2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第二章第六节指数与指数函数

第六节指数与指数函数

1．根式的性质

(1)()n＝a(a使有意义)．

(2)当n是奇数时，＝a；当n是偶数时，＝|a|＝❶

2．分数指数幂的意义

(1)a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(2)a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

3．有理数指数幂的运算性质

(1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；

(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．

4．指数函数的图象和性质❷

化简时，一定要注意区分n是奇数还是偶数．

1．图象问题

(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)，.

(2)y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称．

(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．

2．函数性质的注意点

讨论指数函数的性质时，要注意分底数a＞1和0＜a＜1两种情况.

[熟记常用结论]

指数函数的图象与底数大小的比较：如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.

规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)＝－4.(　　)

(2)函数y＝2x－1是指数函数．(　　)

(3)函数y＝a(a＞1)的值域是(0，＋∞)．(　　)

(4)若am＞an(a＞0，a≠1)，则m＞n.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、选填题

1．计算[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)

A．－9　　　　　　　　　 B．7

C．－10  D．9

解析：选B　原式＝2－1＝23－1＝7.故选B.

2．函数f(x)＝3x＋1的值域为(　　)

A．(－1，＋∞)  B．(1，＋∞)

C．(0,1)  D．[1，＋∞)

解析：选B　∵3x＞0，∴3x＋1＞1，

即函数f(x)＝3x＋1的值域为(1，＋∞)．

3．化简的结果是________．

解析：由题意知，x＜0，

∴＝＝＝－.

答案：－

4．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点________．

解析：令x－2＝0，则x＝2，

此时f(x)＝1－3＝－2，

故函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点(2，－2)．

答案：(2，－2)

5．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．

解析：∵f(x)＝(a－2)x为减函数，

∴0＜a－2＜1，即2＜a＜3.

答案：(2,3)

[题组练透]

化简下列各式：

(1)0＋2－2×－(0.01)0.5；

(2)a·b－2·(－3ab－1)÷(4a·b－3)；

(3).

解：(1)原式＝1＋×－

＝1＋×－＝1＋－

＝.

(2)原式＝－ab－3÷(4a·b－3)

＝－ab－3÷(ab)

＝－a·b

＝－·＝－.

(3)原式＝＝a·b＝.

[名师微点]

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

[典例精析]

(1)函数y＝ax－a－1(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　)

(2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为__________．

[解析]　(1)函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，A项显然错误；当a＞1时，0＜＜1，平移距离小于1，所以B项错误；当0＜a＜1时，＞1，平移距离大于1，所以C项错误．故选D.

(2)作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0,1)．

[答案]　(1)D　(2)(0,1)

1．(变条件)将本例(2)改为若函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．

解析：因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．

答案：(－∞，0]

2．(变条件)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．

解析：作出曲线|y|＝2x＋1的图象，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1.

答案：[－1,1]

3．(变条件)将本例(2)改为直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为__________．

解析：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．

当a＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不合题意；

当0＜a＜1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，得到0＜a＜.

综上可知，a的取值范围是.

答案：

[解题技法]

有关指数函数图象问题的解题思路

(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．

(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．

(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．

[过关训练]

1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)

解析：选A　由f(x)＝1－e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B、D.又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，排除C.

2．已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有(　　)

A．a＜0，b＜0，c＜0　　　　 B．a＜0，b＞0，c＞0

C．2－a＜2c  D．1＜2a＋2c＜2

解析：选D　作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示，因为a＜b＜c，且有f(a)＞f(c)＞f(b)，所以必有a＜0,0＜c＜1，且|2a－1|＞|2c－1|，所以1－2a＞2c－1，则2a＋2c＜2，且2a＋2c＞1.故选D.

[考法全析]

考法(一)　比较指数式的大小

[例1]　已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)

A．f(b)＜f(a)＜f(c)　　 B．f(c)＜f(b)＜f(a)

C．f(c)＜f(a)＜f(b)  D．f(b)＜f(c)＜f(a)

[解析]　易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数，又a＝＝＞＝b＞0，c＝log2＜0，则a＞b＞c，所以f(c)＜f(b)＜f(a)．

[答案]　B

考法(二)　解简单的指数方程或不等式

[例2]　(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．

(2)设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是________．

[解析]　(1)当a＜1时，41－a＝21，解得a＝；当a＞1时，代入不成立．故a的值为.

(2)若a＜0，则f(a)＜1⇔a－7＜1⇔a＜8，解得a＞－3，故－3＜a＜0；

若a≥0，则f(a)＜1⇔＜1，解得a＜1，故0≤a＜1.

综合可得－3＜a＜1.

[答案]　(1)　(2)(－3,1)

考法(三)　指数函数性质的综合应用

[例3]　已知函数f(x)＝.

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值；

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

[解]　(1)当a＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．

(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，

由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，

因此必有

解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.

(3)由指数函数的性质知，要使f(x)的值域为(0，＋∞)，

应使y＝ax2－4x＋3的值域为R，

因此只能a＝0(因为若a≠0，则y＝ax2－4x＋3为二次函数，其值域不可能为R)．

故a的值为0.

[规律探求]

[过关训练]

1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c  B．a＜c＜b

C．b＜a＜c  D．b＜c＜a

解析：选C　因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5＜a＝0.60.6＜1.又c＝1.50.6＞1，所以b＜a＜c.

2．(2019·福州模拟)设函数f(x)＝则满足f(x2－2)＞f(x)的x的取值范围是________________________________________________________________________．

解析：由题意x＞0时，f(x)单调递增，故f(x)＞f(0)＝0，而x≤0时，x＝0，

故若f(x2－2)＞f(x)，则x2－2＞x，且x2－2＞0，

解得x＞2或x＜－.

答案：(－∞，－)∪(2，＋∞)