b

C．c>b>a D．a>c>b

(2)若a＝，b＝，c＝，则(　　)

A．a<b<c B．c<b<a

C．c<a<b D．b<a<c

解析　(1)因为c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，

所以c≥b。

又b＋c＝6－4a＋3a2，

所以2b＝2＋2a2，b＝a2＋1，

所以b－a＝a2－a＋1＝2＋>0，

所以b>a，所以c≥b>a。

(2)易知a，b，c都是正数，

＝＝log8164<1，所以a>b；

＝＝log6251 024>1，

所以b>c。即c<b<a。

解析：对于函数y＝f(x)＝，y′＝，易知当x>e时，函数f(x)单调递减。

因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，

即c<b<a。

答案　(1)A　(2)B

比较大小的常用方法

1．作差法

一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论。其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式。当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差。

2．作商法

一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论。

3．函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系。

【变式训练】　(1)设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)

A．A≤B B．A≥B

C．A<B D．A>B

(2)若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________。

解析　(1)因为A≥0，B≥0，A2－B2＝a＋2＋b－(a＋b)＝2≥0，所以A≥B。故选B。

(2)＝＝16＝1616＝16，因为∈(0,1)，所以16<1，因为1816>0,1618>0，所以1816<1618，即a<b。

答案　(1)B　(2)a<b

考点二   不等式的性质应用

【例2】　(1)若a<b<0，给出下列不等式：

①a2＋1>b2；②|1－a|>|b－1|；③>>。

其中正确的个数是(　　)

A．0　 　 　B．1  C．2　 　 　D．3

(2)设0<a<1，b>c>0，则下列结论不正确的是(　　)

A．ab<ac B．ba>ca

C．logab<logac D.>

解析　(1)因为a<b<0，所以|a|>|b|>0，所以a2>b2，故a2＋1>b2，①正确。a<b<0⇒－a>－b>0⇒－a＋1>－b＋1>0，故|1－a|>|b－1|，②正确。a<b<0⇒a＋b<a<b<0，所以>>，③正确。故选D。

(2)取a＝，b＝4，c＝2，则由＝，＝，故D结论错误。故选D。

答案　(1)D　(2)D

解决此类题目常用的三种方法

1．直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件。

2．利用特殊值法排除错误答案。

3．利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断。

【变式训练】　(1)若a<b<0，则下列不等式不能成立的是(　　)

A．|a|>|b| B．a2>ab

C.> D.>

(2)已知x>y，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．< B．log2(x－y)>0

C．x2>y2 D.x<y

解析　(1)由a<b<0，得|a|>|b|，A成立；因为a<b<0，所以a2>ab，B成立；因为a<b<0，所以>，C成立；当a＝－2，b＝－1时，＝－1，＝－，>不成立。故选D。

(2)A中，当x＝1，y＝－1时，<不成立，所以A错。B中，当x＝1，y＝时，log2(x－y)＝－1，所以B错。C中，当x＝1，y＝－1时，x2>y2不成立，所以C错。D中，f(x)＝x在R上单调递减，当x>y时，x<y成立，故选D。

答案　(1)D　(2)D

考点三   求代数式的取值范围

【例3】　(1)三个正数a，b，c满足a≤b＋c≤2a，b≤a＋c≤2b，则的取值范围是(　　)

A． B．

C．[2,3] D．[1,2]

(2)已知－≤2x＋y≤，－≤3x＋y≤，则9x＋y的取值范围是________。

解析　(1)三个正数a，b，c满足a≤b＋c≤2a，b≤a＋c≤2b，所以1≤＋≤2，≤1＋≤，即－≤－1－≤－，所以1－≤－1≤2－，即即所以≤≤。故选A。

(2)设9x＋y＝a(2x＋y)＋b(3x＋y)，则9x＋y＝(2a＋3b)x＋(a＋b)y，于是比较两边系数得得a＝－6，b＝7。由已知不等式得－3≤－6(2x＋y)≤3，－≤7(3x＋y)≤，所以－≤9x＋y≤。

答案　(1)A　(2)

求代数式的取值范围

利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径。

【变式训练】　(1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________。

(2)已知f(a，b)＝ax＋by，如果1≤f(1,1)≤2，且－1≤f(1，－1)≤1，则f(2,1)的取值范围是________。

解析　(1)因为－1<x<4,2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2。由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，所以1<3x＋2y<18。

(2)由条件f(a，b)＝ax＋by，可知f(1,1)＝x＋y，f(1，－1)＝x－y，则1≤x＋y≤2，且－1≤x－y≤1。设f(2,1)＝2x＋y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)，即2x＋y＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，于是解得而≤(x＋y)≤3，－≤(x－y)≤，所以1≤2x＋y≤，即f(2,1)的取值范围是。

答案　(1)(－4,2)　(1,18)　(2)

1．(配合例1使用)已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________。

解析　当q＝1时，＝3，＝5，所以<。当q>0且q≠1时，－＝－＝＝<0，所以<。综上可知<。

答案　<

2．(配合例2使用)若x>y>1,0<a<b<1，则下列各式中一定成立的是(　　)

A．xa>yb B．xa<yb

C．ax<by D．ax>by

解析　易知函数y＝ax(0<a<1)在R上单调递减，因为x>y>1,0<a<b<1，所以ax<ay<by。故选C。

答案　C