2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第十章第五节　古典概型与几何概型 学案

第五节　古典概型与几何概型

2019考纲考题考情

1．古典概型

(1)基本事件的特点

①任何两个基本事件是互斥的。

②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。

(2)古典概型的定义

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。

(3)古典概型的概率公式

P(A)＝。

2．几何概型

(1)几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

(2)几何概型的两个基本特点

(3)几何概型的概率公式

P(A)＝。

1．古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法。

2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0。

3．几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的，前者概率的计算与基本事件的区域长度(面积或体积)的大小有关，而与形状和位置无关。

4．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果。

一、走进教材

1．(必修3P127例3改编)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于(　　)

A.  B.  C.  D.

解析　所有基本事件的个数为6×6＝36，点数之和为5的基本事件有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)共4个。故所求概率为P＝＝。故选B。

答案　B

2．(必修3P140练习T1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)

解析　如题干选项中各图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝。故选A。

答案　A

二、走近高考

3．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23。在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

解析　不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，从中随机选取两个不同的数，共有C＝45(种)取法，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种取法，故概率为＝。故选C。

答案　C

4．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图。正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

解析　设正方形的边长为2，则圆的半径为1，正方形的面积为4，圆的面积为π，根据对称性关系，黑色部分面积是圆的面积的一半，所以黑色部分的面积为。根据几何概型的概率公式，得此点取自黑色部分的概

率为P＝＝，故选B。

答案　B

三、走出误区

微提醒：①几何概型中长度型与角度型区分不清；②古典概型中分类不清。

5．如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长的概率为________。

解析　当AA′的长度等于半径的长度时，∠AOA′＝，由圆的对称性及几何概型得所求概率P＝＝。

答案　

6．已知函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，则该函数有两个零点的概率为________。

解析　要使函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2有两个零点，即方程x2－2ax＋b2＝0有两个实根，则Δ＝4a2－4b2>0，又a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，即a>b，而a，b的取法共有3×3＝9(种)，其中满足a>b的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为＝。

答案　

考点一  简单的古典概型问题　　  　　　　　  　　　　　  　　　　

【例1】　(1)(2018·福建漳州二模)甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次。甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”。从上述回答分析，丙是第一名的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)(2019·广东深圳一模)两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

解析　(1)因为甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是。故选B。

(2)两个分3本书共有2CC＋2＝8种分法，其中一人没有分到书，另一人分得3本有2种情况。所以P＝＝。故选B。

答案　(1)B　(2)B

求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择。

【变式训练】　(1)(2019·益阳、湘潭调研)已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为________。

解析　(1)函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，则a2－2<0，所以－<a<，又a∈{－2，0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1满足题意，又b∈{3,5}，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是＝。故选C。

(2)基本事件共有C＝6(种)，设取出两个球颜色不同为事件A。A包含的基本事件有CC＋CC＝5(种)。故P(A)＝。

答案　(1)C　(2)

考点二  几何概型微点小专题

方向1：长度型与角度型几何概型

【例2】　(1)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________。

(2)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与AB交于点M，则AM<AC的概率为________。

解析　(1)由直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交，得<3，即16k2<9，解得－<k<。由几何概型的概率计算公式可知P＝＝。

(2)过点C作CN交AB于点N，使AN＝AC，如图所示。显然当射线CM处在∠ACN内时，AM<AC。又∠A＝45°，所以∠ACN＝67.5°，故所求概率为P＝＝。

答案　(1)　(2)

与时间、不等式有关的概率问题

与时间、不等式有关的概率问题可依据转化与化归思想将其转化为有关长度的几何概型，利用几何概型概率公式进行求解。

提醒：当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段。

方向2：面积型几何概型

【例3】　(2018·全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC。△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则(　　)

A．p1＝p2   B．p1＝p3

C．p2＝p3   D．p1＝p2＋p3

解析　设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2，则区域Ⅰ的面积为S1＝bc，区域Ⅱ的面积S2＝π×2＋π×2－＝π(c2＋b2－a2)＋bc＝bc，所以S1＝S2，由几何概型的知识知p1＝p2。故选A。

解析：不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝2，所以区域Ⅰ的面积为S1＝×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S2＝π×12－＝2，区域Ⅲ的面积S3＝－2＝π－2。根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝，p3＝，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3。故选A。

答案　A

利用平面几何相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率。

方向3：体积型几何概型

【例4】　有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________。

解析　由题意得该圆柱的体积V＝π×12×2＝2π。圆柱内满足点P到点O的距离小于等于1的几何体为以圆柱底面圆心为球心的半球，且此半球的体积V1＝×π×13＝π，所以所求概率P＝＝。

答案　

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算总体积(总空间)以及事件的体积(空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求解。

【题点对应练】　

1．(方向1)某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

解析　如图所示，画出时间轴。

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率P＝＝。故选B。

答案　B

2．(方向2)我国数学家邹元治利用如图证明了勾股定理，该图中用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边，用弦(c)来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析　a＝3，b＝4，由题意得c＝5，因为大正方形的边长为a＋b＝3＋4＝7，小正方形的边长为c＝5，则大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，所以满足题意的概率值为1－＝。故选B。

答案　B

3．(方向2)老师计划在晚自习19：00～20：00解答同学甲、乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要20分钟。若甲、乙两人在晚自习的任意时刻去问问题是互不影响的，则两人独自去时不需要等待的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析　设甲、乙两人分别在晚上19：00过x，y分钟后去问问题，则依题意知，x，y应满足作出该不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则所求概率P＝＝。故选B。

答案　B

4．(方向3)已知某几何体的三视图都是半径为a的圆(其中a很大很大)。该几何体内有一个内接圆锥，其中圆锥的底面半径为a，高为a，该几何体内有一只蝴蝶自由飞翔，则蝴蝶飞到圆锥内的概率为________。

解析　显然该几何体是半径为a的球，因为a很大很大，所以可以把蝴蝶看作一个质点。于是问题可以转化为几何概型来求解，所求概率为＝。

答案　

1．(配合例1使用)执行如图所示的程序框图，设输出的数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素a，则函数y＝xa，x∈[0，＋∞)是增函数的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

解析　执行程序框图，x＝－3，y＝3；x＝－2，y＝0；x＝－1，y＝－1；x＝0，y＝0；x＝1，y＝3；x＝2，y＝8；x＝3，y＝15；x＝4，退出循环。则集合A中的元素有－1,0,3,8,15，共5个，若函数y＝xa，x∈[0，＋∞)为增函数，则a>0，所以所求的概率为。故选C。

答案　C

2．(配合例2使用)在半径为2的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于该直径的弦，则弦长超过圆内接正三角形边长的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

解析　如图所示，设△CEF是圆O的内接正三角形，CD是直径，B是EF的中点，则易求得圆O的内接正三角形的边长是2，从而可求得BD＝4—2×＝1，因此所求概率为＝。故选C。

答案　C

3．(配合例3使用)设a∈[1,4]，b∈[1,4]，则随机地抽出一对有序实数对(a，b)，使得函数f(x)＝4x2＋a2与函数g(x)＝－4x的图象有交点的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

解析　因为a∈[1,4]，b∈[1,4]，所以(a，b)所在区域的面积为9。f(x)＝4x2＋a2与g(x)＝－4x的图象有交点等价于4x2＋4x＋a2＝0有解，即Δ＝16b－16a2≥0，得b≥a2，此时(a，b)所在区域如图中阴影部分所示，其面积为3－(a2－1)da＝3－|＝。由几何概型的概率公式得函数f(x)＝4x2＋a2与函数g(x)＝－4x的图象有交点的概率为＝。故选A。

答案　A