2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第三章第一节导数的概念及运算、定积分


第三章 导数及其应用
全国卷年考情图解
高考命题规律把握

1.本章内容在高考中一般是“一大一小”．
2.在选择题或填空题中考查导数的几何意义，有时与函数的性质相结合出现在压轴小题中．
3.解答题一般都是两问的题目，第一问考查求曲线的切线方程，求函数的单调区间，由函数的极值点或已知曲线的切线方程求参数，属于基础问题．第二问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参数的取值范围，函数的零点等问题.2018年全国卷Ⅱ和全国卷Ⅲ均以不等式的证明为载体，考查了导数在函数单调性中的应用，总体难度偏大.
第一节导数的概念及运算、定积分

1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li ＝li ❶为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝li ＝li .
函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
❷曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线.
(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝li 为f(x)的导函数．
(4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0.
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝n·xn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
5．定积分的概念
在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
6．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．❸
❸求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算.
7．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)记作F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．
8．定积分的几何意义❹
定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S.
①S＝f(x)dx；②S＝－f(x)dx；③S＝f(x)dx－f(x)dx；
④S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx.

❹(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.
(2)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.
[熟记常用结论]
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．熟记以下结论：(1)′＝－；(2)(ln|x|)′＝；
(3)′＝－(f(x)≠0)；
(4)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．
3．常见被积函数的原函数　
(1)cdx＝cx；(2)xndx＝(n≠－1)；
(3)sin xdx＝－cos x；(4)cos xdx＝sin x；
(5)dx＝ln|x|；(6)exdx＝ex.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)
(2)因为(ln x)′＝，所以′＝ln x．(　　)
(3)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.(　　)
(4)定积分一定是曲边梯形的面积．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
二、选填题
1．下列求导运算正确的是(　　)
A.＝1＋　 　 B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x
解析：选B　＝x′＋＝1－；(3x)′＝3xln 3；＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x．故选B.
2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)


解析：选D　由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A、C.
又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.
3．已知t是常数，若(2x－2)dx＝8，则t＝(　　)
A．1 B．－2
C．－2或4 D．4
解析：选D　由(2x－2)dx＝8，得(x2－2x)＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．
4．若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝________.
解析：∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
答案：2e
5．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为______________________．
解析：∵y′＝，∴y′|x＝－1＝2.
故所求切线方程为2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0

考点一导数的运算[基础自学过关]
[题组练透]
1．f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于(　　)
A．e2　　　　　　　　　 B．1
C．ln 2 D．e
解析：选B　f′(x)＝2 018＋ln x＋x×＝2 019＋ln x，故由f′(x0)＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，则ln x0＝0，解得x0＝1.
2．(2019·宜昌联考)已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝(　　)
A. B.
C. D．－2
解析：选C　因为f′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln 2＋2，解得f′(1)＝，所以f′(x)＝·2xln 2＋2x，所以f′(2)＝×22ln 2＋2×2＝.
3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.
解析：f′(x)＝4ax3＋2bx，
∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，
∴f′(－1)＝－2.
答案：－2
4．求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝ln x＋；
(3)y＝；
(4)y＝xsincos.
解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′
＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.
(3)y′＝′＝＝－.(4)∵y＝xsincos
＝xsin(4x＋π)
＝－xsin 4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2xcos 4x.
[名师微点]
1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．
2．常见形式及具体求导6种方法
连乘形式
先展开化为多项式形式，再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式
先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式
先化为和、差形式，再求导
复合函数
先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元

[提醒]　对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．
考点二导数的几何意义及其应用[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一)　求切线方程
[例1]　(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x　　　　　　 B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
[解析]　法一：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，
即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，
∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
法二：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数，
∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
[答案]　D
考法(二)　求切点坐标
[例2]　已知函数f(x)＝xln x在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为________．
[解析]　∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，由题意得f′(x0)·(－1)＝－1，即f′(x0)＝1，∴ln x0＋1＝1，ln x0＝0，∴x0＝1，∴f(x0)＝0，即P(1,0)．
[答案]　(1,0)
考法(三)　由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)
[例3]　(1)(2018·商丘二模)设曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1,2] B．(3，＋∞)
C. D.
(2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.
[解析]　(1)由f(x)＝－ex－x，得f′(x)＝－ex－1，
∵ex＋1>1，∴∈(0,1)．由g(x)＝3ax＋2cos x，得g′(x)＝3a－2sin x，又－2sin x∈[－2,2]，∴3a－2sin x∈[－2＋3a，2＋3a]．要使过曲线f(x)＝－ex－x上任意一点的切线l1，总存在过曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则
解得－≤a≤.
(2)∵y′＝(ax＋a＋1)ex，
∴当x＝0时，y′＝a＋1，
∴a＋1＝－2，解得a＝－3.
[答案]　(1)D　(2)－3

