2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第八章第二节　两条直线的交点与距离公式 学案

第二节　两条直线的交点与距离公式
2019考纲考题考情



1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2。特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行。
与Ax＋By＋C＝0平行的直线，可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)。
(2)两条直线垂直：如果两条直线l1、l2斜率存在，设为k1、k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1。特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直。
与Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋n＝0。
2．两直线相交
(1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应。
(2)相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解。
(3)平行⇔方程组无解。
(4)重合⇔方程组有无数个解。
3．三种距离公式
(1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离为
|AB|＝ 。
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为
d＝。
(3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为d＝。
4．对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)。
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′。


1．两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0。
2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2。
3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式。
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等。

一、走进教材
1．(必修2P101A组T10改编)已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________。
解析　由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1。
答案　1
2．(必修2P114A组T10改编)已知直线3x＋y－3＝0与直线6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为(　　)
A．4 B．
C． D．
解析　由两直线平行，可得m＝2，直线3x＋y－3＝0变形为6x＋2y－6＝0，所以两直线间的距离d＝＝。故选D。
答案　D
二、走近高考
3．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离。当θ，m变化时，d的最大值为(　　)
A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4
解析　由题意可得
d＝＝
＝
＝，因为－1≤sin(θ－φ)≤1，所以≤d≤，＝1＋，所以当m＝0时，d取最大值3。故选C。

解法一：因为cos2θ＋sin2θ＝1，所以P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又x－my－2＝0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(－1,0)到直线x＝2的距离即为d的最大值。故选C。

解法二：P是圆x2＋y2＝1上的动点，圆心(0,0)到直线x－my－2＝0的距离d＝≤2，所以点P到直线x－my－2＝0的距离的最大值为3。

答案　C
三、走出误区
微提醒：①判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况；②求平行线间距离忽视x，y的系数相同。
4．若直线l1：x＋y－1＝0与直线l2：x＋a2y＋a＝0平行，则实数a＝________。
解析　因为直线l1的斜率k1＝－1，l1∥l2，所以a2＝1，且a≠－1，所以a＝1。
答案　1
5．已知P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________。
解析　先把两直线方程化为同系数方程：6x＋8y－24＝0和6x＋8y＋5＝0，|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离，故d＝＝。
答案　
6．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为__________________。
解析　过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0。
答案　3x＋19y＝0

考点一 两条直线的平行与垂直问题
【例1】　(1)已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3。若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)
A．－10 B．－2
C．0 D．8
(2)已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________。
解析　(1)因为l1∥l2，所以＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合)，因为l2⊥l3，所以2×1＋1×n＝0，解得n＝－2，所以m＋n＝－10。
(2)l1的斜率k1＝＝a。当a≠0时，l2的斜率k2＝＝。因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1。当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(－2,0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2。综上可知，实数a的值为1或0。
答案　(1)A　(2)1或0


1．讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在。
2．“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1或B1C2≠B2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”。
【变式训练】　(1)“a＝2”是“直线ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos的值为(　　)
A． B．－
C．2 D．－
解析　(1)由直线ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行，得a(a－1)＝2，且4a＋4≠0，所以a＝2，所以a＝2是直线ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行的充要条件。
(2)直线x＋2y－3＝0的斜率为－，因为倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，所以tanα＝2，则cos＝cos＝cos＝sin2α＝＝＝。故选A。
答案　(1)A　(2)A
考点二 两条直线的交点与距离问题
【例2】　(1)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________________。
(2)(2019·广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________。
(3)(2019·厦门模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________。
解析　(1)由方程组得即P(0，2)。因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－，所以直线l的方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0。
(2)由题意得，点P到直线的距离为＝。又≤3，即|15－3a|≤15，解之得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10]。
(3)依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，又两平行线之间的距离为，所以＝，解得c＝2或－6。
答案　(1)4x＋3y－6＝0　(2)[0,10]　(3)2或－6
【互动探究】　若将本例(1)中的“垂直”改为“平行”，如何求解？
解　由方程组
得即P(0,2)。
因为l∥l3，所以直线l的斜率k＝，
所以直线l的方程为y－2＝x，
即3x－4y＋8＝0。

解：因为直线l过直线l1和l2的交点，
所以可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0。
因为l与l3平行，所以3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)，所以λ＝，
所以直线l的方程为3x－4y＋8＝0。



1．求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程。
2．利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等。
【变式训练】　(1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________。
(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________________。
解析　(1)如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2)。而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2,1)，斜率为k的动直线。因为两直线的交点在第一象限，所以两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，所以动直线的斜率k需满足kPA
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0。由题意知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，所以k＝－，所以直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0。当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意。故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1。

解析：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0。当l过AB的中点时，AB的中点为(－1，4)，所以直线l的方程为x＝－1，故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1。


答案　(1)　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1
考点三 对称问题
【例3】　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)。求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程。
解　(1)设A′(x，y)，由已知
解得
所以A′。
(2)在直线m上取一点M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上。
设M′(a，b)，则
解得M′。
设直线m与直线l的交点为N，
则由得N(4,3)。
又因为m′经过点N(4,3)，
所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0。
(3)设P(x，y)为l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，因为P′在直线l上，
所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0。


解决两类对称问题的关键
解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解。
【变式训练】　光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程。
解　由得

所以反射点M的坐标为(－1,2)。
又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)，
设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，
由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝。
而PP′的中点Q的坐标为，
又Q点在l上，所以3·－2·＋7＝0。
由得
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0。

解：设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则＝－，
又PP′的中点Q在l上，
所以3×－2×＋7＝0，
由
可得P点的横、纵坐标分别为
x0＝，
y0＝，
代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0。
所以所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0。


1．(配合例1使用)已知b>1，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－(b－1)y－1＝0互相垂直，则a的最小值等于(　　)
A．2－1 B．2＋1
C．2＋2 D．2－2
解析　因为直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－(b－1)y－1＝0互相垂直，所以(b2＋1)－a(b－1)＝0，又因为b>1，所以a＝＋＝b－1＋＋2≥2＋2，当且仅当b＝＋1时，等号成立。故选C。
答案　C
2．(配合例2使用)已知曲线y＝在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋y＋2＝0
B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0
C．2x－y－18＝0
D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0
解析　y′＝＝－，当x＝2时，－＝－2，因此kl＝－2。设直线l的方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意，得＝2，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0。故选B。
答案　B
3. (配合例3使用)如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)

A．3 B．6
C．2 D．2
解析　

直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2。
答案　C