2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第十章第二节　排列与组合 学案

第二节　排列与组合

2019考纲考题考情

1．排列与组合的概念

2.排列数与组合数

(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示。

(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示。

(3)全排列：把n个不同元素全部取出来按照一定的顺序排列起来，叫做n个不同元素的全排列。用A表示n个不同元素的全排列数。

3．排列数、组合数的公式及性质

1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”。取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合。

2．排列、组合问题的求解方法与技巧

①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题要先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题倍缩法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反，等价转化。

一、走进教材

1．(选修2－3P10例4改编)用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为(　　)

A．8   B．24

C．48   D．120

解析　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48(种)排法，所以偶数的个数为48。故选C。

答案　C

2．(选修2－3P28A组T17改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是(　　)

A．18   B．24

C．30   D．36

解析　选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有CC＋CC＝30种。故选C。

解析：从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C－C－C＝30。故选C。

答案　C

二、走近高考

3．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)

A．12种   B．18种

C．24种   D．36种

解析　4＝2＋1＋1，由题意，3名志愿者中，有两人各完成1项，一人完成2项，先将4项工作分成三堆，共种分组方法，再把这三堆分配给3名志愿者，共A种分配方法，由分步乘法计数原理，共·A＝36种。故选D。

答案　D

4．(2018·浙江高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数。(用数字作答)

解析　若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为CCA；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为CCCA。综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为CCA＋CCCA＝720＋540＝1 260。

答案　1 260

三、走出误区

微提醒：①分类不清导致出错；②相邻元素看成一个整体，不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法。

5．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种。

解析　分两类：第一类，取2台原装计算机与3台组装计算机，有CC种方法；第二类，取3台原装计算机与2台组装计算机，有CC种方法。所以满足条件的不同取法有CC＋CC＝350(种)。

答案　350

6．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种。

解析　设这5件不同的产品分别为A，B，C，D，E，先把产品A与产品B捆绑有A种摆法，再与产品D，E全排列有A种摆法，最后把产品C插空有C种摆法，所以共有AAC＝36(种)不同摆法。

答案　36

考点一    简单的排列问题　　  　　　　　  　　　　

【例1】　有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数。

(1)选5人排成一排；

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；

(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

(4)全体排成一排，女生必须站在一起；

(5)全体排成一排，男生互不相邻。

解　(1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种)。

(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A·A＝5 040(种)。

(3)(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种)。

解：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种)。

(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种)。

(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种)。

求解排列应用问题的5种主要方法

【变式训练】　(1)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(　　)

A．A种   B．A种

C．AAA种   D．AA种

(2)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有(　　)

A．10种  B．16种  C．20种  D．24种

解析　(1)中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有A种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有A种站法。根据分步计数原理，共有AA种站法。故选D。

(2)一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座。因为要求每人左右均有空座，所以在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A＝20种坐法。

答案　(1)D　(2)C

考点二  组合问题

【例2】　(1)(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种。(用数字作答)

(2)(2019·西安模拟)共享单车是指企业与政府合作，在公共服务区等地方提供自行车单车共享服务。现从6辆黄色共享单车和4辆蓝色共享单车中任取4辆进行检查，则至少有两辆蓝色共享单车的取法种数是________。

解析　(1)根据题意，没有女生入选有C＝4(种)选法，从6名学生中任意选3人有C＝20(种)选法，故至少有1位女生入选，不同的选法共有20－4＝16(种)。

解析：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有CC＝12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有CC＝4(种)。根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16种。

(2)分三种情况讨论：①两辆蓝色共享单车，有CC＝90种，②三辆蓝色共享单车，有CC＝24种，③四辆蓝色共享单车，有C＝1种。根据分类加法计数原理可得，至少有两辆蓝色共享单车的取法种数是90＋24＋1＝115。

答案　(1)16　(2)115

“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解。用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解。

【变式训练】　(1)(2019·开封高三定位考试)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科。学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为(　　)

A．6  B．12  C．18  D．19

(2)现有12张不同的扑克牌，其中红桃、方片、黑桃、梅花各3张，现从中任取3张，要求这3张牌不能是同一种且黑桃至多一张，则不同的取法种数为________。

解析　(1)在物理、政治、历史中选一科的选法有CC＝9种；在物理、政治、历史中选两科的选法有CC＝9种；物理、政治、历史三科都选的选法有1种。所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1＝19种。故选D。

解析：从六科中选考三科的选法有C种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C－1＝19种，故选D。

(2)分类完成，含有一张黑桃的不同取法有CC＝108(种)，不含黑桃时，有C－3C＝81(种)不同的取法。故共有108＋81＝189种不同的取法。

答案　(1)D　(2)189

考点三  排列与组合的综合应用微点小专题

方向1：排列与组合应用题

【例3】　(1)将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为(　　)

A．15  B．20  C．30  D．42

(2)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)

