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2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第八章第六节 双 曲 线 学案
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第六节 双 曲 线
2019考纲考题考情
1．双曲线的概念
平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}。
(1)当a＜c时，M点的轨迹是双曲线。
(2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线。
(3)当a＞c时，M点不存在。
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
顶点坐标：
A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
性质
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
1．双曲线定义的四点辨析
(1)当0<2a<|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线。
(2)当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线。
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线。
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在。
2．方程－＝1(mn>0)表示的曲线
(1)当m>0，n>0时，表示焦点在x轴上的双曲线。
(2)当m<0，n<0时，表示焦点在y轴上的双曲线。
3．方程的常见设法
(1)与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)。
(2)若渐近线的方程为y＝±x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)。
一、走进教材
1．(选修2－1P61A组T1改编)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________。
解析 设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝－1>2，故|PF2|＝6。
答案 6
2．(选修2－1P61练习T3改编)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为____________。
解析 设要求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由椭圆＋＝1，得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)。所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2,0)。所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－＝1。
答案 x2－＝1
二、走近高考
3．(2018·浙江高考)双曲线－y2＝1的焦点坐标是( )
A．(－，0)，(，0) B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2)
解析 由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)。故选B。
答案 B
4．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________。
解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，所以＝b＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，所以双曲线的离心率e＝＝2。
答案 2
5．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析 由y＝x，可得＝。 ①由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9。 ②由①②可得a2＝4，b2＝5。所以C的方程为－＝1。故选B。
答案 B
三、走出误区
微提醒：①忽视双曲线定义的条件致误；②忽视双曲线焦点的位置致误。
6．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________。
解析 由|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线－＝1的下支。
答案 双曲线－＝1的下支
7．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________。
解析 若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan＝，b＝a，可得c＝2a，则e＝＝2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan＝，a＝b，可得c＝a，则e＝。综上可得e＝2或e＝。
答案 2或
考点一 双曲线的定义及应用
【例1】 (2019·江西联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为( )
A．2a2 B．a2
C．30a2 D．15a2
解析 由双曲线的对称性，不妨设A在双曲线的右支上，由e＝＝2，得c＝2a，所以△AF1F2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a，又△AF1F2的周长为10a，所以|AF1|＋|AF2|＝6a，又因为|AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2中，|F1F2|＝4a，所以cos∠F1AF2＝＝＝。所以sin∠F1AF2＝，所以S△AF1F2＝|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝×4a×2a×＝a2。故选B。
答案 B
双曲线定义的应用主要有两个考查方向：一是利用定义求双曲线的标准方程；二是利用双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值||PF1|－|PF2||＝2a(其中0<2a<|F1F2|)与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形问题。
【变式训练】 (1)已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为( )
A．－＝1(y>0) B．－＝1(x>0)
C．－＝1(y>0) D．－＝1(x>0)
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析 (1)由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)。
(2)由双曲线的方程得a＝1，c＝，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2。在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4。
答案 (1)B (2)B
考点二 双曲线的标准方程
【例2】 (1)(2019·德州二中模拟)“0
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知以原点为中心，实轴在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y＝x，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
