2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第九章第一节　算法初步 学案

第九章  算法初步、统计、统计案例

第一节　算 法 初 步

2019考纲考题考情

1．三种基本逻辑结构

2.算法的特征

概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性。

3．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能

4.条件语句

(1)算法中的条件结构与条件语句相对应。

(2)条件语句的格式及框图。

①IF—THEN格式：

②IF—THEN—ELSE格式：

5．循环语句

(1)算法中的循环结构与循环语句相对应。

(2)循环语句的格式及框图。

①UNTIL语句：

②WHILE语句：

1．赋值号左边只能是变量(不能是表达式)，在一个赋值语句中只能给一个变量赋值。

2．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反。

一、走进教材

1．(必修3P25例5改编)如图为计算y＝|x|函数值的程序框图，则此程序框图中的判断框内应填________。

解析　输入x应判断x是否大于等于零，由图知判断框应填x<0？。

答案　x<0?

2．(必修3P30例8改编)执行如图所示的程序框图，则输出S的值为(　　)

A．－   B．

C．－   D．

解析　按照程序框图依次循环运算，当k＝5时，停止循环，当k＝5时，S＝sin＝。

答案　D

二、走近高考

3．(2018·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s的值为(　　)

A．   B．

C．   D．

解析　运行程序框图，k＝1，s＝1；s＝1＋(－1)1×＝，k＝2；s＝＋(－1)2×＝，k＝3；满足条件，跳出循环，输出的s＝。故选B。

答案　B

4．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入(　　)

A．A>1 000和n＝n＋1

B．A>1 000和n＝n＋2

C．A≤1 000和n＝n＋1

D．A≤1 000和n＝n＋2

解析　因为输出的n为偶数，所以中应填n＝n＋2。因为输出的是3n－2n>1 000时n的值，所以中应填A≤1 000。故选D。

答案　D

三、走出误区

微提醒：①注意循环结构中控制循环的条件；②注意区分程序框图是条件结构还是循环结构。

5．若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为________。

解析　由程序框图可以看出，当n＝8>6时，程序结束，故输出S＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝7。

答案　7

6．更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”如图是关于该算法的程序框图，如果输入a＝153，b＝119，那么输出的a的值是________。

解析　第一次循环得，a＝153－119＝34；第二次循环得，b＝119－34＝85；第三次循环得，b＝85－34＝51；第四次循环得，b＝51－34＝17；第五次循环得，a＝34－17＝17，此时a＝b，输出a＝17。

答案　17

考点一  算法的基本结构

【例1】　(1)(2019·沈阳质监)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x的值为(　　)

A．－3   B．－3或9

C．3或－9   D．－3或－9

(2)已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是(　　)

A．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 017项和

B．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 018项和

C．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和

D．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和

解析　(1)当x≤0时，x－8＝0，x＝－3；当x>0时，2－log3x＝0，x＝9。故x＝－3或x＝9。故选B。

(2)由程序框图得，输出的S＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×5－1)＋…＋(2×2 017－1)，可看作数列{2n－1}的前2 017项中所有奇数项的和，即首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项的和。故选C。

答案　(1)B　(2)C

处理循环结构的程序框图问题时，一定要正确确定循环的次数，按照程序框图的规定逐次运算，直到退出循环。

【变式训练】　(1)已知如图所示的程序框图的输入值x∈[－1,4]，则输出y值的取值范围是(　　)

A．[0,2]   B．[－1,2]

C．[－1,15]   D．[2,15]

(2)如图所示的程序框图的运行结果为S＝20，则判断框中可以填入的关于k的条件是(　　)

A．k>9?   B．k≤8?

C．k<8?   D．k>8?

解析　(1)因为－1≤x≤4，所以当－1≤x≤1时，y∈[－1,0]；当1<x≤4时，0<log2x≤2，即y∈(0,2]。综上，y∈[－1,2]。

(2)据程序框图可得，第一次循环后，S＝11，k＝9；第二次循环后，S＝11＋9＝20，k＝8，退出循环。所以判断框内可以填入“k>8？”。

答案　(1)B　(2)D

考点二  算法的交汇性问题微点小专题

方向1：与古代文化的交汇

【例2】　(2019·贵阳监测)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n的值为(　　)

A．20   B．25

C．30   D．35

解析　执行程序框图，n＝20，m＝80，S＝60＋＝86≠100；n＝21，m＝79，S＝63＋＝89≠100；n＝22，m＝78，S＝66＋＝92≠100；n＝23，m＝77，S＝69＋＝94≠100；n＝24，m＝76，S＝72＋＝97≠100；n＝25，m＝75，S＝75＋＝100，退出循环。所以输出的n＝25。

解析：设大和尚有x个，小和尚有y个，则解得根据程序框图可知，n的值即大和尚的人数，所以n＝25。

答案　B

读懂题意，用现代数学的方法解决。

方向2：与函数的交汇

【例3】　某市乘坐出租车的收费办法如下：

(1)不超过3千米的里程收费10元；

(2)超过3千米的里程按每千米2元收费(对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费)，当车程超过3千米时，另收燃油附加费1元。

