2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第七章第一节　空间几何体的结构特征及三视图和直观图 学案

第七章  立 体 几 何

第一节　空间几何体的结构特征及三视图和直观图

2019考纲考题考情

1．空间几何体的结构特征

2．空间几何体的三视图

(1)三视图的形成与名称

空间几何体的三视图是用平行投影得到的，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。

(2)三视图的画法

①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线。

②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线。

3．空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本规则是：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直。

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中还是平行于坐标轴的线段。平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中保持不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半。

1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点。

2．三视图的基本要求

(1)长对正，高平齐，宽相等。

(2)在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”。在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线。

3．斜二测画法中的“三变”与“三不变”

“三变”

“三不变”

一、走进教材

1．(必修2P8T1改编)在如图所示的几何体中，是棱柱的为________。(填写所有正确的序号)

答案　③⑤

2．(必修2P15练习T1改编)已知如图所示的几何体，其俯视图正确的是(　　)

解析　由俯视图定义易知选项C符合题意。故选C。

答案　C

二、走近高考

3．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)

A．2   B．2

C．3   D．2

解析　由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16。画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为＝＝2。故选B。

答案　B

4．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)

A．90π　　　 B．63π 

C．42π　　　 D．36π

解析　由三视图可知，此几何体应是一个圆柱切去一部分后所得，如图所示。通过切割及补形知，此几何体的体积等同于底面半径为3，高为7的圆柱，所以所求体积V＝π×32×7＝63π。故选B。

答案　B

三、走出误区

微提醒：①棱柱的概念不清致误；②不清楚三视图的三个视图间的关系，想象不出原几何体而出错；③斜二测画法的规则不清致误。

5．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′。剩下的几何体是(　　)

A．棱台　 　 B．四棱柱  C．五棱柱　 D．六棱柱

解析　由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱。故选C。

答案　C

6．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)

解析　先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图。由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧视图为图②。故选B。

答案　B

7．利用斜二测画法得到的：

①三角形的直观图一定是三角形；

②正方形的直观图一定是菱形；

③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；

④菱形的直观图一定是菱形。

以上结论正确的个数是________。

解析　由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误。

答案　1

考点一  空间几何体的结构特征　　　　　　　　　　　　

【例1】　(1)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)

A．圆柱   B．圆锥

C．球体   D．圆柱、圆锥、球体的组合体

(2)下列说法正确的是(　　)

A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点

解析　(1)截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体。故选C。

(2)A错，如图①；B正确，如图②，其中底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，可证明∠PAB，∠PCB，∠PDA，∠PDC都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图③；D错，由棱台的定义知，其侧棱的延长线必相交于同一点。故选B。

答案　(1)C　(2)B

解决与空间几何体结构特征有关问题的三个技巧

1．把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力。

2．紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，如例1(2)中的A，C两项易判断失误。

3．通过反例对结构特征进行辨析。

【变式训练】　(1)下列命题正确的是(　　)

A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台

D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形

(2)下列结论中错误的是(　　)

A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱

B．正棱台的对角面一定是等腰梯形

C．圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线

D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体

解析　(1)如图所示，可排除A、B选项。只要截面与圆柱的母线平行或垂直，则截得的截面为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分。

(2)由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以A选项错误。B，C，D说法均正确。

答案　(1)C　(2)A

考点二  空间几何体的三视图微点小专题

方向1：三视图辨析

【例2】　如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)(　　)

A．①②⑥   B．①②③

C．④⑤⑥   D．③④⑤

解析　正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①，侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③。故选B。

答案　B

由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认，二要熟悉常见几何体的三视图。

方向2：三视图还原几何体

【例3】　(2018·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(　　)

A．1　 　 　B．2 

C．3　 　 　D．4

解析　将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示。易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝PA＝2，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，故△PAD，△PAB为直角三角形，因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形，容易求得PC＝3，CD＝，PD＝2，故△PCD不是直角三角形。故选C。

答案　C

由几何体的三视图还原几何体的形状。要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图。

方向3：已知三视图中的两个视图，判断第三个视图

【例4】　(2019·唐山市摸底考试)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为(　　)

A　　　　　 B　　　　　C　　 　 　D

解析　由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A。故选A。

答案　A

由几何体的部分视图画出剩余的部分视图。先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状。当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看给出的部分三视图是否符合。

【题点对应练】　

1．(方向1)正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为(　　)

　    A　　　　  　B　　　  　　C　　 　 　D

解析　过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形。故选C。

答案　C

2．(方向2)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成。一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为(　　)

A．63π   B．72π

C．79π   D．99π

解析　由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为5，底面圆的半径为3，半球的半径为3，所以组合体的体积为32π×5＋×π×33＝63π。故选A。

答案　A

3．(方向3)已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中小方格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为(　　)