(3)若双曲线经过点(3，)，且渐近线方程是y＝±x，则双曲线的标准方程是__________________。
解析 (1)若方程＋＝1表示双曲线，则(n＋1)(n－3)<0，解得－1
(3)设双曲线的方程是y2－＝λ(λ≠0)。因为双曲线过点(3，)，所以λ＝2－＝1。故双曲线的标准方程为y2－＝1。
答案 (1)A (2)C (3)y2－＝1
1．利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值。
2．与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)。
3．双曲线的焦点到渐近线的距离是b。
【变式训练】 (1)若实数k满足0
C．实半轴长相等 D．焦距相等
(2)已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线l：x＋y＝0垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则双曲线C的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析 (1)由0
答案 (1)D (2)A
考点三 双曲线的简单几何性质微点小专题
方向1：双曲线的渐近线
【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N。若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( )
A． B．3
C．2 D．4
解析 因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MOF＝30°，∠MON＝60°。又|OF|＝2，所以|OM|＝|OF|·cos∠MOF＝2cos30°＝，所以|MN|＝|OM|·tan∠MON＝tan60°＝3。故选B。
答案 B
双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0。渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答。
方向2：双曲线的离心率
【例4】 (2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，O是坐标原点。过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P。若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为( )
A． B．2
C． D．
解析 不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝。故选C。
答案 C
双曲线的离心率e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e>1。
方向3：双曲线几何性质的综合应用
【例5】 (2019·太原模拟)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则＝( )
A．1 B．
C． D．
解析 如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a。
又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因为∠F1AF2＝π，所以S△AF1F2＝|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝×2a×4a×＝2a2。设|BF2|＝m，由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，所以|BA|＝|BF2|。又知∠BAF2＝，所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，所以S△ABF2＝|AB|2＝×(4a)2＝4a2，所以＝＝。故选B。
答案 B
双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系。
【题点对应练】
1．(方向1)已知双曲线C：－＝1(m>0，n>0)的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
解析 由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，所以椭圆的离心率e＝＝，所以双曲线的离心率为＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0。故选A。
答案 A
2．(方向2)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1。若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________。
解析 设椭圆的右焦点为F(c,0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意可知A，由点A在椭圆M上得，＋＝1，所以b2c2＋3a2c2＝4a2b2，因为b2＝a2－c2，所以(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，所以4a4－8a2c2＋c4＝0，所以e－8e＋4＝0，所以e＝4±2，所以e椭＝＋1(舍去)或e椭＝－1，所以椭圆M的离心率为－1，因为双曲线的渐近线过点A，所以一条渐近线方程为y＝x，所以＝，故双曲线的离心率e双＝ ＝2。
答案 －1 2
3．(方向3)已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是( )
A．32 B．16
C．8 D．4
解析 由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a。由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16。故选B。
答案 B
考点四 直线与双曲线的位置关系
【例6】 已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝，虚轴长为2。
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左、右顶点)，且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点。
解 (1)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)。
由已知得＝，2b＝2，
又a2＋b2＝c2，所以a＝2，b＝1，
所以双曲线的标准方程为－y2＝1。
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
得(1－4k2)x2－8kmx－4(m2＋1)＝0，
所以Δ＝64m2k2＋16(1－4k2)(m2＋1)>0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝。
因为以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(－2,0)，所以kAD·kBD＝－1，
即·＝－1，
所以y1y2＋x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝0，
即＋＋＋4＝0，
所以3m2－16mk＋20k2＝0，
解得m＝2k或m＝。
当m＝2k时，l的方程为y＝k(x＋2)，直线过定点(－2,0)，与已知矛盾；
当m＝时，l的方程为y＝k，直线过定点，经检验符合已知条件。
故直线l过定点。
