2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第八章第七节　抛　物　线 学案

第七节　抛　物　线
2019考纲考题考情



1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
|PF|＝
x0＋
|PF|＝
－x0＋
|PF|＝
y0＋
|PF|＝
－y0＋
注：抛物线上P点坐标为(x0，y0)。

抛物线焦点弦的4个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2。
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)。
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切。
(4)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)。

一、走进教材
1．(选修2－1P72练习T1改编)过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－x或x2＝y
B．y2＝x或x2＝y
C．y2＝x或x2＝－y
D．y2＝－x或x2＝－y
解析　设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2,3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y。故选A。
答案　A
2．(选修2－1P73A组T3改编)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点P有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．4个
解析　设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，y＝8x1，所以x1＝3，y1＝±2。故满足条件的点P有两个。故选C。
答案　C
二、走近高考
3．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析　根据题意，过点(－2,0)且斜率为的直线方程为y＝(x＋2)，与抛物线方程联立消元整理得：y2－6y＋8＝0，解得M(1,2)，N(4,4)，又F(1,0)，所以＝(0,2)，＝(3,4)，从而可以求得·＝0×3＋2×4＝8。故选D。

解析：过点(－2,0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1>0，y2>0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4。易知F(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8。故选D。


答案　D
4．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则|FN|＝________。
解析　抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，设M(x1，y1)，N(0，y2)，由题意得又y＝8x1，解得y＝8，y＝4y＝32，故|FN|＝＝6。
答案　6
三、走出误区
微提醒：①忽视p的几何意义；②忽视k＝0的讨论；③易忽视焦点的位置出现错误。
5．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)
A．y2＝±2x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4x
解析　由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)。设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x。故选D。
答案　D
6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________。
解析　Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，l与抛物线有公共点；当k≠0时，Δ＝64(1－k2)≥0得－1≤k<0或0 答案　[－1,1]
7．若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为________。
解析　令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4。所以抛物线的焦点是(4,0)或(0，－2)，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y。
答案　y2＝16x或x2＝－8y

考点一 抛物线的定义及应用
【例1】　(1)已知抛物线x2＝4y上一点A纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为(　　)
A．　　 B．4
C．5　 　 　 D．
(2)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则|FR|等于(　　)
A． B．1
C．2 D．4
解析　(1)抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，点A到准线的距离为5，根据抛物线定义可知点A到焦点的距离为5。故选C。
(2)因为M，N分别是PQ，PF的中点，所以MN∥FQ，且PQ∥x轴。又∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°。由抛物线定义知|PQ|＝|PF|，所以△FQP为正三角形。则FM⊥PQ，所以|QM|＝p＝2，正三角形边长为4。因为|PQ|＝4，|FN|＝|PF|＝2，且△FRN为正三角形，所以|FR|＝2。故选C。
答案　(1)C　(2)C



利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化。“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径。
【变式训练】　(1)(2019·重庆调研)已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M(5,3)，则|PF|＋|PM|的最小值是(　　)
A．6　 　 　 B．5
C．4　 　 　 D．3
(2)如果点P1，P2，P3，…，P10是抛物线y2＝2x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，…，x10，F是抛物线的焦点，若x1＋x2＋x3＋…＋x10＝5，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P10F|＝________。
解析　(1)由题意知，抛物线的准线l的方程为x＝－1，过点P作PE⊥l于点E，由抛物线的定义，得|PE|＝|PF|，易知当P，E，M三点在同一条直线上时，|PF|＋|PM|取得最小值，即(|PF|＋|PM|)min＝5－(－1)＝6。故选A。
(2)由抛物线的定义可知，抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，在y2＝2x中，p＝1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P10F|＝x1＋x2＋…＋x10＋5p＝10。
答案　(1)A　(2)10
考点二 抛物线的标准方程
【例2】　如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　)

A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
解析　如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a,2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此抛物线的方程为y2＝3x，故选C。

答案　C



求抛物线的标准方程应注意以下几点
1．当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种。
2．要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系。
3．要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题。
【变式训练】　(1)(2019·湖北联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)，点C(－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
(2)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程是(　　)
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．x2＝y D．x2＝y
解析　(1)因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|＝2p，所以S△CAB＝×2p×＝24，解得p＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y2＝8x，所以直线AB的方程为x＝2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x。故选D。
(2)因为双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2。因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，所以＝·＝＝2，解得p＝8，所以抛物线C2的方程是x2＝16y。
答案　(1)D　(2)A
考点三 抛物线的几何性质
【例3】　(2019·洛阳高三统考)已知F是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，为半径的圆，直线4x－3y－2p＝0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则＝(　　)
A．16 B．4
C． D．
解析　因为直线4x－3y－2p＝0过C1的焦点F(C2的圆心)，故|BF|＝|CF|＝，所以＝。由抛物线的定义得|AF|－＝xA，|DF|－＝xD。由整理得8x2－17px＋2p2＝0，即(8x－p)(x－2p)＝0，可得xA＝2p，xD＝，故＝＝＝16。故选A。