A．6＋   B．

C．6＋   D．8

解析　

由题意可得侧视图如图所示，上面是一个三角形，其底为1＋＝，高为2，三角形的面积S1＝××2＝；下面是一个梯形，上底为2，下底为4，高为2，梯形的面积S2＝×(2＋4)×2＝6，所以组合体的侧视图的面积S＝S1＋S2＝＋6＝。故选B。

答案　B

考点三  空间几何体的直观图

【例5】　已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)

A．a2   B．a2

C．a2   D．a2

解析　如图①②所示的实际图形和直观图。

由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a。所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2。故选D。

答案　D

平面图形与其直观图的面积关系

直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积是其直观图面积的2倍，这是一个较常用的重要结论。

【变式训练】　某几何体的正视图和侧视图如图①所示，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图②，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为(　　)

A．48   B．64

C．96   D．128

解析　由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，因为它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A1＝6，O1C1＝2，所以它的俯视图的直观图面积为12，所以它的俯视图的面积为24，所以它的俯视图是边长为6的菱形，棱柱的高为4，故该几何体的侧面积为4×6×4＝96。

答案　C

1．(配合例2使用)已知点E，F，G分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上。以M，N，Q，P为顶点的三棱锥P－MNQ的俯视图不可能是(　　)

A　　　　　B　　　　　C　 　 　 　D

解析　当M与F重合、N与G重合、Q与E重合、P与B1重合时，三棱锥P－MNQ的俯视图为A；当M，N，Q，P是所在线段的中点时，三棱锥P－MNQ的俯视图为B；当M，N，Q，P位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥P－MNQ，使其俯视图为D。故选C。

答案　C

2．(配合例3使用)一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为(　　)

A．8   B．4

C．4   D．4

解析　

由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，PA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝AC＝4，DB＝2，则易得S△PAC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP＝12，S△BCD＝×4×2＝4。故选D。

答案　D

3．(配合例4使用)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下列选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(　　)

　A　　　　　B　　　　　C　 　 　 　D

解析　A，B，D选项满足三视图作法规则，C不满足三视图作法规则中的“宽相等”，故C不可能是该锥体的俯视图。

答案　C

4．(配合例5使用)如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______cm。

解析　

把直观图还原，得原来的平面图形为四边形OABC，如图所示。由直观图是边长为1 cm的正方形可知，对角线O′B′的长为 cm，则原图形是底边长为1 cm，高为2 cm的平行四边形，即在原图形中，OA＝BC＝1 cm，OB＝2 cm，则AB＝OC＝＝3(cm)，故原图形的周长是2×(1＋3)＝8(cm)。

答案　8

构造法解三视图问题的三个步骤

三视图问题(包括求解几何体的表面积、体积等)是培养和考查空间想象能力的好题目，是高考的热点。由三视图还原几何体是解决这类问题的关键，但是不少学生感到难度颇大。笔者研究发现，由三视图还原几何体只要按照以下三步骤去做，基本都能准确还原出来。这三个步骤是：第一步，先画长(正)方体，在长(正)方体中画出俯视图；第二步，在三个视图中找直角；第三步，判断直角位置，并向上(或向下)作垂线，找到顶点，连线即可。

【典例1】　如图是一个四面体的三视图，三个三角形均是腰长为2的等腰直角三角形，还原其直观图。

【解】　第一步，根据题意，画正方体，在正方体内画出俯视图，如图①。

第二步，找直角，在俯视图、正视图和侧视图中都有直角。

第三步，将俯视图的直角顶点向上拉起，与三视图中的高一致，连线即可。所求几何体为三棱锥A－BCD，如图②。

　　　　　　　　①　　　 　　　　　　②

【变式训练1】　如图是几何体的三视图，还原其直观图。

解　按照三步骤去做。第一步，画出长方体，并在长方体内画出俯视图，如图所示。

第二步，在正视图和侧视图中找直角。正视图中直角在左侧，侧视图是矩形。第三步，将点M与点P向上垂直拉起，分别至点C，点D。注意三视图中的虚、实线，连接PC、PD，可得几何体P－ABCD。如图所示。

【典例2】　一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【解析】　几何体还原说明：①画出正方体，俯视图中实线可以看作正方体的上底面及底面对角线。

②俯视图是正方形，有四个直角，正视图和侧视图中分别有一个直角。正视图和侧视图中的直角对应上底面左边外侧顶点(下图中D点上方顶点)，将该顶点下拉至D点，连接DA，DB，DC即可。该几何体即下图中棱长为1的正方体中的四面体ABCD，其体积为××1×1×

1＝。故选A。

【答案】　A

【变式训练2】　如图是一个棱锥的三视图，还原其直观图。

解　

俯视图中有三个直角，∠BAC、∠CDA和∠BDA，正视图和侧视图中没有直角。由此，可以判断俯视图中的D点是棱锥顶点在底面上的射影，所以，将D点向上拉起。下图中的棱锥V－ABC即为所求。