2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第七章第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系 学案

第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系
2019考纲考题考情



1．平面的基本性质
名称
图示
文字表示
符号表示
公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
公理2

过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
A、B、C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A、B、C∈α
续表
名称
图示
文字表示
符号表示
公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
2.空间两直线的位置关系

(2)平行公理：
公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行——空间平行线的传递性。
(3)等角定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
(4)异面直线所成的角：
①定义：设a、b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)。
②范围：。
3．直线与平面的位置关系
位置关系
图示
符号表示
公共点个数
直线l在平面α内

l⊂α
无数个
直线l与平面α相交

l∩α＝A
一个
直线l与平面α平行

l∥α
0个


1．公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。
2．异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线。
3．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角。

一、走进教材
1．(必修2P43练习T1改编)下列命题中正确的是(　　)
A．过三点确定一个平面
B．四边形是平面图形
C．三条直线两两相交则确定一个平面
D．两个相交平面把空间分成四个区域
解析　对于A，过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面，故A错误；对于B，四边形也可能是空间四边形，不一定是平面图形，故B错误；对于C，三条直线两两相交，可以确定一个平面或三个平面，故C错误；对于D，平面是无限延展的，两个相交平面把空间分成四个区域，故D正确。
答案　D
2．(必修2P49练习题)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是(　　)
A．α内的所有直线与a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内存在唯一的直线与a平行
D．α内的直线与a都相交
解析　若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则线面相交，A选项不正确，α内存在直线与a相交；B选项正确，α内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，不可能平行；C选项不正确，因为α内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，不可能平行；D选项不正确，α内只有过直线a与平面的交点的直线与a相交。故选B。
答案　B
二、走近高考
3．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
解析　

如图，连接BD1，交DB1于点O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角或其补角。因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，DM＝＝，DB1＝＝，所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为。故选C。
答案　C
4．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)
A．　 　 　B． C．　 　 　D．
解析　

在正方体ABCD－A1B1C1D1外依次再作两个一样的正方体，如图所示，易知AE∥B1D1，AF∥CD1，所以平面AEF∥平面CB1D1，即平面AEF就是过点A的平面α，所以AE为平面α与平面ABCD的交线，即为m，AF为平面α与平面ABB1A1的交线，即为n，所以m，n所成角即为AE与AF所成角，也是B1D1与CD1所成角，为∠CD1B1。而△CD1B1为等边三角形，因此∠CD1B1＝，所以sin∠CD1B1＝。
答案　A
三、走出误区
微提醒：①对等角定理条件认识不清致误；②缺乏空间想象能力致误。
5．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是(　　)
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
解析　两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选D。
答案　D
6．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
解析　依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面。故选D。
答案　D
7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________。

解析　EF与正方体左、右两侧面均平行。所以与EF相交的平面有4个。
答案　4

考点一 平面的基本性质
【例1】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列说法是否正确，并说明理由。
(1)直线AC1在平面CC1B1B内；
(2)设正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；
(3)由点A，O，C可以确定一个平面；
(4)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；
(5)设直线l是平面ABCD内的直线，直线m是平面DD1C1C内的直线，若l与m相交，则交点一定在直线CD上。
解　

(1)错误。若AC1⊂平面CC1B1B，又BC⊂平面CC1B1B，则A∈平面CC1B1B，且B∈平面CC1B1B，所以AB⊂平面CC1B1B，与AB⊄平面CC1B1B矛盾，故(1)中说法错误。
(2)正确。因为O，O1是两平面的两个公共点，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1。
(3)错误。因为A，O，C三点共线，所以不能确定一个平面。
(4)正确。因为A，C1，B1不共线，所以A，C1，B1三点可确定平面α，又四边形AB1C1D为平行四边形，AC1，B1D相交于O2点，而O2∈α，B1∈α，所以B1O2⊂α，又D∈B1O2，所以D∈α。
(5)正确。若l与m相交，则交点是两平面的公共点，而直线CD为两平面的交线，所以交点一定在直线CD上。


1．三个公理是立体几何的基础。公理1是确定直线在平面内的依据；公理2是利用点或直线确定平面的依据；公理3是确定两个平面有一条交线的依据，同时也是证明多点共线、多线共点的依据。
2．证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，证明点在两个平面的交线上，或者选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在该直线上。
【变式训练】　(1)在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么(　　)
A．点P必在直线AC上
B．点P必在直线BD上
C．点P必在平面DBC内
D．点P必在平面ABC外
(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
解析　

(1)如图，因为EF⊂平面ABC，而GH⊂平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以P在两面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上。
(2)记该正方体为ABCD－A′B′C′D′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A′A，A′B′，A′D′与平面α所成的角都相等。如图，连接AB′，AD′，B′D′，因为三棱锥A′－AB′D′是正三棱锥，所以A′A，A′B′，A′D′与平面AB′D′所成的角都相等。分别取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中点E，F，G，H，I，J，连接EF，FG，GH，HI，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六点共面，平面EFGHIJ与平面AB′D′平行，且截正方体所得截面的面积最大。又EF＝FG＝GH＝HI＝IJ＝JE＝，该六边形的六个内角都相等，所以该正六边形的面积为6××2＝，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为。故选A。

