2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第二章第三节函数的奇偶性与周期性


第三节函数的奇偶性与周期性

1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
口诀记忆
奇偶性有特征，定义域要对称；
奇函数，有中心，偶函数，有对称.
2.函数的周期性
(1)周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
并不是所有周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.
[熟记常用结论]
1．奇偶性的5个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
2．周期性的4个常用结论
设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；
(3)若f(x＋a)＝，则函数的周期为2a；
(4)若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a.
3．对称性的3个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　)
(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　)
(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　)
(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
二、选填题
1．下列函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝x2sin x　　　　　　 B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：选B　A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数，故选B.
2．下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝ex
C．y＝|x| D．y＝ex－e－x
解析：选D　A、B选项中的函数为非奇非偶函数；C选项中的函数为偶函数；D选项中的函数为奇函数，故选D.
3．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是(　　)
A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))
解析：选B　因为(a，f(a))是函数y＝f(x)图象上的点，且y＝f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以点(－a，f(－a))，即(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的图象上．
4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.
又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.
答案：
5．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________.
解析：∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数，
∴f＝f＝f＝－4×2＋2＝－1＋2＝1.
答案：1

考点一
[基础自学过关]
函数奇偶性的判定
[题组练透]
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝(x＋1) ；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝loga(x＋)(a>0且a≠1)．
解：(1)因为f(x)有意义，则满足≥0，
所以－1＜x≤1，
所以f(x)的定义域不关于原点对称，
所以f(x)为非奇非偶函数．
(2)法一：定义法
当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，
－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；
当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，
－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
法二：图象法
作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．

(3)因为所以－2≤x≤2且x≠0，
所以定义域关于原点对称．
又f(－x)＝＝，
所以f(－x)＝f(x)．故函数f(x)为偶函数．
(4)函数的定义域为R，
因为f(－x)＋f(x)
＝loga[－x＋]＋loga(x＋)
＝loga(－x)＋loga(＋x)
＝loga[(－x)(＋x)]
＝loga(x2＋1－x2)＝loga1＝0.
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
[名师微点]
判断函数奇偶性的3种常用方法
(1)定义法：
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)图象法：

(3)性质法：
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
[提醒]　分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
考点二
[师生共研过关]
函数奇偶性的应用
[典例精析]
(1)(2019·广州调研)已知函数f(x)＝＋a为奇函数，则实数a＝________.
(2)函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 017)＋f(2 019)的值为________．
[解析]　(1)易知f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＋a＝－－a，所以2a＝－－＝－－＝－1，所以a＝－.
(2)∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1，
∴当x＜0时，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1，
即x＜0时，f(x)＝x－1.
(3)由题意得，g(－x)＝f(－x－1)，
∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x－1)＝－f(x＋1)，
即f(x－1)＋f(x＋1)＝0.
∴f(2 017)＋f(2 019)＝f(2 018－1)＋f(2 018＋1)＝0.
[答案]　(1)－　(2)x－1　(3)0
[解题技法]
与函数奇偶性有关的问题及解题策略
(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．
[过关训练]
1．设f(x)－x2＝g(x)，x∈R，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可以为(　　)
A．g(x)＝x3　　　　　　 B．g(x)＝cos x
C．g(x)＝1＋x D．g(x)＝xex
解析：选B　因为f(x)＝x2＋g(x)，且函数f(x)为偶函数，所以有(－x)2＋g(－x)＝x2＋g(x)，即g(－x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项B中的函数为偶函数，故选B.
2．设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(3)的值是(　　)
A．1 B．3
C．－3 D．－1
解析：选C　∵函数f(x)＝f(x)是奇函数，∴f(－3)＝－f(3)，∴log2(1＋3)＝－(g(3)＋1)，则g(3)＝－3.故选C.
3．若关于x的函数f(x)＝(t≠0)的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝________.
解析：f(x)＝＝t＋，
设g(x)＝，则g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t.∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1.
答案：1
考点三
[师生共研过关]
函数的周期性
[典例精析]
(1)已知函数f(x)＝如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝，那么f2 019(2)的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.
[解析]　(1)∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，
∴fn(2)的值具有周期性，且周期为3，
∴f2 019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故选C.
(2)∵f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期T＝2，
∵当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，
∴f(0)＝0，f(1)＝1，
∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 018)＝0，
f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 019)＝1.
故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝1 010.
[答案]　(1)C　(2)1 010
[解题技法]
函数周期性有关问题的求解策略
(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性．

[过关训练]
1．[口诀第2句]已知函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f，则f(6)等于(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．2
解析：选D　当x>时，f＝f，即周期为1，则f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2.
2．[口诀第3、4句]已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选B　当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.
当2≤x＜4时，0≤x－2＜2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，
所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，
所以当2≤x＜4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.
同理可得，当4≤x＜6时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5＝4，x6＝5.
当x7＝6时，也符合要求．
综上可知，共有7个交点．
3．[口诀第5、6句]已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是(　　)
A．f(log27)＜f(－5)＜f(6)
B．f(log27)＜f(6)＜f(－5)
C．f(－5)＜f(log27)＜f(6)
D．f(－5)＜f(6)＜f(log27)
解析：选C　因为奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(1＋x)＝f(1－x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(6)＝f(2)＝f(0)＝0.于是，结合题意可画出函数f(x)在[－2,4]上的大致图象，如图所示．又2＜log27＜3，所以结合图象可知－1＜f(log27)＜0，故f(－5)＜f(log27)＜f(6)，故选C.

考点四
[全析考法过关]
函数性质的综合应用
[考法全析]
考法(一)　单调性与奇偶性综合
[例1]　(2018·石家庄质检)已知f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为(　　)
A．{x|0＜x＜1或x>2}　 B．{x|x＜0或x>2}
C．{x|x＜0或x>3} D．{x|x＜－1或x>1}
[解析]　因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以可作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x－1)>0可转化为－1＜x－1＜0或x－1>1，解得0＜x＜1或x>2，故选A.
[答案]　A
考法(二)　奇偶性与周期性综合
[例2]　(2019·赣州月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
[解析]　∵f(x＋3)＝f(x)，
∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，
∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．
又∵函数f(x)是偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)>1，
∴a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.
[答案]　D
考法(三)　单调性、奇偶性与周期性结合
[例3]　(2019·达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减，设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>c>a D．a>c>b
[解析]　∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.∴a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．∵－0.8＜－0.5＜－0.4，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，∴a>c>b，故选D.
[答案]　D
[规律探求]
看个性
考法(一)是已知函数单调递增且为奇函数，求自变量范围，有时也比较大小，常利用奇、偶函数图象的对称性；
考法(二)是已知f(x)是周期函数且为偶函数，求函数值的范围，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
考法(三)是函数周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解
找共性
对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题

[过关训练]
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A．－50　　　　　　　　　 B．0
C．2 D．50
解析：选C　∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则f(x)在[1,3]上是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
解析：选D　根据题意，∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.又∵f(x)在定义域R上是偶函数，在[－1,0]上是减函数，∴函数f(x)在[0,1]上是增函数，∴函数f(x)在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，∴f(x)在[1,3]上是先减后增的函数，故选D.
3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是________．
解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－)＝f()，
∴f(2|a－1|)＞f()，∴2|a－1|＜＝2，
∴|a－1|＜，即－＜a－1＜，即＜a＜.
答案：