2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第七章第四节　直线、平面平行的判定与性质 学案

第四节　直线、平面平行的判定与性质
2019考纲考题考情



1．直线与平面平行
(1)判定定理

(2)性质定理

2.平面与平面平行
(1)判定定理

(2)两平面平行的性质定理

3.平行关系中的两个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β。
(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ。

1．两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行。
2．三种平行关系的转化：

线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向。

一、走进教材
1．(必修2P61A组T1(1)改编)下列命题中正确的是(　　)
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
解析　根据线面平行的判定与性质定理可知。故选D。
答案　D
2．(必修2P58练习T3改编)平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
解析　若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A。若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B。若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C。故选D。
答案　D
二、走近高考
3．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析　若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α。若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件。故选A。
答案　A
4．(2017·全国卷Ⅱ改编)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点。

证明：直线CE∥平面PAB。
证明　取PA的中点F，连接EF，BF。因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD。由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，又BC＝AD，所以EF綊BC，四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF，又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB。
三、走出误区
微提醒：①对空间平行关系的转化条件理解不够致误；②对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清致误；③对面面平行性质定理理解不深致误。
5．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中(　　)
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一的与a平行的直线
解析　当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线。故选A。
答案　A
6．下列条件中，能判断两个平面平行的是________。
①一个平面内的一条直线平行于另一个平面；
②一个平面内的两条直线平行于另一个平面；
③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；
④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面。
解析　由两个平面平行的判定定理可知，如果一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，那么这两个平面平行。显然只有④符合条件。
答案　④
7.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______。

解析　因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG。同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形。
答案　平行四边形

考点一 线面平行的判定与性质微点小专题　　　　　　　　　　　　　
方向1：直线与平面平行的判定与证明
【例1】　(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________。

(2)(2019·福州高三期末考试节选)如图，在四棱锥E－ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，点F为棱DE的中点。

证明：AF∥平面BCE。

(1)解析　连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE。
答案　平行

(2)证明　如图，取CE的中点M，连接FM，BM。
因为点F为棱DE的中点，
所以FM∥CD且FM＝CD＝2，
因为AB∥CD，且AB＝2，
所以FM∥AB且FM＝AB，
所以四边形ABMF为平行四边形，
所以AF∥BM，
因为AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，
所以AF∥平面BCE。

证法一：如图，在平面ABCD内，分别延长CB，DA，交于点N，连接EN。

因为AB∥CD，CD＝2AB，
所以A为DN的中点。
又F为DE的中点，
所以AF∥EN，
因为EN⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，
所以AF∥平面BCE。

证法二：如图，取棱CD的中点G，连接AG，GF，
因为点F为棱DE的中点，
所以FG∥CE，
因为FG⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，
所以FG∥平面BCE。
因为AB∥CD，AB＝CG＝2，
所以四边形ABCG是平行四边形，
所以AG∥BC，
因为AG⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，
所以AG∥平面BCE。
又FG∩AG＝G，FG⊂平面AFG，AG⊂平面AFG，
所以平面AFG∥平面BCE。
因为AF⊂平面AFG，所以AF∥平面BCE。




证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行。
方向2：直线与平面平行性质定理的应用
【例2】　(2019·青岛质检)如图，五面体ABCDE中，四边形ABDE是矩形，△ABC是正三角形，AB＝1，AE＝2，F是线段BC上一点，直线BC与平面ABD所成角为30°，CE∥平面ADF。

(1)试确定F的位置；
(2)求三棱锥A－CDF的体积。
解　

(1)连接BE交AD于点O，连接OF，因为CE∥平面ADF，CE⊂平面BEC，平面ADF∩平面BEC＝OF，所以CE∥OF。
因为O是BE的中点，
所以F是BC的中点。
(2)因为BC与平面ABD所成角为30°，BC＝AB＝1，
所以C到平面ABD的距离为h＝BC·sin30°＝。
因为AE＝2，F是BC中点，
所以VA－CDF＝VF－ACD＝VB－ACD＝VC－ABD
＝×××1×2×＝。


在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行。
【题点对应练】　
1．(方向1)如图，已知四棱锥P－ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点。

(1)证明：CE∥平面PAB；
(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值。
解　

(1)证明：如图，设PA的中点为F，连接EF，FB。因为E，F分别为PD，PA的中点，
所以EF∥AD且EF＝AD。
又因为BC∥AD，BC＝AD，
所以EF∥BC且EF＝BC，
即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF。
因为BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，
所以CE∥平面PAB。
(2)分别取BC，AD的中点为M，N。
连接PN交EF于点Q，连接MQ，BN。
因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，
所以Q为EF的中点，在平行四边形BCEF中，MQ∥CE。
由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD。
由DC⊥AD，N是AD的中点得BN⊥AD。
又PN∩BN＝N，所以AD⊥平面PBN。
由BC∥AD得BC⊥平面PBN，
那么平面PBC⊥平面PBN。
过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH。
则MH是MQ在平面PBC上的射影，
所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角。
设CD＝1。
在△PCD中，由PC＝2，CD＝1，PD＝得CE＝，
在△PBN中，由PN＝BN＝1，PB＝得QH＝，
在Rt△MQH中，QH＝，MQ＝，
所以sin∠QMH＝，
所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是。
2．(方向2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH。

求证：PA∥GH。
证明　

如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，因为四边形ABCD是平行四边形，
所以O是AC的中点，
又M是PC的中点，
所以AP∥OM。
又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，
所以PA∥平面BMD。
又因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，
且PA⊂平面PAHG，所以PA∥GH。
考点二 面面平行的判定与性质微点小专题
方向1：面面平行的判定与证明
【例3】已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD＝2BC，E，F分别为CC1，DD1的中点。

