2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第二章第九节函数模型及其应用


第九节函数模型及其应用

1．几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
“对勾”函数模型
f(x)＝x＋(a＞0)❶

2．三种函数模型的性质
函数性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度❷
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大，逐渐表现为与y轴平行
随x的增大，逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax
❶对勾函数y＝x＋(a＞0)在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减.
当x＞0时，x＝时取最小值2；当 x＜0时，x＝－时取最大值－2.
(1)当描述增长速度变化很快时，选用指数函数模型．
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，选用对数函数模型．
(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)可以描述增长幅度不同的变化，当n值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n＞1)时，增长较快.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　　)
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　)
(3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0.(　　)
(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a＞0)的增长速度．(　　)
(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
二、选填题
1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是(　　)
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A．一次函数模型　　　　 B．幂函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
解析：选A　根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．
2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)

解析：选C　小明匀速行驶时，图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.
3．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过________小时．
解析：设需经过t小时，由题意知24t＝4 096，即16t＝4 096，解得t＝3.
答案：3
4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km；如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是____________．
解析：由题意可得y＝
答案：y＝
5．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
解析：设利润为L(x)，则利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
答案：18


[典例精析]
加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．
[解析]　根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，
联立方程组得
消去c化简得解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2
＝－＋－2
＝－2＋，
所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．
[答案]　3.75
[解题技法]
求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
[过关训练]
1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：
月份
用气量
煤气费
一月份
4 m3
4元
二月份
25 m3
14元
三月份
35 m3
19元
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为(　　)
A．11.5元　　　　　　　 B．11元
C．10.5元 D．10元
解析：选A　根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋×(20－5)＝11.5.
2．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　)
A．30元　　　　　　　 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
解析：选D　设毛利润为L(p)元，
则由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，
解得p＝30或p＝－130(舍去)．
当p∈(0,30)时，L′(p)＞0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)＜0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23 000.

[分类例析]
类型(一)　构建一、二次函数模型
[例1]　某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：
项目
类别　　
年固定成本
每件产品成本
每件产品销售价
每年最多可生产的件数
A产品
20
m
10
200
B产品
40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原料价格决定，预计m∈[6,8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x1，x2之间的函数关系式，并指明定义域；
(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．
[解]　(1)由题意得y1＝10x1－(20＋mx1)＝(10－m)x1－20(0≤x1≤200且x1∈N)，
y2＝18x2－(40＋8x2)－0.05x＝－0.05x＋10x2－40
＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120且x2∈N)．
(2)∵6≤m≤8，∴10－m＞0，
∴y1＝(10－m)x1－20为增函数．
又0≤x1≤200，x1∈N，
∴当x1＝200时，生产A产品的最大利润为(10－m)×200－20＝1 980－200m(万美元)．
∵y2＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120，且x2∈N)，
∴当x2＝100时，生产B产品的最大利润为460万美元．
(y1)max－(y2)max＝(1 980－200m)－460＝1 520－200m.
易知当6≤m＜7.6时，(y1)max＞(y2)max.
即当6≤m＜7.6时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；
当m＝7.6时，投资生产A产品200件或投资生产B产品100件，均可获得最大年利润；
当7.6＜m≤8时，投资生产B产品100件可获得最大年利润．

解决一、二次函数模型问题的3个注意点
(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；
(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．　　　　
类型(二)　构建指数函数、对数函数模型
[例2]　(1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年　　　　　　　 B．2019年
C．2020年 D．2021年
(2)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)
A．16小时 B．20小时
C．24小时 D．28小时
[解析]　(1)设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
根据题意得130(1＋12%)n－1＞200，
则lg[130(1＋12%)n－1]＞lg 200，
∴lg 130＋(n－1)lg 1.12＞lg 2＋2，
∴2＋lg 1.3＋(n－1)lg 1.12＞lg 2＋2，
∴0.11＋(n－1)×0.05＞0.30，解得n＞，
又∵n∈N*，∴n≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年．故选C.
(2)由已知得192＝eb，①
48＝e22k＋b＝e22k·eb，②
将①代入②得e22k＝，则e11k＝，
当x＝33时，y＝e33k＋b＝e33k·eb＝3×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C.
[答案]　(1)C　(2)C

指数函数与对数函数模型的应用技巧
(1)要先学会合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．　　　　
类型(三)　构建y＝ax＋的函数模型
[例3]　某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
[解]　设该场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元．
因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元)．
从而有y＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥417，当且仅当＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．

应用函数f(x)＝ax＋模型的关键点
(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝叠加而成的．
(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)＝ax＋的形式．
(3)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．　　　　
类型(四)　构建分段函数模型
[例4]　某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
[解]　(1)当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115＞0，解得x＞2.3，
∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z.
当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.
∴f(x)＝
(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，
显然当x＝6时，ymax＝185；
对于y＝－3x2＋68x－115
＝－32＋(6＜x≤20，x∈Z)，
当x＝11时，ymax＝270.
∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．

解决分段函数模型问题的3个注意点
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；
(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏；
(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者. 　　　　
[共性归纳]
建立函数模型解应用题的4步骤
审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型
建模
将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型
求模
求解数学模型，得出数学结论
还原
将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中

[过关训练]
1.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差(　　)
A．10元 B．20元
C．30元 D.元
解析：选A　设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，
当t＝100时，100k1＋20＝100k2，
化简得k2－k1＝.
当t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10(元)．
2．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：
年份
2015
2016
2017
2018

投资成本x
3
5
9
17
…
年利润y
1
2
3
4
…
给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)．
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；
(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．
解：(1)将(3,1)，(5,2)代入y＝kx＋b(k≠0)，
得解得∴y＝x－.
当x＝9时，y＝4，不符合题意；
将(3,1)，(5,2)代入y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)，
得解得
∴y＝·x＝2.
当x＝9时，y＝2＝8，不符合题意；
将(3,1)，(5,2)代入y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)，
得解得∴y＝log2(x－1)．
当x＝9时，y＝log28＝3；
当x＝17时，y＝log216＝4.
故可用③来描述x，y之间的关系．
(2)令log2(x－1)≥6，则x≥65.
∵年利润＜10%，∴该企业要考虑转型．