研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程与双曲线方程联立，消元得关于x或y的一元二次方程。当二次项系数等于0时，直线与双曲线某支相交于一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定。对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验。
【变式训练】 已知双曲线y2－＝1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2＝( )
A． B．－
C．2 D．－2
解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则y－＝1，y－＝1，两式相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝，所以直线l的斜率k1＝＝＝，又直线OP的斜率k2＝，所以k1k2＝·＝。故选A。
答案 A
1．(配合例1使用)P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝6，则|PF2|＝( )
A．9 B．2
C．10 D．2或10
解析 因为双曲线的一条渐近线的方程为3x－2y＝0，即y＝x，又双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设a>0，所以可得＝，所以a＝2。于是，由双曲线的定义得|6－|PF2||＝2a＝4，解得|PF2|＝2或|PF2|＝10。又|PF1|＝6>a＋c＝2＋，所以点P可能在双曲线的右支上，也可能在左支上，故所求|PF2|＝2或|PF2|＝10均有可能。故选D。
答案 D
2．(配合例2使用)已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点O，离心率为。若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为，则C的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．x2－＝1 D．y2－＝1
解析 由题意可知，OM为RtΔMF1F2斜边上的中线，所以|OM|＝|F1F2|＝c。由M到原点的距离为，得c＝，又e＝＝，所以a＝1，所以b2＝c2－a2＝3－1＝2。故双曲线C的方程为x2－＝1。故选C。
答案 C
3．(配合例4使用)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM，切点为M，交y轴于点P，若＝λ，且双曲线的离心率e＝，则λ＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 如图，|OF|＝c，|OM|＝a，OM⊥PF，所以|MF|＝b，根据射影定理得|PF|＝，所以|PM|＝－b，所以λ＝＝＝＝。因为e2＝＝＝1＋＝2＝，所以＝。所以λ＝2。故选B。
答案 B
4．(配合例5使用)已知双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上的任意一点，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，若四边形PAOB(O为坐标原点)的面积为，且·>0，则点P的横坐标的取值范围为( )
A．∪
B．
C．∪
D．
解析 由题易知四边形PAOB为平行四边形，且不妨设双曲线C的渐近线OA：bx－y＝0，OB：bx＋y＝0。设点P(m，n)，则直线PB的方程为y－n＝b(x－m)，且点P到渐近线OB的距离为d＝。由解得所以B，所以|OB|＝＝|bm－n|，所以S▱PAOB＝|OB|·d＝。又因为m2－＝1，所以b2m2－n2＝b2，所以S▱PAOB＝b。又S▱PAOB＝，所以b＝2，所以双曲线C的方程为x2－＝1，所以c＝3，所以F1(－3,0)，F2(3,0)，所以·＝(－3－m)(3－m)＋n2>0，即m2－9＋n2>0，又因为m2－＝1，所以m2－9＋8(m2－1)>0，解得m>或m<－，所以点P的横坐标的取值范围为∪。故选A。
答案 A
2019考纲考题考情
1．双曲线的概念
平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}。
(1)当a＜c时，M点的轨迹是双曲线。
(2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线。
(3)当a＞c时，M点不存在。
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
顶点坐标：
A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
性质
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
1．双曲线定义的四点辨析
(1)当0<2a<|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线。
(2)当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线。
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线。
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在。
2．方程－＝1(mn>0)表示的曲线
(1)当m>0，n>0时，表示焦点在x轴上的双曲线。
(2)当m<0，n<0时，表示焦点在y轴上的双曲线。
3．方程的常见设法
(1)与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)。
(2)若渐近线的方程为y＝±x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)。
一、走进教材
1．(选修2－1P61A组T1改编)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________。
解析 设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝－1>2，故|PF2|＝6。
答案 6
2．(选修2－1P61练习T3改编)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为____________。
解析 设要求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由椭圆＋＝1，得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)。所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2,0)。所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－＝1。
答案 x2－＝1
二、走近高考
3．(2018·浙江高考)双曲线－y2＝1的焦点坐标是( )
A．(－，0)，(，0) B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2)
解析 由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)。故选B。
答案 B
4．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________。
解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，所以＝b＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，所以双曲线的离心率e＝＝2。
答案 2