解析：同上面解法得＝。过A，D作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，D1，该直线AF交准线于点E，准线交x轴于点N，则由FN∥AA1得＝，由直线AF的斜率为得tan∠A1AF＝，故＝。又|AA1|＝|AF|，故＝＝，所以|AF|＝|AA1|＝|NF|＝p。同理可得＝，又|DD1|＝|DF|，所以＝，故|DF|＝|DD1|＝|NF|＝p，故＝＝＝16。故选A。

答案　A



过抛物线的焦点的直线与抛物线相交时，首先要想到利用抛物线的定义寻找相等关系，实现条件的转化。
【变式训练】　(2019·西安八校联考)如图，抛物线W：y2＝4x与圆C：(x－1)2＋y2＝25交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则△PQC的周长的取值范围是(　　)

A．(10,12) B．(12,14)
C．(10,14) D．(9,11)
解析　由题意得，抛物线W的准线l：x＝－1，焦点为C(1,0)，由抛物线的定义可得|QC|＝xQ＋1，圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为(1,0)，半径为5，故△PQC的周长为|QC|＋|PQ|＋|PC|＝xQ＋1＋(xP－xQ)＋5＝6＋xP。联立，得得A(4,4)，则xP∈(4,6)，故6＋xP∈(10,12)，故△PQC的周长的取值范围是(10,12)。故选A。

解法一：平移直线PQ，当点A在直线PQ上时，属于临界状态，此时结合|CA|＝5可知△PQC的周长趋于2×5＝10；当直线PQ与x轴重合时，属于临界状态，此时结合圆心坐标(1,0)及圆的半径为5可知△PQC的周长趋于2×(1＋5)＝12。综上，△PQC的周长的取值范围是(10,12)。故选A。
解法二：准线x＝－1，焦点(1,0)，由抛物线定义知|QC|＝xQ＋1，所以△PQC周长为|QC|＋|PQ|＋|PC|＝xQ＋1＋xP－xQ＋5＝6＋xP，由y2＝4x和(x－1)2＋y2＝25，得交点横坐标为4，所以xP∈(4,6)，所以6＋xP∈(10,12)，故选A。


答案　A
考点四 直线与抛物线的位置关系
【例4】　(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8。
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程。
解　(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)。
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0。
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝。
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝。
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1。
因此l的方程为y＝x－1。
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，
所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，
即y＝－x＋5。
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则

解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144。



(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(或|AB|＝y1＋y2＋p)，若不过焦点，则必须使用一般的弦长公式；(2)求圆的方程主要是确定圆心坐标与半径；(3)涉及直线与圆相交所得弦长问题通常是利用公式L＝2来求解，其中R为圆的半径，d为圆心到直线的距离。
【变式训练】　(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点。若∠AMB＝90°，则k＝________。
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以y－y＝4(x1－x2)，所以k＝＝，取AB中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′。因为∠AMB＝90°，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)。因为M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，因为M(－1,1)，所以y0＝1，则y1＋y2＝2，即k＝2。

解析：由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1。由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4，由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2。

答案　2

1．(配合例1使用)设抛物线y2＝2x的焦点为F，过F的直线交该抛物线于A，B两点，则|AF|＋4|BF|的最小值为________。
解析　易知抛物线y2＝2x的焦点为F 。当AB⊥x轴时，|AF|＋4|BF|＝1＋4＝5；当直线AB斜率存在时，可设直线AB的方程为y＝k ，代入抛物线方程得4k2x2－(4k2＋8)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1＋，x1x2＝，所以|AF|＋4|BF|＝x1＋＋4＝x1＋4x2＋≥2＋＝，当且仅当x1＝4x2＝1，即x1＝1，x2＝时，|AF|＋4|BF|取得最小值。
答案　
2．(配合例2使用)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N。若四边形CMNF的面积等于7，则抛物线E的方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析　由题意，得F，直线AB的方程为y＝x－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，联立y＝x－和y2＝2px得，y2－2py－p2＝0，则y1＋y2＝2p，所以y0＝＝p。故N(0，p)，又因为点M在直线AB上，所以x0＝，即M，因为MC⊥AB，所以kAB·kMC＝－1，故kMC＝－1，从而直线MC的方程为y＝－x＋p，令y＝0，得x＝p，故C，四边形CMNF是梯形，则S四边形CMNF＝(|MN|＋|CF|)·|NO|＝·p＝p2＝7，所以p2＝4，又p>0，所以p＝2，故抛物线E的方程为y2＝4x。故选C。
答案　C
3．(配合例3使用)已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点。若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)
A． B．
C． D．
解析　设抛物线C：y2＝8x的准线为l，易知l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2,0)，如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|＝2|FB|，知|AM|＝2|BN|，所以点B为线段AP的中点，连接OB，则|OB|＝|AF|，所以|OB|＝|BF|，所以点B的横坐标为1，因为k>0，所以点B的坐标为(1,2)，所以k＝＝。故选D。

答案　D