2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第七章第六节　空间向量及其运算和空间位置关系 学案

第六节　空间向量及其运算和空间位置关系

2019考纲考题考情

1．空间向量及其有关概念

(1)空间向量的有关概念

①空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。

②相等向量：方向相同且模相等的向量。

③共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量。

④共面向量：平行于同一个平面的向量。

(2)空间向量中的有关定理

①共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb。

②共面向量定理：若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb。

③空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc。

2．两个向量的数量积

(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉。

(2)空间向量数量积的运算律

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c。

3．空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，

4.向量法证明平行与垂直

(1)两个重要向量

①直线的方向向量

直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个。

②平面的法向量

直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量。显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量。

(2)空间位置关系的向量表示

1．向量三点共线定理

在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点。

2．向量四点共面定理

在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点。

一、走进教材

1．(选修2－1P97A组T2改编)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)

A．－a＋b＋c

B．a＋b＋c

C．－a－b－c

D．－a－b＋c

解析　＝＋＝－－＝－－(＋)＝－－－＝－a－b－c。故选C。

答案　C

2. (选修2－1P111练习T3改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________。

解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DA＝2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，1,2)，所以＝(－2，0,1)，＝(1,0,2)，·＝－2＋0＋2＝0，所以AM⊥ON。

答案　垂直

二、走出误区

微提醒：①忽视向量共线与共面的区别；②使用数量积公式出错。

3．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)

A．垂直   B．平行

C．异面   D．相交但不垂直

解析　由题意得，＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，所以＝－3，所以与共线，又AB与CD没有公共点，所以AB∥CD。

答案　B

4．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________。

解析　因为P，A，B，C四点共面，所以＋＋t＝1，所以t＝。

答案　

5．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________。

解析　||2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，所以||＝，所以EF的长为。

答案　

考点一  空间向量的线性运算　　　　　　　　

【例1】 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1)；(2)；(3)＋。

解　(1)因为P是C1D1的中点，

所以＝＋＋

＝a＋＋＝a＋c＋

＝a＋c＋b。

(2)因为N是BC的中点，

所以＝＋＋

＝－a＋b＋

＝－a＋b＋＝－a＋b＋c。

(3)因为M是AA1的中点，

所以＝＋＝＋

＝－a＋＝a＋b＋c，

又＝＋＝＋

＝＋＝c＋a，

所以＋＝＋＝a＋b＋c。

进行向量的线性运算，有以下几个关键点

1．结合图形，明确图形中各线段的几何关系。

2．正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义。

3．平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立。

【变式训练】　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点。

(1)化简：－－＝________。

(2)用，，表示，则＝________。

解析　(1)－－＝－(＋)＝－＝＋＝。

(2)因为＝＝(＋)，所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋。

答案　(1)　(2)＋＋

考点二  共线、共面向量定理的应用

【例2】如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)。

(1)向量是否与向量，共面？

(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？

解　(1)因为＝k，＝k，

所以＝＋＋

＝k＋＋k

＝k(＋)＋

＝k(＋)＋

＝k＋＝－k

＝－k(＋)

＝(1－k)－k，

所以由共面向量定理知向量与向量，共面。

(2)当k＝0时，点M、A重合，点N、B重合，

MN在平面ABB1A1内，当0＜k≤1时，

MN不在平面ABB1A1内，

又由(1)知与、共面，

所以MN∥平面ABB1A1。

【变式训练】 如图在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点。

(1)试用向量，，表示；

(2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C。

解　设＝a，＝b，＝c，

(1)由图得＝＋＋

＝c＋b＋＝a＋b＋c＝＋＋。

(2)证明：由题图得：＝＋＝a＋b，

＝＋＝b＋a＝，

因为与无公共点。

所以EG∥AC，又因为AC⊂平面AB1C，EG⊄平面AB1C，所以EG∥平面AB1C。

又因为＝＋＝a＋c，

＝＋＝c＋a＝，

因为与无公共点，

所以FG∥AB1，又因为AB1⊂平面AB1C，FG⊄平面AB1C，所以FG∥平面AB1C，

又因为FG∩EG＝G，

所以平面EFG∥平面AB1C。

考点三  利用空间向量证明平行或垂直

【例3】 如图所示，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC＝BC，∠ACD＝90°。

(1)求证：AB⊥平面EDC；

(2)若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD。

证明　(1)设＝a，＝b，＝c，

则〈a，b〉＝〈b，c〉＝90°，

所以a·b＝b·c＝0。

根据向量的线性运算，得＝－＝c－a。

由E是AB的中点，得＝(a＋c)，

所以·＝(c－a)·(a＋c)＝(c2－a2)＝0，

·＝(c－a)·b＝c·b－a·b＝0，

所以⊥，即AB⊥CE，⊥，即AB⊥CD。

又CE∩CD＝C，所以AB⊥平面EDC。

(2)连接EF，EG，

因为E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，

所以GE∥CB，GE＝CB，GF∥CD，GF＝CD，

则＝c，＝b。

由P为FG上任一点，设＝λ＝λb，

所以＝－＝λb－c＝λ－。

又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面。

因为EP⊄平面BCD，所以EP∥平面BCD。

1．选取空间不共面的三个向量为基底，用基底表示已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程。

2．通过计算向量的数量积为0，可证明垂直问题。

3．要证线面平行，证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示。

【变式训练】在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PB，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2。

(1)求证：EF∥平面ABCD。

(2)求证：平面PAD⊥平面PDC。

证明　

(1)以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)。点E，F分别是PB，PD的中点，F，E。

＝，＝(－1,2,0)，＝－，

即EF∥BD。

又BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，

所以EF∥平面ABCD。

(2)由(1)可知＝(1,0，－1)，

＝(0,2，－1)，＝(0,0,1)，

＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，

因为·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，

·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，

所以⊥，⊥，

即AP⊥DC，AD⊥DC。

又AP∩AD＝A，

所以DC⊥平面PAD。

因为DC⊂平面PDC，

所以平面PAD⊥平面PDC。

(配合例3使用)如图①所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图②所示。

(1)求证：A1C⊥平面BCDE；

(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(3)线段BC上是否存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由。

解　(1)因为AC⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥AC，所以DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩DC＝D，且A1D，DC⊂平面A1DC，所以DE⊥平面A1DC，

因为A1C⊂平面A1DC，所以DE⊥A1C。

又因为A1C⊥CD，DE∩CD＝D，

且DE，CD⊂平面BCDE，

所以A1C⊥平面BCDE。

(2)

以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0,0,2)，

D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2，2,0)。

设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0。

又因为＝(3,0，－2)，＝(－1,2,0)，

所以

令y＝1，则x＝2，z＝，

所以n＝(2,1，)。

设CM与平面A1BE所成的角为θ。

因为＝(0,1，)，

所以sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝。

所以CM与平面A1BE所成角的大小为。

(3)线段BC上不存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直。理由如下：

假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p∈[0,3]。设平面A1DP的法向量为m＝(x1，y1，z1)，

则

又因为＝(0,2，－2)，＝(p，－2,0)，

所以

令x1＝2，则y1＝p，z1＝。

所以m＝。

当且仅当m·n＝0时，平面A1DP⊥平面A1BE。

由m·n＝0，得4＋p＋p＝0，

解得p＝－2，与p∈[0,3]矛盾。

所以线段BC上不存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直。