5．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析 由y＝x，可得＝。 ①由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9。 ②由①②可得a2＝4，b2＝5。所以C的方程为－＝1。故选B。
答案 B
三、走出误区
微提醒：①忽视双曲线定义的条件致误；②忽视双曲线焦点的位置致误。
6．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________。
解析 由|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线－＝1的下支。
答案 双曲线－＝1的下支
7．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________。
解析 若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan＝，b＝a，可得c＝2a，则e＝＝2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan＝，a＝b，可得c＝a，则e＝。综上可得e＝2或e＝。
答案 2或
考点一 双曲线的定义及应用
【例1】 (2019·江西联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为( )
A．2a2 B．a2
C．30a2 D．15a2
解析 由双曲线的对称性，不妨设A在双曲线的右支上，由e＝＝2，得c＝2a，所以△AF1F2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a，又△AF1F2的周长为10a，所以|AF1|＋|AF2|＝6a，又因为|AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2中，|F1F2|＝4a，所以cos∠F1AF2＝＝＝。所以sin∠F1AF2＝，所以S△AF1F2＝|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝×4a×2a×＝a2。故选B。
答案 B
双曲线定义的应用主要有两个考查方向：一是利用定义求双曲线的标准方程；二是利用双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值||PF1|－|PF2||＝2a(其中0<2a<|F1F2|)与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形问题。
【变式训练】 (1)已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为( )
A．－＝1(y>0) B．－＝1(x>0)
C．－＝1(y>0) D．－＝1(x>0)
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析 (1)由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)。
(2)由双曲线的方程得a＝1，c＝，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2。在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4。
答案 (1)B (2)B
考点二 双曲线的标准方程
【例2】 (1)(2019·德州二中模拟)“0
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知以原点为中心，实轴在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y＝x，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
(3)若双曲线经过点(3，)，且渐近线方程是y＝±x，则双曲线的标准方程是__________________。
解析 (1)若方程＋＝1表示双曲线，则(n＋1)(n－3)<0，解得－1
(3)设双曲线的方程是y2－＝λ(λ≠0)。因为双曲线过点(3，)，所以λ＝2－＝1。故双曲线的标准方程为y2－＝1。
答案 (1)A (2)C (3)y2－＝1
1．利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值。
2．与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)。
3．双曲线的焦点到渐近线的距离是b。
【变式训练】 (1)若实数k满足0
C．实半轴长相等 D．焦距相等
(2)已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线l：x＋y＝0垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则双曲线C的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析 (1)由0
答案 (1)D (2)A
考点三 双曲线的简单几何性质微点小专题
方向1：双曲线的渐近线
【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N。若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( )
A． B．3
C．2 D．4
解析 因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MOF＝30°，∠MON＝60°。又|OF|＝2，所以|OM|＝|OF|·cos∠MOF＝2cos30°＝，所以|MN|＝|OM|·tan∠MON＝tan60°＝3。故选B。
答案 B
双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0。渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答。
方向2：双曲线的离心率
【例4】 (2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，O是坐标原点。过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P。若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为( )
A． B．2
C． D．
解析 不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝。故选C。
答案 C
双曲线的离心率e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e>1。
方向3：双曲线几何性质的综合应用
【例5】 (2019·太原模拟)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则＝( )
A．1 B．
C． D．
解析 如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a。
又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因为∠F1AF2＝π，所以S△AF1F2＝|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝×2a×4a×＝2a2。设|BF2|＝m，由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，所以|BA|＝|BF2|。又知∠BAF2＝，所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，所以S△ABF2＝|AB|2＝×(4a)2＝4a2，所以＝＝。故选B。
答案 B
