2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第十章第二节　古典概型 学案

第二节　古 典 概 型

2019考纲考题考情

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的。

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。

2．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。

(2)每个基本事件出现的可能性相等。

3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝。

4．古典概型的概率公式

P(A)＝。

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。正确地判断试验的类型是解决概率问题的关键。

一、走进教材

1．(必修3P134A组T5改编)一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(　　)

A． B．

C． D．

解析　从盒中装有数字1,2,3,4的4张卡片中随机抽取2张，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种，取出的2张卡片上的数字之和为奇数的取法有(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4种，故取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为＝。故选D。

答案　D

2．(必修3P145A组T5改编)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________。

解析　设3个红色球为A1，A2，A3,2个黄色球为B1，B2，从5个球中，随机取出2个球的基本事件有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2共10种。其中2个球的颜色不同的有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种，所以所求概率为＝。

答案　

二、走近高考

3．(2018·全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为(　　)

A．0.6 B．0.5

C．0.4 D．0.3

解析　将2名男同学分别记为x，y,3名女同学分别记为a，b，c。设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，其中事件A包含的可能情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故P(A)＝＝0.3。故选D。

答案　D

4．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)

A． B．

C． D．

解析　两次抽取卡片上的数字所有可能有5×5＝25(种)，其中两次抽取卡片上的数大小相等的有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，共5种，剩余的25－5＝20(种)里第一张卡片上的数比第二张卡片上的数大的种数和第一张卡片上的数比第二张卡片上的数小的种数相同，各有10种，因此第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为＝，故选D。

答案　D

三、走出误区

微提醒：①基本事件个数错误；②古典概型公式应用错误。

5．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为偶数的概率是________。

解析　总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，

(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个。两个不同的数之和为偶数包含的基本事件有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4个，所以所求概率P＝＝。

答案　

6．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件。若每次取后放回，连续取两次，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率为________。

解析　有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个基本事件。由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的。用B表示事件“恰有一件次品”，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，所以事件B由4个基本事件组成，所以P(B)＝。

答案　

7．小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时小王都将同颜色的圆珠笔和笔帽套在一起，但偶尔会将圆珠笔和笔帽搭配成不同色。若将圆珠笔和笔帽随机套在一起，则小王将两支圆珠笔和笔帽的颜色混搭的概率是________。

解析　设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为A，B，C与之相同颜色的笔帽分别为a，b，c。将笔和笔帽随机套在一起，基本事件有(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Bb，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，共6个，其中满足条件的有3个。故所求事件的概率P＝＝。

答案　

考点一  较简单的古典概型问题

【例1】　(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160。现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动。

(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作。

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率。

解　(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人。

(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种。

②由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种。所以，事件M发生的概率P(M)＝。

本题在用列举法列出随机抽取2名同学的所有可能结果时，需注意两名同学之间无先后顺序，做到不重不漏。

【变式训练】　(1)(2019·南昌摸底调研)甲邀请乙、丙、丁三人加入了“兄弟”这个微信群聊，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人抢到的钱数均为整数，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概率是(　　)

A． B．

C． D．

(2)(2019·福州高三期末)某商店随机将三幅分别印有福州三宝(脱胎漆器、角梳、油纸伞)的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与油纸伞的宣传画相邻的概率是________。

解析　(1)设乙、丙、丁分别抢到x元，y元，z元，记为(x，y，z)，则基本事件有：(2,2,5)，(2,5,2)，(5,2,2)，(2,3,4)，(2,4,3)，(3,2,4)，(3,4,2)，(4,3,2)，(4,2,3)，(3,3,3)，共10个，其中符合丙获得“手气最佳”的有4个，所以丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概率P＝＝。故选C。

(2)记脱胎漆器、角梳、油纸伞的宣传画分别为a，b，c，则并排贴的情况有abc，acb，bac，bca，cab，cba，共6种，其中b，c相邻的情况有abc，acb，bca，cba，共4种，故由古典概型的概率计算公式，得所求概率P＝＝。

答案　(1)C　(2)

考点二  古典概型的交汇问题微点小专题

方向1：古典概型与平面向量的交汇

【例2】　从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为________。

解析　由题意可知m＝(a，b)所有基本事件有4×3＝12种情况。m⊥n，即m·n＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，满足条件的有(3,3)，(5,5)，共2种情况，所以所求概率为。

答案　

古典概型与平面向量交汇问题的一般处理方法

1．根据平面向量的知识，进行坐标运算，得出事件满足的约束条件。

2．根据约束条件列举出所有符合要求的基本事件。

3．利用古典概型的概率计算公式求解。

方向2：古典概型与解析几何的交汇

【例3】　将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m，第二次向上的点数记为n，曲线C：＋＝1。则曲线C的焦点在x轴上且离心率e≤的概率等于(　　)

A．   B．

C． D．

解析　因为离心率e≤，所以 ≤，解得≥。由列举法得，当m＝6时，n＝5,4,3；当m＝5时，n＝4,3；当m＝4时，n＝3,2；当m＝3时，n＝2；当m＝2时，n＝1，共9种情况，故其概率为＝。故选D。