A．24  B．18  C．12  D．6

解析　(1)四个篮球中两个分到一组有C种分法，三个篮球进行全排列有A种分法，标号1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A种分法，所以有CA－A＝36－6＝30种分法。

(2)从0,2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1,3,5中选两个数字排在个位与百位，共有A＝6种；从0,2中选一个数字2，则2排在十位(或百位)，从1,3,5中选两个数字排在百位(或十位)、个位，共有A·A＝12种，故共有A＋AA＝18种。故选B。

答案　(1)C　(2)B

解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)。对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列。

方向2：定序问题

【例4】　某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种。

解析　添入三个节目后共十个节目，故该题可转化为安排十个节目，其中七个节目顺序固定。这七个节目的不同安排方法共有A种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有A种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有＝720(种)。

解析：将10个节目看作10个元素排列位置。在10个位置中选7个按一定顺序排列，有C种排法，其余3个位置进行全排列，有A种排法，所以共有CA＝720(种)。

答案　720

定序问题可用直接法，也可用间接法。

方向3：分组分配问题

【例5】　数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有(　　)

A.A种   B．CCC34种

C.43种   D．CCC43种

解析　首先将12名同学平均分成四组，有种分法，然后将这四组同学分配到四个不同的课题组，有A种分法，并在各组中选出1名组长，有34种选法，根据分步乘法计数原理，满足条件的不同分配方案有·A·34＝CCC34(种)。故选B。

解析：根据题意可知，第一组分3名同学有C种分法，第二组分3名同学有C种分法，第三组分3名同学有C种分法，第四组分3名同学有C种分法。第一组选1名组长有3种选法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种选法，第四组选1名组长有3种选法。根据分步乘法计数原理可知，满足条件的不同分配方案有CCCC34种。故选B。

答案　B

1．平均分配给不同小组的分法种数等于平均分堆的分法种数乘堆数的全排列。

2．对于分堆与分配问题应注意三点：(1)处理分配问题要注意先分堆再分配；(2)被分配的元素是不同的；(3)分堆时要注意是否均匀。

【题点对应练】　

1．(方向1)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人。其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为(　　)

A．8  B．7  C．6  D．5

解析　根据题意，分2种情况讨论：①乙和甲一起去A社区，此时将丙丁二人安排到B、C社区即可，有A＝2种情况，②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙丁都去B社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4种情况，则不同的安排方法种数有2＋1＋4＝7种。故选B。

答案　B

2．(方向2)我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，规定乙机不能最先着舰，且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻)，那么不同的着舰方法种数为(　　)

A．24   B．36

C．48   D．96

解析　根据题意，分2种情况讨论：①丙机最先着舰，此时只需将剩下的4架飞机全排列，有A＝24种情况，即此时有24种不同的着舰方法：②丙机不最先着舰，此时需要在除甲、乙、丙之外的2架飞机中任选1架，作为最先着舰的飞机，将剩下的4架飞机全排列，丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，则此时有×CA＝24种情况，即此时有24种不同的着舰方法。则一共有24＋24＝48种不同的着舰方法。故选C。

答案　C

3．(方向3)6位机关干部被选调到4个贫困自然村进行精准扶贫，要求每位机关干部只能参加一个自然村的扶贫工作，且每个自然村至少有1位机关干部扶贫，则不同的分配方案有________种。

解析　先将6位机关干部分成四组，有(1,1,1,3)和(1,1,2,2)两种情况，所以不同的分配方案共有·A＝65×24＝1 560(种)。

答案　1 560

分组分配问题中的易错点

分组问题是同学们学习中的难点问题，在考试中不容易得分，在解题过程中容易掉入陷阱，本文结合一些典型问题谈谈如何避免掉进分组问题中的陷阱。

解决这类问题的一个基本指导思想是先分组后分配。关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，应注意的是只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象。

一、整体均分问题

【典例1】　国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有________种不同的分配方法。

【解析】　先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有A＝90种分配方法。

【答案】　90

【易错提醒】　对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数。

二、部分均分问题

【典例2】　将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为________。

【解析】　先将5人分成三组(1,1,3或2,2,1两种形式)，再将这三组人安排到3个房间，然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可，故安排方式共有

·A·C＝900种。

【答案】　900

【易错提醒】　本题属于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数。

三、不等分组问题

【典例3】　将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法。

【解析】　先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生。先选1本，有C种选法；再从余下的5本中选2本，有C种选法；最后余下3本全选，有C种选法。故共有C·C·C＝60种选法。由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有60A＝360种分配方法。

【答案】　360

【易错提醒】　对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时，任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数。

总之，在解答分组问题时，一定要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重复计数。对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏，抓住了以上关键点，就能避免掉进陷阱。

【变式训练】　某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派1名教师，则有________种不同的分配方法。

解析　有两类情况：①其中一所学校3名教师，另两所学校各1名教师的分法有CA＝60种；②其中一所学校1名教师，另两所学校各2名教师的分法有·A＝90种。所以共有150种分配方法。

答案　150