2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第十章第六节　离散型随机变量及其分布 学案

第六节　离散型随机变量及其分布,2019考纲考题考情

1.随机变量的有关概念,如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；若变量的所有值可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

2.离散型随机变量的分布列,(1)概念,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2,3，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表,

为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列。

(2)性质,①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；

②i＝1。,3.常见离散型随机变量的分布列,(1)两点分布,

若随机变量X的分布列具有上表的形式，就称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率。

(2)超几何分布,在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*。,

如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布。

1.随机变量的线性关系,若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量。

2.分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值。

(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率。

一、走进教材,  　　　　　  　　　　　  　　　　

1.(选修2－3P49A组T4改编)设随机变量X的分布列如下：,

则p为(　　)

A.  B.  C.  D.

解析　由分布列的性质，＋＋＋＋p＝1，所以p＝1－

＝。故选C。

答案　C

2.(选修2－3P47例2改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，则取到次品数X的分布列为________。

解析　由题意，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，所以分布列为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3。即

答案　

二、走出误区

微提醒：①随机变量的概念不清；②超几何分布类型掌握不准；③分布列的性质不清致误。

3.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　)

A.至少取到1个白球   B．至多取到1个白球

C.取到白球的个数   D．取到的球的个数

解析　A，B两项表述的都是随机事件，D项是确定的值2，并不随机；C项是随机变量，可能取值为0,1,2。故选C。

答案　C

4.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

解析　{X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P(X＝4)＝＝。故选C。

答案　C

5.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________。

解析　由已知得X的所有可能取值为0,1，且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝。

答案　

考点一   离散型随机变量分布列的性质

【例1】　(1)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)设离散型随机变量X的分布列为

求2X＋1的分布列。

(1)解析　因为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，所以＋＋＋＝1，所以a＝，所以P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝。故选D。

答案　D

(2)解　由分布列的性质知，

0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3。

列表为

从而2X＋1的分布列为

1．利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数。

2．求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式。

【变式训练】　(1)若题(2)中条件不变，求随机变量η＝|X－1|的分布列；

(2)若题(2)中条件不变，求随机变量η＝X2的分布列。

解　(1)由题(2)知m＝0.3，列表为

所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3。

故η＝|X－1|的分布列为

(2)依题意知η的值为0,1,4,9,16。

列表为

从而η＝X2的分布列为

考点二  离散型随机变量分布列的求法

【例2】　(2019·河南安阳一模)某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50,100)内，且销售量x的分布频率

f(x)＝

(1)求a的值并估计销售量的平均数；

(2)若销售量大于或等于70，则称该日畅销，其余为滞销。在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，求随机变量X的分布列及数学期望(将频率视为概率)。

解　(1)由题意知

解得5≤n≤9，n可取5,6,7,8,9，

结合f(x)＝

得＋＋＋＋＝1，则a＝0.15。

可知销售量分别在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)内的频率分别是0.1,0.1,0.2,0.3,0.3，

所以销售量的平均数为55×0.1＋65×0.1＋75×0.2＋85×0.3＋95×0.3＝81。

(2)销售量分布在[70,80)，[80,90)，[90,100)内的频率之比为2∶3∶3，所以在各组抽取的天数分别为2,3,3。

X的所有可能取值为1,2,3，

P(X＝1)＝＝＝，

P(X＝3)＝＝＝，

P(X＝2)＝1－－＝。

X的分布列为

数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝。

求离散型随机变量X的分布列的步骤

1．理解X的意义，写出X可能取的全部值；

2．求X取每个值的概率；

3．写出X的分布列。

求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识。

【变式训练】　(2019·郑州预测)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行。市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示：

(1)若甲单位数据的平均数是122，求x；

(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列。

解　(1)由题意知

＝122，解得x＝8。

(2)由题得ξ1的所有可能取值为0,1,2，ξ2的所有可能取值为0,1,2，因为η＝ξ1＋ξ2，所以随机变量η的所有可能取值为0,1,2,3,4。

因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4，所以

P(η＝0)＝＝；

P(η＝1)＝＝；

P(η＝2)＝＝；

P(η＝3)＝＝；

P(η＝4)＝＝。

所以η的分布列为

考点三  超几何分布

【例3】　(2018·天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16。现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查。

(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查。

①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率。

解　(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人。

(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3。

P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)。

所以随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝。

②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥。由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝。所以，事件A发生的概率为。

1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数。

2．超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布。

3．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型。

【变式训练】　(2018·河南豫南九校二模)为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示。

(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；

(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列及数学期望。

解　(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，

送考2次的有100人，送考3次的有80人，

所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为＝2.3。

(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，

“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，

由题意知X的所有可能取值为0,1,2，

P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，

P(X＝2)＝P(C)＝＝，

P(X＝0)＝P(D)＝＝，

所以X的分布列为

E(X)＝0×＋1×＋2×＝。

1．(配合例2使用)某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：

现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站。甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为，。

(1)求甲、乙两人付费相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望。

解　(1)由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为1－－＝，

乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1－－＝，

设“甲、乙两人付费相同”为事件A，

则P(A)＝×＋×＋×＝，

所以甲、乙两人付费相同的概率是。

(2)由题意可知X的所有可能取值为6,9,12,15,18。

P(X＝6)＝×＝，

P(X＝9)＝×＋×＝，

P(X＝12)＝×＋×＋×＝，

P(X＝15)＝×＋×＝，

P(X＝18)＝×＝。

因此X的分布列如下：

所以X的数学期望E(X)＝6×＋9×＋12×＋15×＋18×＝。

2．(配合例3使用)为了调查高中生恋家(在家里感到最幸福)是否与国别有关，设计了“在家、朋友聚集的地方、个人空间三个场所中，感到最幸福的场所是哪里？”这个问题，并从中国某城市的高中生中随机选取了55人，从美国某城市的高中生中随机选取了45人进行答题。中国高中生的答题情况是：选择家的人数占，选择朋友聚集的地方的人数占，选择个人空间的人数占。美国高中生的答题情况是：选择家的人数占，选择朋友聚集的地方的人数占，选择个人空间的人数占。根据调查结果制作了如下的2×2列联表。

(1)请将2×2列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为恋家与国别有关；

(2)从55名中国高中生中以是否恋家为标准采用分层抽样的方法随机选取了5人，再从这5人中随机选取2人。若所选的2人中恋家的人数为X，求随机变量X的分布列及期望。

附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d。

解　(1)补充2×2列联表如下：

所以K2＝＝

≈4.628>3.841，

所以有95%的把握认为恋家与国别有关。

(2)依题意得，选取的5个人中有2人认为在家里感到最幸福，3人认为在其他场所感到最幸福，则X的可能取值为0,1,2，

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

所以X的分布列为

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝。