第四节　数系的扩充与复数的引入

2019考纲考题考情

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部。若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数。

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)。

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)。

(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。

(5)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝。

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi　复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)。

(2)复数z＝a＋bi　平面向量(a，b∈R)。

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)则：

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i。

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i。

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i。

④除法：＝＝(c＋di≠0)。

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)。

1．复数a＋bi(a，b∈R)数系表

复数

2．i的乘方具有周期性

in＝(k∈Z)。

3．复数的模与共轭复数的关系：

z·＝|z|2＝||2。

一、走进教材

1．(选修1－2P55A组T2改编)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　)

A．1   B．2

C．1或2   D．－1

解析　依题意，有解得a＝2。故选B。

答案　B

2．(选修1－2P63A组T1(2)改编)复数2的共轭复数是(　　)

A．2－i   B．2＋i

C．3－4i   D．3＋4i

解析　2＝2＝(2＋i)2＝3＋4i，所以其共轭复数是3－4i。故选C。

答案　C

二、走近高考

3．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝(　　)

A．3－2i   B．3＋2i

C．－3－2i   D．－3＋2i

解析　i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i。故选D。

答案　D

4．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝(　　)

A．－3－i   B．－3＋i

C．3－i   D．3＋i

解析　(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i。

答案　D

三、走出误区

微提醒：①复数的几何意义不清致误；②复数的运算方法不当致使出错；③z与的不清致误。

5．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B。若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)

A．4＋8i   B．8＋2i

C．2＋4i   D．4＋i

解析　因为A(6,5)，B(－2,3)，所以线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i。故选C。

答案　C

6．若a为实数，且＝3＋i，则a＝(　　)

A．－4   B．－3

C．3   D．4

解析　由＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因为a为实数，所以a＝4。故选D。

答案　D

7．已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________。

解析　因为＝＝＝＝2－i，所以z＝2＋i。

答案　2＋i

考点一  复数的有关概念

【例1】　(1)(2019·河北衡水中学模拟)已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z＋3i＝a＋ai，若复数z是纯虚数，则(　　)

A．a＝3   B．a＝0

C．a≠0   D．a<0

(2)设复数z＝(其中i为虚数单位)，则复数z的实部为________，虚部为________。

解析　(1)由z＋3i＝a＋ai，得z＝a＋(a－3)i，又因为复数z是纯虚数，所以解得a＝0。故选B。

(2)z＝＝＝2＋i，所以复数z的实部为2，虚部为1。

答案　(1)B　(2)2　1

复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解。

【变式训练】　(1)已知复数z＝1＋i，则下列说法中正确说法的个数为(　　)

①|z|＝；②＝1－i；③z的虚部为i；④z在复平面上对应的点在第一象限。

A．1　　　　 B．2 

C．3　　　　 D．4

(2)复数z＝的共轭复数是(　　)

A．－1＋4i   B．－1－4i

C．1＋4i   D．1－4i

(3)若复数(1＋ai)2－2i(i为虚数单位)是纯虚数，则实数a＝(　　)

A．0　　　 B．±1 

C．1　　　 D．－1

解析　(1)因为复数z＝1＋i，所以|z|＝，＝1－i，z的虚部为1，z在复平面上对应的点(1,1)在第一象限，即①②④中的说法正确，③中的说法错误。故选C。

(2)z＝＝＝－1－4i，所以复数z＝的共轭复数是－1＋4i。故选A。

(3)(1＋ai)2－2i＝1－a2＋(2a－2)i，因为(1＋ai)2－2i是纯虚数，所以即a＝－1。故选D。

答案　(1)C　(2)A　(3)D

考点二  复数的几何意义

【例2】　(1)复数z＝(i为虚数单位)，z在复平面内所对应的点在(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

(2)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　　)

A．＋   B．＋

C．－   D．－

解析　(1)因为z＝＝＝＝＝＋i，所以z在复平面内所对应的点在第一象限。故选A。

(2)由|z|≤1知复数z在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，如图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y≥x的区域，该区域的面积为π－×1×1＝π－，故满足y≥x的概率为＝－。故选D。

答案　(1)A　(2)D

1．复数z、复平面上的点Z及向量一一对应，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔。

2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观。

【变式训练】　(1)如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为(　　)

A．1＋3i   B．－3－i

C．3－i   D．3＋i

(2)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R，x≠0)且|z－2|＝，则的取值范围是________。

解析　(1)由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i。故选D。

(2)因为|z－2|＝|x－2＋yi|，|z－2|＝，所以(x－2)2＋y2＝3。设＝k，则y＝kx。联立化简为(1＋k2)x2－4x＋1＝0。因为直线y＝kx与圆有公共点，所以Δ＝16－4(1＋k2)≥0，解得－≤k≤，所以的取值范围为[－，]。

答案　(1)D　(2)[－，]

考点三  复数的运算

【例3】　(1)(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)

A．0　　　B．     C．1　　　D．

(2)(2018·天津高考)i是虚数单位，复数＝______。

(3)(2018·江苏高考)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________。

解析　(1)因为z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝＝1。故选C。

解析：因为z＝＋2i＝＝，所以|z|＝||＝＝＝1，故选C。

(2)＝＝＝4－i。

(3)复数z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i的实部是2。

答案　(1)C　(2)4－i　(3)2,

1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算。

2.复数除法运算的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式。

【变式训练】　(1)若复数z满足(2－i)z＝|1＋2i|，则z的虚部为(　　)

A．　　　B．i  C．1　　　D．i

(2)(2019·昆明质检)设复数z满足＝1－i，则z＝(　　)

A．1＋i  B．1－i,C．－1＋i  D．－1－i

(3)已知复数z＝，则复数z在复平面内对应点的坐标为________。

解析　(1)由题意可知z＝＝＝＝＋i，故其虚部为。故选A。

(2)由题意得z＝＝＝＝－1＋i。

(3)因为i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2018＝4×504＋2，所以z＝＝＝＝＝＝i，对应的点为(0,1)。

答案　(1)A　(2)C　(3)(0,1)