答案　(1)A　(2)A
考点二 空间两条直线的位置关系微点小专题
方向1：异面直线的判定
【例2】　(2019·益阳、湘潭调研考试)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(　　)

A．①③ B．②③
C．②④ D．②③④
解析　由题意，可知题图①中，GH∥MN，因此直线GH与MN共面；题图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面；题图④中，连接GN，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以直线GH与MN异面。故选C。
答案　C


异面直线的判定方法
1．反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。
2．定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线。
方向2：平行垂直的判定
【例3】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是(　　)

A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
解析　

如图，连接C1D，则C1D过点N，在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；因为CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD，所以MN与CC1垂直，故A正确；因为AC⊥BD，MN∥BD，所以MN与AC垂直，故B正确；因为A1B1与BD异面，MN∥BD，所以MN与A1B1不可能平行，故D错误。
答案　D


线线平行或垂直的判定方法
1．对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断。
2．对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直。
【题点对应练】　
1．(方向1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线。
其中正确的结论为________(注：把正确结论的序号都填上)。
解析　A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线；①②错误，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确。
答案　③④
2．(方向2)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是(　　)
①若直线m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；
②若直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；
③已知平面α，β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；
④若直线m，n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n。
A．② B．②③
C．①③ D．②④
解析　

对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，①错误；对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；对于③，还有可能n∥β或n与β相交，③错误；对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC。而m与n所成的角为60°，故④错误。
答案　A
考点三 异面直线所成的角
【例4】如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点。

(1)求证：AE与PB是异面直线；
(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值。
解　(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α，因为A∈α，B∈α，E∈α，

所以平面α即为平面ABE，
所以P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，
所以AE与PB是异面直线。
(2)取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，
所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE与PB所成的角。
因为∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，
PA⊥平面ABC，所以AF＝，AE＝，
EF＝，cos∠AEF＝
＝＝，
故异面直线AE与PB所成角的余弦值为。


用平移法求异面直线所成的角的3步骤
1．一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
2．二证：即证明作出的角是异面直线所成的角或其补角。
3．三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角。
【变式训练】　(1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，D是CC1的中点，则CA1与BD所成角的大小是(　　)
A． B．
C． D．
(2)如图，E，F分别是三棱锥P－ABC棱的AP，BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为________。


解析　(1)如图，取A1C1的中点E，连接BE，DE，则DE∥A1C，所以∠BDE或其补角即为CA1与BD所成的角，设为θ。由几何体ABC－A1B1C1是正三棱柱且AB＝BB1，可设其棱长为2。在△BDE中，BD＝，BE＝，DE＝，由余弦定理可得cosθ＝＝0，所以θ＝。故选C。

(2)取AC的中点M，连接EM，MF。因为E，F分别是AP，BC的中点，所以MF∥AB，MF＝AB＝3，ME∥PC，ME＝PC＝5，所以MF与ME所成的角即为AB与PC所成的角(或其补角)。在三角形MEF中，cos∠EMF＝＝－＝－，所以∠EMF＝120°，所以异面直线AB与PC所成的角为60°。
答案　(1)C　(2)60°

1．(配合例1使用)如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　　)

A．直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
解析　由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β。又D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上。又C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝直线CD。故选C。
答案　C
2．(配合例1使用)给出下列四个说法：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交；
③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；
④若三条直线两两相交，则这三条直线共面。
其中正确说法的序号是________。
解析　①中说法正确，因为直线在平面外，即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点；②中说法正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交；③中说法正确，两条平行直线可确定一个平面，又直线与两条平行直线的两个交点在这两条平行直线上，所以过这两个交点的直线也在平面内，即三线共面；④中说法错误，这三条直线可能交于同一点，但不在同一平面内。
答案　①②③
3．(配合例2使用)如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点。

(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由。
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由。
解　

(1)AM和CN不是异面直线。
理由如下：连接MN，A1C1，AC。
因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，
所以MN∥A1C1。
又因为A1A綊C1C，
所以四边形A1ACC1为平行四边形，
所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，
所以A，M，N，C在同一平面内，
故AM和CN不是异面直线。
(2)D1B和CC1是异面直线。
理由如下：
因为几何体ABCD－A1B1C1D1是正方体，
所以B，C，C1，D1不共面。
假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，
所以D1，B，C，C1∈α，
这与B，C，C1，D1不共面矛盾，
所以假设不成立，
即D1B和CC1是异面直线。
4．(配合例4使用)已知△ABC与△BCD均为正三角形，且AB＝4。若平面ABC⊥平面BCD，且异面直线AB和CD所成的角为θ，则cosθ＝(　　)
A．－　B． C．－　　D．
解析　

过点B作BE∥CD，过D作DE∥CB交BE于点E，则∠ABE是异面直线AB和CD所成角或其补角，因为△ABC与△BCD均为正三角形，且AB＝4，平面ABC与平面BCD垂直，所以取BC中点O，连接OD，OA，则OD⊥OA，因为OD⊥BC，OA⊥BC，所以BC⊥平面OAD，所以BC⊥AD，则AD⊥DE。所以AD
＝＝＝＝2，AE＝＝＝2，所以cos∠ABE＝＝－。因为异面直线AB和CD所成的角为θ，所以cosθ＝，故选D。
答案　D