2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第十章第三节　二项式定理 学案

第三节　二项式定理

2019考纲考题考情

1．二项式定理

(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)。

2．二项展开式的通项

第k＋1项为：Tk＋1＝Can－kbk。

3．二项式系数

二项展开式中各项的二项式系数为C(k＝0,1,2，…，n)。

4．二项式系数的性质

5.二项式系数和的性质

(1)(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n。

(2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1。

1．二项式定理中，通项Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项。

2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk＋1＝Can－kbk中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关。

(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关。当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值。

一、走进教材

1．(选修2－3P37A组T5(2)改编)8的展开式中常数项为(　　)

A.   B.

C.   D．105

解析　二项展开式的通项为Tk＋1＝C()8－kk＝kCx4－k，令4－k＝0，解得k＝4，所以T5＝4C＝。故选B。

答案　B

2．(选修2－3P35练习T1(2)改编)化简：C＋C＋…＋C＝________。

解析　因为C＋C＋C＋…＋C＝22n，所以C＋C＋…＋C＝(C＋C＋…＋C)＝22n－1。

答案　22n－1

二、走近高考

3．(2018·全国卷Ⅲ)5的展开式中x4的系数为(　　)

A．10   B．20

C．40   D．80

解析　由题可得Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C·2r·x10－3r。令10－3r＝4，则r＝2，所以C·2r＝C×22＝40。故选C。

答案　C

4．(2018·浙江高考)二项式8的展开式的常数项是________。

解析　该二项展开式的通项为Tr＋1＝Cxr＝

Crx。令＝0，解得r＝2，所以所求常数项为C×2＝7。

答案　7

三、走出误区

微提醒：①混淆“二项式系数”与“系数”致误；②配凑不当致误。

5．在二项式n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________。

解析　由题意得2n＝32，所以n＝5。令x＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1。

答案　－1

6．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝________。

解析　因为(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，所以其展开式的通项为Tr＋1＝(－1)r210－r·C(1－x)r，令r＝8，得a8＝4C＝180。

答案　180

7．(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________。

解析　(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5，展开式中含有x2的项为－20x2＋5x2＝－15x2，故x2的系数为－15。

答案　－15

考点一  　求二项展开式的特定项或系数　　　  　　　　　  　　　　

【例1】　(1)(2018·天津高考)在5的展开式中，x2的系数为________。

(2)在二项式5的展开式中，若常数项为－10，则a＝________。

解析　(1)5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－rr＝rCx，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C2＝。

(2)5的展开式的通项Tr＋1＝C(ax2)5－r×r＝

Ca5－rx，令10－＝0，得r＝4，所以Ca5－4＝－10，解得a＝－2。

答案　(1)　(2)－2

求二项展开式中的特定项的系数问题的步骤

1．利用通项将Tk＋1项写出并化简。

2．令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k。

3．代回通项得所求。

【变式训练】　(1)6的展开式中，常数项是(　　)

A．－   B.

C．－   D.

(2)10的展开式中所有的有理项为________。

解析　(1)Tr＋1＝C(x2)6－rr＝rCx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，所以常数项为4C＝。

(2)二项展开式的通项为Tk＋1＝Ckx，由题意∈Z，且0≤k≤10，k∈N。令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r，因为k∈N，所以r应为偶数。所以r可取2,0，－2，即k可取2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，－，x－2。

答案　(1)D　(2)x2，－，x－2

考点二  二项式系数与各项系数和问题

【例2】　(1)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则x3的系数为(　　)

A．15  B．45  C．135  D．405

(2)若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝(　　)

A．1  B．513  C．512  D．511

解析　(1)由题意知＝64，得n＝6，展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－rr＝3rCx，令6－＝3，得r＝2，则x3的系数为32C＝135。故选C。

(2)令x＝0，得a0＝1，令x＝－1，得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511。

答案　(1)C　(2)D

“赋值法”普遍应用于恒等式，是一种处理与二项式相关问题的比较常用的方法。对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可。

【变式训练】　(1)n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是(　　)

A．6   B.