求证：平面BEF∥平面AD1C1。
证明　取AD的中点G，连接BG，FG。
因为E，F分别为CC1，DD1的中点，

所以C1D1綊CD綊EF，
因为C1D1⊂平面AD1C1，EF⊄平面AD1C1，
所以EF∥平面AD1C1。
因为AD∥BC，AD＝2BC，
所以GD綊BC，
即四边形BCDG是平行四边形，
所以BG綊CD，所以BG綊EF，
即四边形EFGB是平行四边形，所以BE∥FG。
因为F，G分别是DD1，AD的中点，
所以FG∥AD1，所以BE∥AD1。
因为AD1⊂平面AD1C1，BE⊄平面AD1C1，
所以BE∥平面AD1C1。
又BE⊂平面BEF，FE⊂平面BEF，BE∩EF＝E，
所以平面BEF∥平面AD1C1。


证明面面平行的常用方法
1．利用面面平行的定义或判定定理；
2．利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)；
3．利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)。
方向2：面面平行性质定理的应用
【例4】如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD。请在图中作出平面α，使得DE⊂α，且BF∥α，并说明理由。

解　如图，取BC的中点P，连接PD，PE，则平面PDE即为所求的平面α。
下面证明BF∥α。

因为BC＝2AD，AD∥BC，
所以AD∥BP，且AD＝BP，
所以四边形ABPD为平行四边形，
所以AB∥DP。
又AB⊄平面PDE，PD⊂平面PDE，所以AB∥平面PDE。
因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
所以AF∥DE。
又AF⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，
所以AF∥平面PDE。
又AF⊂平面ABF，AB⊂平面ABF，AB∩AF＝A，
所以平面ABF∥平面PDE。
又BF⊂平面ABF，所以BF∥平面PDE，
即BF∥α。


本题先构造平面FAB∥平面EDP，又FB⊂平面FAB，从而FB∥平面EDP，从本例4可以看出线面平行可以通过面面平行的性质定理实现。另外，有时线线平行也可以通过面面平行的性质定理实现。
【题点对应练】　
1．(方向1)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，点D1是B1C1的中点。

求证：平面A1BD1∥平面AC1D。
证明　

如图，连接A1C交AC1于点E，连接ED，因为四边形A1ACC1是平行四边形，
所以点E是A1C的中点，因为A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，
所以A1B∥ED，
因为点E是A1C的中点，
所以点D是BC的中点，
又因为点D1是B1C1的中点，
所以D1C1綊BD，
所以四边形BDC1D1为平行四边形，
所以BD1∥C1D。
又BD1⊄平面AC1D，C1D⊂平面AC1D，
所以BD1∥平面AC1D，
又因为A1B∩BD1＝B，
所以平面A1BD1∥平面AC1D。
2．(方向2)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB。已知G，H分别是EC和FB的中点。

求证：GH∥平面ABC。
证明　取FC中点I，连接GI，HI，

则有GI∥EF，HI∥BC，
所以HI∥平面ABC，
又EF∥DB，所以GI∥BD，
所以GI∥平面ABC，
又GI∩HI＝I，
所以平面GHI∥平面ABC，
因为GH⊂平面GHI，
所以GH∥平面ABC。

1．(配合例1使用)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由。

解　

解法一：假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1，
如图，取BB1的中点F，
连接DF，EF，ED，则DF∥B1C1，
又DF⊄平面AB1C1，
B1C1⊂平面AB1C1，
所以DF∥平面 AB1C1，
又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面AB1C1，
因为EF⊂平面DEF，所以EF∥平面AB1C1，
又因为EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，所以EF∥AB1，
因为点F是BB1的中点，所以点E是AB的中点。
即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1。

解法二：存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1。
证明如下：
如图，取BB1的中点F，连接DF，
则DF∥B1C1。
因为DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，
所以DF∥平面AB1C1。
因为AB的中点为E，连接EF，ED，
则EF∥AB1。
因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1。
因为DF∩EF＝F，
所以平面DEF∥平面AB1C1。
而DE⊂平面DEF，所以DE∥平面AB1C1。
2．(配合例2使用)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2。点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH。

(1)证明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积。
解　(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，
且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC。
同理可证EF∥BC，因此GH∥EF。

(2)如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK。
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD。
又BD∩AC＝O，且AC，BD⊂底面ABCD，
所以PO⊥底面ABCD。
又因为平面GEFH⊥平面ABCD，
且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH。
因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，PO⊂平面PBD，
所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD。
又EF⊂平面ABCD，从而GK⊥EF。
所以GK是梯形GEFH的高。
由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
从而KB＝DB＝OB，即K为OB的中点。
再由PO∥GK得GK＝PO，
即G是PB的中点，且GH＝BC＝4。
由已知可得OB＝4，
PO＝＝＝6，所以GK＝3。
故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18。
3．(配合例4使用)如图，在三棱锥P－ABC中，D，E分别为PA，AC的中点。

(1)求证：DE∥平面PBC；
(2)试问在线段AB上是否存在点F，使得过D，E，F三点的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由。
解　(1)证明：因为E为AC的中点，D为PA的中点，
所以DE∥PC。
又DE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，
所以DE∥平面PBC。

(2)存在，当点F是线段AB的中点时，过D，E，F三点的平面内的任一条直线都与平面PBC平行。
证明如下：
如图，取AB的中点F，连接EF，DF。
由(1)可知DE∥平面PBC。
因为E是AC的中点，F为AB的中点，所以EF∥BC。
又EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以EF∥平面PBC。
又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面PBC，
所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行。
故当点F是线段AB的中点时，过D，E，F三点的平面内的任一条直线都与平面PBC平行。