考法(四)　两曲线的公切线问题
[例4]　已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________．
[解析]　由f(x)＝x3＋ax＋，得f′(x)＝3x2＋a.
∵f′(0)＝a，f(0)＝，
∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－＝ax.
设直线y－＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)，g′(x)＝－，
∴
将②代入①得ln x0＝，
∴x0＝e，∴a＝－＝－e－.
[答案]　－e－
[规律探求]
看个性
考法(一)是求曲线的切线方程，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.
考法(二)是求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点坐标．
考法(三)是由切线求参数的值(范围)，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．
考法(四)是曲线的公切线问题．解决此类问题通常有两种方法：一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝
找共性
1.解题口诀归纳

2.求曲线的切线注意点
(1)“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的切线方程”是不相同的，后者A必为切点，前者未必是切点；
(2)曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个

[过关训练]
1．[口诀第1、2句]曲线y＝在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．1
解析：选B　因为y′＝，所以y′x＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝2x，即y＝2x－1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×|－1|×＝.
2．[口诀第3、4句]已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值为________．
解析：由题意知y′＝aex＋1＝2，则a>0，x＝－ln a，代入曲线方程得y＝1－ln a，所以切线方程为y－(1－ln a)＝2(x＋ln a)，即y＝2x＋ln a＋1＝2x＋1⇒a＝1.
答案：1
3．[口诀第3、4句]若一直线与曲线y＝和曲线x2＝ay(a>0)相切于同一点P，则a的值为________．
解析：设切点P(x0，y0)，则由y＝ln x，得y′＝，
由x2＝ay，得y′＝x，则有解得a＝2e.
答案：2e
考点三定积分的运算及应用[基础自学过关]
[题组练透]
1. (sin x－cos x)dx＝________.
解析： (sin x－cos x)dx
＝sin xdx－cos xdx＝－cos x－sin x
＝2.
答案：2
2. dx＋dx＝________.
解析：dx＝ln x＝1－0＝1，因为dx表示的是圆x2＋y2＝4在x轴及其上方的面积，故dx＝π×22＝2π，故答案为2π＋1.
答案：2π＋1
3．由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积为____________．
解析：法一：画出草图，如图所示．

解方程组及得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
所以所求图形的面积
S＝dx＋dx
＝dx＋dx
＝＋
＝＋6－×9－2＋＝.
法二：如图所求阴影的面积就是三角形OAB的面积减去由y轴，y＝，y＝2－x围成的曲边三角形的面积，即

S＝×2×3－ (2－x－)dx
＝3－
＝3－＝.
答案：
4．一物体在力F(x) ＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________J.
解析：由题意知，力F(x)所做的功为W＝F(x)dx＝5dx＋(3x＋4)dx＝5×2＋＝10＋＝36(J)．
答案：36
[名师微点]

1．正确选用求定积分的4个常用方法
方法
适用类型
方法解读
定理法
较简单函数
利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数
性质法
绝对值函数、分段函数
利用定积分的性质将积分区间分解为若干部分求解
几何法
函数较复杂且有明显的几何意义
用定积分的几何意义来求，即通过图形中面积的计算来求定积分值的大小
奇偶
性法
函数具有奇偶性
若函数f(x)为偶函数，且在区间[－a，a]上连续，则f(x)dx＝2f(x)dx；若f(x)为奇函数，且在区间[－a，a]上连续，则f(x)dx＝0

2．利用定积分求平面图形面积的4个步骤

3．定积分在物理中的2个应用
(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝v(t)dt.
(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.