2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第十章第四节　随机事件的概率 学案

第四节　随机事件的概率

2019考纲考题考情

1．事件

(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件。

(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件。

(3)在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件。

2．概率和频率

(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否发生，称n次试验中事件A发生的次数nA为事件A发生的频数，称事件A发生的比例fn(A)＝为事件A发生的频率。

(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)。

3．事件的关系与运算

续表

　　4.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P≤1。

(2)必然事件的概率P(E)＝1。

(3)不可能事件的概率P(F)＝0。

(4)概率的加法公式：

如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。

(5)对立事件的概率：

若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)。

1．频率与概率

频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频率的稳定值，反映了随机事件发生的可能性的大小。

2．互斥与对立

对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立。

3．概率加法公式的注意点

(1)要确定A，B互斥方可运用公式。

(2)A，B为对立事件时并不一定A与B发生的可能性相同，即P(A)＝P(B)可能不成立。

一、走进教材

1．(必修3P121练习T4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)

A．至多有一次中靶   B．两次都中靶

C．只有一次中靶   D．两次都不中靶

解析　射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少有一次中靶的互斥事件是两次都不中靶。故选D。

答案　D

2．(必修3P123A组T3改编)李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：

经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：

(1)90分以上的概率：________。

(2)不及格(60分及以上为及格)的概率：________。

解析　(1)＝0.07。(2)＝0.1。

答案　(1)0.07　(2)0.1

二、走近高考

3．(2018·江苏高考)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________。

解析　记2名男生分别为A，B,3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共3种情况，故所求概率为。

答案　

4．(2016·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________。

解析　本题为古典概型，基本事件共有36个，点数之和大于等于10的有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,6)，(6,5)，(6,4)，共计6个基本事件，故点数之和小于10的有30个基本事件，所求概率为。

答案　

三、走出误区

微提醒：①求基本事件时出错；②确定对立事件时出错；③互斥事件判定出错。

5．甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏，则平局的概率为________；甲赢的概率为________。

解析　设平局(用△表示)为事件A，甲赢(用⊙表示)为事件B，乙赢(用※表示)为事件C。容易得到如图。

平局含3个基本事件(图中的△)，P(A)＝＝。甲赢含3个基本事件(图中的⊙)，P(B)＝＝。

答案　　

6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________。

解析　因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等品”，且P(A)＝0.65，所以“抽到的不是一等品”的概率为1－0.65＝0.35。

答案　0.35

7．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8。现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率。先由计算器算出0～9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，因为射击4次，所以以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果。经随机模拟产生了20组随机数：

5727　0293　7140　9857　0347

4373　8636　9647　1417　4698

0371　6233　2616　8045　6011

3661　9597　7424　6710　4281

据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为________。

解析　该射击运动员射击4次至少击中3次，考虑该事件的对立事件，故看这20组数据中每组数据含有0和1的个数多少，含有2个或2个以上的有5组数据，故所求概率为＝0.75。

答案　0.75

考点一  　随机事件关系的判断  　　　　　  　　　　　  　　　　

【例1】　(1)把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是(　　)

A．A与B是不可能事件

B．A＋B＋C是必然事件

C．A与B不是互斥事件

D．B与C既是互斥事件也是对立事件

(2)一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为，则概率是的事件是(　　)

A．恰有一个红球   B．两个小球都是白球

C．至多有一个红球   D．至少有一个红球

解析　(1)“A，B，C”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A、B两项错误；“A，B”可能同时发生，故“A”与“B”不互斥，C项正确；“B”与“C”既不互斥，也不对立，D项错误。故选C。

(2)因为＝1－，所以概率是的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”。

答案　(1)C　(2)C

互斥、对立事件的判别方法

1．在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件。

2．两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件。

提醒：对立事件一定是互斥事件。

【变式训练】　从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中，是对立事件的是(　　)

A．①   B．②④

C．③   D．①③

解析　从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数。其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件。又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件。

答案　C

考点二  随机事件的频率与概率

【例2】　电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值。

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；

(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化。假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)

解　(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，

第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50。

故所求概率为＝0.025。

(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是

140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372。

故所求概率估计为1－＝0.814。

(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率。

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值。

【变式训练】　(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关。如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率。

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)。当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率。

解　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6。

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温不低于25，

则Y＝6×450－4×450＝900；

若最高气温位于区间[20,25)，

则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；

若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100。

所以，Y的所有可能值为900,300，－100。

Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8。

考点三  互斥事件与对立事件

【例3】　某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示。

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%。

(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率。(将频率视为概率)

解　(1)由已知得x＋30＝45,25＋y＋10＝55，所以x＝15，y＝20。该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为

＝1.9(分)。

(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得

P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，

P(A3)＝＝。

因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，

所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)

＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)

＝＋＋＝。

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为。

解：记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，则A的对立事件为“一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟”，由题表，知P()＝＝。

所以P(A)＝1－P()＝1－＝。

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为。

1．求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来。

2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解。当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法。

【变式训练】　 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是3.141 592 6<π<3.141 592 7。为纪念祖冲之在圆周率上的成就，把3.141 592 6称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就。某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6中随机选取2位数字，整数部分3不变，那么得到的数大于3.14的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

解析　选择数字的总的方法有5×6＋1＝31(种)，其中得到的数不大于3.14的数为3.11,3.12,3.14，所以得到的数大于3.14的概率为P＝1－＝。故选A。

答案　A