相应系统收费的程序框图如图所示，其中x(单位：千米)为行驶里程，y(单位：元)为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填(　　)

A．y＝2[x＋0.5]＋4  B．y＝2[x＋0.5]＋5

C．y＝2[x－0.5]＋4  D．y＝2[x－0.5]＋5

解析　由题意结合程序框图可得，①处应填入当x>3时收取的费用，结合收费办法可得y＝10＋[x－3＋0.5]×2＋1＝2[x＋0.5]＋5。故选B。

答案　B

与函数交汇的程序框图问题，常见的有条件结构的应用、分段函数的求值问题，读图时应正确理解题意，根据相应条件选择与之对应的运算法则求值。

方向3：与数列的交汇

【例4】　如图是一个算法的程序框图，如果输入i＝0，S＝0，那么输出的结果为(　　)

A．   B．

C．   D．

解析　模拟程序框图运行过程，如下：

i＝1，S＝，满足循环条件；

i＝2，S＝＋，满足循环条件；

i＝3，S＝＋＋，满足循环条件；

i＝4，S＝＋＋＋，不满足循环条件。

此时S＝＋＋＋＝1－＋－＋－＋－＝1－＝。

答案　C

解决与数列求和交汇的程序框图问题的关键有以下两个方面：一是循环结构的识图、推理，将其输出结果呈现为一个数列求和的形式；二是结合数列求和的知识对结果进行求和运算。常见题型为等差数列、等比数列求和，裂项相消法求和以及周期分组法求和。

【题点对应练】　

1．(方向1)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝(　　)

A．5  B．4

C．3  D．2

解析　n＝1，S＝2；n＝2，S＝2＋＋2＝；n＝3，S＝＋＋4＝；n＝4，S＝＋＋8>10，结束循环。则输出的n为4。故选B。

答案　B

2．(方向2)执行如图所示的程序框图，若输出S的值为4，则判断框中填入的条件可能是(　　)

A．k<18?  B．k<17?

C．k<16?  D．k<15?

解析　由题设中程序框图所提供的算法程序可知：S＝1×log2(2＋1)＝log23，k＝3；S＝log23×log34＝2，k＝4；S＝2×log45＝2log45，k＝5；S＝2×log45·log56＝2log46，k＝6；S＝2×log46·log67＝2log47，k＝7；…；S＝2log416＝4，k＝16，不满足循环条件，输出S＝4。所以判断框内可能为“k<16？”。

答案　C

3．(方向3)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则输入的a为(　　)

A．6　　　　B．5  C．4　　　　D．3

解析　当n＝1时，S＝；当n＝2时，S＝＋＝；…；当n＝4时，S＝＋＋＋＝；当n＝5时，S＝＋＋＋＋＝，此时输出S。故4<a≤5，所以选B。

答案　B

1．(配合例1使用)随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学测量他们的身高，获得身高数据的茎叶图如图①所示，在这20人中，记身高(单位：cm)在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]的人数依次为A1，A2，A3，A4。图②是统计样本中身高在一定范围内的人数的程序框图，若输出的S＝18，则判断框内可以填(　　)

A．i<3?  B．i≤4?

C．i<4?  D．i≤5?

解析　由i的初始值为2，且输出的S＝18，可知程序框图的目的是统计身高大于或等于160 cm的人数(恰为18)，于是要计算A2＋A3＋A4的值，因此判断框内可以填“i≤4？”。

答案　B

2．(配合例2使用)南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法。已知f(x)＝2 018x2 017＋2 017x2 016＋…＋2x＋1，如图所示的程序框图是求f(x0)的值，在“”中应填的语句是(　　)

A．n＝i   B．n＝i＋1

C．n＝2 018－i   D．n＝2 017－i

解析　由秦九韶算法得f(x)＝2 018x2 017＋2 017x2 016＋…＋2x＋1＝(…((2 018x＋2 017)x＋2 016)x＋…＋2)x＋1，所以程序框图的执行框内应填写的语句是n＝2 018－i。故选C。

答案　C

3．(配合例3使用)在如图所示的程序框图中，fi′(x)为fi(x)的导函数，若f0(x)＝sinx，则输出的结果是(　　)

A．－sinx   B．cosx

C．sinx   D．－cosx

解析　依题意可得f1(x)＝f0′(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝sinx，f5(x)＝f4′(x)＝cosx，故易知fk(x)＝fk＋4(x)，k∈N，当i＝2 018时循环结束，故输出的f2 018(x)＝f2(x)＝－sinx。故选A。

答案　A

4．(配合例4使用)如图，给出的是计算＋＋…＋的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框内的(2)处应填的语句是(　　)

A．i>100，n＝n＋1   B．i>100，n＝n＋2

C．i>50，n＝n＋2   D．i≤50，n＝n＋2

解析　经第一次循环得到的结果是

经第二次循环得到的结果是

经第三次循环得到的结果是

据观察S中最后一项的分母与i的关系是：分母＝2(i－1)，令2(i－1)＝100，解得i＝51，即需要i＝51时输出S。

故图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句分别是i>50，n＝n＋2。

答案　C