2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第二章第一节函数及其表示
展开第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)
全国卷年考情图解 | 高考命题规律把握 |
1.高考对本章的考查一般为1～3道小题． 2.从考查内容上看主要涉及函数的图象，多为给出具体函数解析式判断函数的图象；函数的性质及函数性质的综合问题；指数、对数、幂函数的图象与性质；分段函数，既有求函数值，也有解不等式，常与指数、对数函数，零点相结合． 3.本章一般不单独涉及解答题，在解答题中多与导数、不等式结合命题，试题难度较大.
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第一节函数及其表示
1．函数与映射
| 函数 | 映射 |
两集合A，B | 设A，B是非空的数集 | 设A，B是非空的集合 |
对应关系f：A→B | 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 | 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 |
名称 | 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 | 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 |
记法 | y＝f(x)，x∈A | 对应f：A→B是一个映射 |
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域❶；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域❷.显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数❸
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．,(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.
值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．
(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交.
[熟记常用结论]
(1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；
(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；
(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；
(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；
(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．
如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )
(3)函数是一种特殊的映射．( )
(4)若A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝|x|，则对应f可看作从A到B的映射．( )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
二、选填题
1．下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
解析：选C A选项，函数定义域为M，但值域不是N，B选项，函数定义域不是M，值域为N，D选项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系．故选C.
2．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
A．y＝()2 B．y＝＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
解析：选B 对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.
3．函数f(x)＝＋的定义域为________．
解析：由题意得解得x≥0且x≠2.
答案：[0,2)∪(2，＋∞)
4．若函数f(x)＝则f(f(2))＝________.
解析：由题意知，f(2)＝5－4＝1，f(1)＝e0＝1，
所以f(f(2))＝1.
答案：1
5．已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则f(2)＝________.
解析：∵函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)
∴4＝－a＋2，∴a＝－2，即f(x)＝－2x3－2x，
∴f(2)＝－2×23－2×2＝－20.
答案：－20
[典例精析]
(1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式．
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
[解] (1)(换元法)令＋1＝t，得x＝，
代入得f(t)＝lg，又x>0，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x∈(1，＋∞)．
(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以
解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
故f(x)的解析式是f(x)＝，x∈R.
[解题技法]
求函数解析式的3种方法及口诀记忆
待定系数法 | 当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式 |
换元法 | 如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式 |
解方程组法 | 如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式 |
口诀记忆 | 解析式，如何定，待定换元解方程； 已知函数有特征，待定系数来确定； 复合函数问根源，内函数，先换元； 两个函数有关系，方程组中破玄机. |
[过关训练]
1．[口诀第3句]已知函数f(x－1)＝，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
解析：选A 令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝，
即f(x)＝.故选A.
2．[口诀第2句]若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)＝________.
解析：设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
∴解得∴g(x)＝3x2－2x.
答案：3x2－2x
3．[口诀第4句]已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.
解析：∵2f(x)＋f＝3x，①
把①中的x换成，得2f＋f(x)＝.②
联立①②可得
解此方程组可得f(x)＝2x－(x≠0)．
答案：2x－(x≠0)
[考法全析]
考法(一) 已知函数解析式求定义域
[例1] 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝.
[解] (1)要使函数f(x)有意义，则
解不等式组得x≥3.
因此函数f(x)的定义域为[3，＋∞)．
(2)要使函数f(x)有意义，则
即解不等式组得－1＜x＜1.
因此函数f(x)的定义域为(－1,1)．
考法(二) 求抽象函数的定义域
[例2] 已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为( )
A．(－2,0) B．(－2,2)
C．(0,2) D.
[解析] 由题意得∴
∴0＜x＜2，∴函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为(0,2)，故选C.
[答案] C
考法(三) 已知函数的定义域求参数的值(范围)
[例3] (1)若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
[解析] (1)∵函数y＝的定义域为R，
∴mx2＋4mx＋3≠0，
∴m＝0或
即m＝0或0＜m＜，
∴实数m的取值范围是.
(2)∵函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，
∴解得∴a＋b＝－.
[答案] (1)D (2)－
[规律探求]
看个性 | 考法(一)是根据具体的函数解析式求定义域，已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可． 考法(二)是求抽象函数的定义域，有如下解法： (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 考法(三)是考法(一)的逆运用，通常是转化为含参数的不等式求解 |
找共性 | 1.谨记函数定义域的有关口诀 定义域，是何意，自变量，有意义； 分式分母不为零，对数真数只取正； 偶次根式要非负，三者结合生万物； 和差积商定义域，不等式组求交集. 2.函数定义域问题注意事项 (1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围； (2)求函数的定义域时，对函数解析式先不要化简； (3)求出函数的定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式； (4)函数f(x)±g(x)的定义域是函数f(x)，g(x)的定义域的交集 |
[过关训练]
1．[口诀第1、2、3、4句]y＝ －log2(4－x2)的定义域是( )
A．(－2,0)∪(1,2) B．(－2,0]∪(1,2)
C．(－2,0)∪[1,2) D．[－2,0]∪[1,2]
解析：选C 要使函数有意义，则
解得x∈(－2,0)∪[1,2)，
即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．
2．[口诀第1句]已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－， ]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
解析：因为y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，所以x∈[－， ]，x2－1∈[－1,2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]．
答案：[－1,2]
3．[口诀第1、3句]若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为________________．
解析：若函数f(x)＝的定义域为实数集R，
则x2＋ax＋1≥0恒成立，即Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2，
即实数a的取值范围是[－2,2]．
答案：[－2,2]
[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一) 分段函数求值
[例1] (1)(2019·石家庄模拟)已知f(x)＝则f＝________.
(2)已知f(x)＝则f(7)＝__________________________________.
[解析] (1)∵f＝log3＝－2，
∴f＝f(－2)＝－2＝9.
(2)∵7＜9，
∴f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)．
又∵8＜9，
∴f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6.
即f(7)＝6.
[答案] (1)9 (2)6
考法(二) 求参数或自变量的值(范围)
[例2] (1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
(2)(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________.
[解析] (1)∵f(x)＝
∴函数f(x)的图象如图所示．
结合图象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，
则需或
∴x＜0，故选D.
(2)当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，无实数解；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件．
[答案] (1)D (2)－3
[规律探求]
看个性 | 考法(一)是求分段函数的函数值．在求分段函数的函数值时，一定要先判断自变量属于定义域的哪个子集，再代入相应的关系式．若涉及复合函数求值，则从内到外逐层计算，当自变量的值不确定时，要分类讨论． 考法(二)是在考法(一)的基础上迁移考查分段函数中，已知函数值或不等关系求参数或自变量的值或范围．解与分段函数有关的方程或不等式，从而求得自变量或参数的取值(范围)时，应根据每一段的解析式分别求解．解得值(范围)后一定要检验其是否符合相应段的自变量的取值范围 |
找共性 | (1)无论考法(一)还是考法(二)都要根据自变量或参数所在区间来解决问题，搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件； (2)解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题 |
[过关训练]
1．已知函数f(x)＝则f(1＋log25)＝________.
解析：因为2＜log25＜3，所以3＜1＋log25＜4，则4＜2＋log25＜5，则f(1＋log25)＝f(1＋1＋log25)＝f(2＋log25)＝＝×＝.
答案：
2．(2018·衡阳模拟)已知函数f(x)＝(a∈R)，若f(f(－1))＝1，则a＝________.
解析：∵f(－1)＝2－(－1)＝2，∴f(f(－1))＝f(2)＝4a＝1，解得a＝.
答案：