双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系。
【题点对应练】
1．(方向1)已知双曲线C：－＝1(m>0，n>0)的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
解析 由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，所以椭圆的离心率e＝＝，所以双曲线的离心率为＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0。故选A。
答案 A
2．(方向2)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1。若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________。
解析 设椭圆的右焦点为F(c,0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意可知A，由点A在椭圆M上得，＋＝1，所以b2c2＋3a2c2＝4a2b2，因为b2＝a2－c2，所以(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，所以4a4－8a2c2＋c4＝0，所以e－8e＋4＝0，所以e＝4±2，所以e椭＝＋1(舍去)或e椭＝－1，所以椭圆M的离心率为－1，因为双曲线的渐近线过点A，所以一条渐近线方程为y＝x，所以＝，故双曲线的离心率e双＝ ＝2。
答案 －1 2
3．(方向3)已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是( )
A．32 B．16
C．8 D．4
解析 由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a。由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16。故选B。
答案 B
考点四 直线与双曲线的位置关系
【例6】 已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝，虚轴长为2。
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左、右顶点)，且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点。
解 (1)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)。
由已知得＝，2b＝2，
又a2＋b2＝c2，所以a＝2，b＝1，
所以双曲线的标准方程为－y2＝1。
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
得(1－4k2)x2－8kmx－4(m2＋1)＝0，
所以Δ＝64m2k2＋16(1－4k2)(m2＋1)>0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝。
因为以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(－2,0)，所以kAD·kBD＝－1，
即·＝－1，
所以y1y2＋x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝0，
即＋＋＋4＝0，
所以3m2－16mk＋20k2＝0，
解得m＝2k或m＝。
当m＝2k时，l的方程为y＝k(x＋2)，直线过定点(－2,0)，与已知矛盾；
当m＝时，l的方程为y＝k，直线过定点，经检验符合已知条件。
故直线l过定点。
研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程与双曲线方程联立，消元得关于x或y的一元二次方程。当二次项系数等于0时，直线与双曲线某支相交于一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定。对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验。
【变式训练】 已知双曲线y2－＝1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2＝( )
A． B．－
C．2 D．－2
解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则y－＝1，y－＝1，两式相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝，所以直线l的斜率k1＝＝＝，又直线OP的斜率k2＝，所以k1k2＝·＝。故选A。
答案 A
1．(配合例1使用)P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝6，则|PF2|＝( )
A．9 B．2
C．10 D．2或10
解析 因为双曲线的一条渐近线的方程为3x－2y＝0，即y＝x，又双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设a>0，所以可得＝，所以a＝2。于是，由双曲线的定义得|6－|PF2||＝2a＝4，解得|PF2|＝2或|PF2|＝10。又|PF1|＝6>a＋c＝2＋，所以点P可能在双曲线的右支上，也可能在左支上，故所求|PF2|＝2或|PF2|＝10均有可能。故选D。
答案 D
2．(配合例2使用)已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点O，离心率为。若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为，则C的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．x2－＝1 D．y2－＝1
解析 由题意可知，OM为RtΔMF1F2斜边上的中线，所以|OM|＝|F1F2|＝c。由M到原点的距离为，得c＝，又e＝＝，所以a＝1，所以b2＝c2－a2＝3－1＝2。故双曲线C的方程为x2－＝1。故选C。
答案 C
3．(配合例4使用)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM，切点为M，交y轴于点P，若＝λ，且双曲线的离心率e＝，则λ＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 如图，|OF|＝c，|OM|＝a，OM⊥PF，所以|MF|＝b，根据射影定理得|PF|＝，所以|PM|＝－b，所以λ＝＝＝＝。因为e2＝＝＝1＋＝2＝，所以＝。所以λ＝2。故选B。
答案 B
4．(配合例5使用)已知双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上的任意一点，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，若四边形PAOB(O为坐标原点)的面积为，且·>0，则点P的横坐标的取值范围为( )
A．∪
B．
C．∪
D．
解析 由题易知四边形PAOB为平行四边形，且不妨设双曲线C的渐近线OA：bx－y＝0，OB：bx＋y＝0。设点P(m，n)，则直线PB的方程为y－n＝b(x－m)，且点P到渐近线OB的距离为d＝。由解得所以B，所以|OB|＝＝|bm－n|，所以S▱PAOB＝|OB|·d＝。又因为m2－＝1，所以b2m2－n2＝b2，所以S▱PAOB＝b。又S▱PAOB＝，所以b＝2，所以双曲线C的方程为x2－＝1，所以c＝3，所以F1(－3,0)，F2(3,0)，所以·＝(－3－m)(3－m)＋n2>0，即m2－9＋n2>0，又因为m2－＝1，所以m2－9＋8(m2－1)>0，解得m>或m<－，所以点P的横坐标的取值范围为∪。故选A。
答案 A
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