C．4x   D.或4x

(2)(2018·湖南湘潭三模)若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为(　　)

A．29  B．29－1  C．39  D．39－1

解析　(1)令x＝1，可得n的展开式中各项系数之和为2n，即8<2n<32，解得n＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C()22＝6。

(2)(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，令x＝0，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39，所以a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39－1。故选D。

答案　(1)A　(2)D

考点三  多项式的展开式问题微点小专题

方向1：几个多项式的和的展开式问题

【例3】　在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)11的展开式中，x2项的系数是(　　)

A．55  B．66  C．165  D．220

解析　展开式中x2项的系数是C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C，所以x2项的系数是C＝220。故选D。

答案　D

几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并。通常要用到方程或不等式的知识求解。

方向2：几个多项式的积的展开式问题

【例4】　(2019·海口调研)若(x2－a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)

A.  B.  C．1  D．2

解析　由题意得10的展开式的通项是Tk＋1＝C·x10－k·k＝Cx10－2k，10的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2。故选D。

答案　D

求解形如(a＋b)m(c＋d)n的展开式问题的思路

1．若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解。

2．观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2。

3．分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项，综合考虑。

方向3：三项展开式的特定项问题

【例5】　4的展开式中常数项是________。

解析　原式可化为4＝4＋3C3＋9C2＋27C＋81，由于二项式n的展开式的通项为Tr＋1＝Cx2n－2rr＝(－1)rCx2n－3r，令2n＝3r，得当n＝3时，r＝2，此时对应的项是(－1)2C＝3，所以常数项的系数为3×3×4＋81＝117。

答案　117

三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法

1．通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解。

2．将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形。

【题点对应练】　

1．(方向1)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a0＋a1＋…＋an＝62，则logn25等于________。

解析　令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2＝62，解得n＝5，所以logn25＝2。

答案　2

2．(方向2)在(2x－1)6的展开式中，x3的系数是________。(用数字作答)

解析　由题意得，(2x－1)6的展开式中含x3的项为xC(2x)2(－1)4＋C(2x)4(－1)2＝－180x3，所以展开式中x3的系数为－180。

答案　－180

3．(方向3)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)

A．10   B．20

C．30   D．60

解析　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2，其中(x2＋x)3中含x5的项为C·x4·x＝Cx5，所以x5y2的系数为CC＝30。故选C。

答案　C

4．(方向3)(x2－x－2)3的展开式中含x项的系数为________。

解析　(x2－x－2)3＝(x－2)3(x＋1)3，所以展开式中含x项的系数为C(－2)3C＋C(－2)2C＝－24＋12＝－12。

答案　－12

1．(配合例1使用)若a＝sinxdx，则二项式6的展开式中的常数项为(　　)

A．－15   B．15

C．－240   D．240

解析　a＝sinxdx＝(－cosx) |＝(－cosπ)－(－cos0)＝1

－(－1)＝2，则6的展开式中的常数项为C(2)4·2＝C·24＝240。故选D。

答案　D

2．(配合例2使用)设x(1－x)7＝a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7＋a8x8，则a1＋3a2＋7a3＋15a4＋31a5＋63a6＋127a7＋255a8＝________。

解析　令x＝1，得a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝0　①；令x＝2，得－2＝2a1＋4a2＋8a3＋16a4＋32a5＋64a6＋128a7＋256a8　②。②－①得a1＋3a2＋7a3＋15a4＋31a5＋63a6＋127a7＋255a8＝－2。

答案　－2

3．(配合例4使用)已知x5的展开式中常数项为20，其中a>0，则a＝________。

解析　展开式的通项为Tr＋1＝Cx·x5－r·r＝arCx，由得因为a>0，所以a＝。

答案　

4．(配合例5使用)5的展开式中常数项是________(用数字作答)。

解析　5＝5＝5的展开式的通项为Tr＋1＝C(－1)5－rr，其中r的通项公式：Tk＋1＝C(2x)r－kk＝2r－kCxr－2k，令r－2k＝0，则k＝0，r＝0；k＝1，r＝2；k＝2，r＝4。因此常数项为C(－1)5＋C×(－1)3×2×C＋C×(－1)×22C＝－161。

答案　－161