答案　D

古典概型与解析几何交汇问题的一般处理方法

1．根据解析几何的知识，构建事件满足的约束条件。

2．根据约束条件列举出所有符合条件的基本事件。

3．利用古典概型的概率计算公式求解。

方向3：古典概型与函数的交汇

【例4】　已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4)，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a，b)。

(1)列举出所有的数对(a，b)，并求函数y＝f(x)有零点的概率；

(2)求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率。

解　(1)数对(a，b)的所有可能情况为(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共15种。

函数y＝f(x)有零点，即Δ＝b2－4a≥0，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种情况满足条件，所以函数y＝f(x)有零点的概率为＝。

(2)函数y＝f(x)图象的开口向上，对称轴为直线x＝，y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则有≤1，即b≤2a，有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共13种情况满足条件，所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为。

古典概型与函数交汇问题的处理方法

1．根据函数的相关性质，确定相关系数应满足的条件。

2．根据系数满足的条件进行分类考虑，求出所有符合条件的基本事件个数。

3．利用古典概型的概率计算公式求解概率。

【题点对应练】　

1．(方向1)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ为锐角的概率是________。

解析　由题意得，连掷两次骰子得到的点数分别为m，n所组成的(m，n)的所有可能情况共有36种，因为向量(m，n)与向量(1，－1)的夹角θ为锐角，m>0，n>0，所以(m，n)·(1，－1)>0，即m>n。满足题意的情况如下：当m＝2时，n＝1；当m＝3时，n＝1,2；当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝5时，n＝1,2,3,4；当m＝6时，n＝1,2,3,4,5。所以满足题意的情况共有15种，故所求事件的概率为＝。

答案　

2．(方向2)以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标(m，n)，则点P在直线x＋y＝7上的概率为________。

解析　由题意知m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，所以(m，n)的所有情况共36种。点P在直线x＋y＝7上的情况有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6种，所以点P在直线x＋y＝7上的概率为＝。

答案　

3．(方向3)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1，其中a∈{2,4}，b∈{1,3}，则f(x)在(－∞，－1]上是减函数的概率为(　　)

A． B．

C． D．0

解析　(a，b)的所有可能情况为(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)，记事件A为“f(x)在(－∞，－1]上是减函数”，由条件知f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－，若f(x)在(－∞，－1]上是减函数，则－≥－1，即b≤a，所以事件A包含(2,1)，(4,1)，(4,3)，共3个基本事件，所以P(A)＝。故选B。

答案　B

考点三  古典概型的综合问题

【例5】　(2019·贵阳市监测考试)A市某校学生社团针对“A市的发展环境”对男、女各10名学生进行问卷调查，每名学生给出评分(满分100分)，得到如图所示的茎叶图。

(1)计算女生打分的平均分，并根据茎叶图判断男生、女生打分谁更分散(不必说明理由)；

(2)如图②是按该20名学生的评分绘制的频率分布直方图(每个分组包含左端点，不包含右端点)，求a的值；

(3)从打分在70分以下(不含70分)的学生中抽取2人，求有女生被抽中的概率。

解　(1)女生打分的平均数为×(68＋69＋76＋75＋70＋78＋79＋82＋87＋96)＝78；男生打分比较分散。

(2)由茎叶图可知，20名学生中评分在[70,80)内的有9人，则a＝÷10＝0.045。

(3)设“有女生被抽中”为事件A，由茎叶图可知，有4名男生，2名女生的打分在70分以下(不含70分)，其中4名男生分别记为a，b，c，d,2名女生分别记为m，n，从中抽取2人的基本事件有ab，ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn，共15种，其中有女生被抽中的事件有am，an，bm，bn，cm，cn，dm，dn，mn，共9种，所以P(A)＝＝。

求解古典概型与统计交汇问题的思路

1．依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息，提炼需要的信息。

2．进行统计与古典概型概率的正确计算。

【变式训练】　(2019·开封高三定位考试)为了研究某种农作物在特定温度下(要求最高温度t满足：27 ℃≤t≤30 ℃)的生长状况，某农学家需要在10月份去某地进行为期10天的连续观察试验。现有关于该地区近十年10月份日平均最高温度和日平均最低温度(单位：℃)的记录如下：

(1)根据农学家的试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期；

(2)设该地区今年10月上旬(10月1日至10月10日)的最高温度的方差和最低温度的方差分别为D1，D2，估计D1，D2的大小(直接写出结论即可)；

(3)从10月份的31天中随机选择连续3天，求所选3天中日平均最高温度值都在[27,30]的概率。

解　(1)农学家观察试验的起始日期为10月7日或10月8日。

(2)D1>D2。

(3)设“所选3天中日平均最高温度值都在[27,30]”为事件A，则基本事件为(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，…，(29,30,31)，共29个。

由题图可以看出，事件A中包含10个基本事件，

所以P(A)＝，

故所选3天中日平均最高温度值都在[27,30]的概率为。