2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第四章第八节解三角形的实际应用
展开第八节解三角形的实际应用
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3．方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
区分两种角
(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．
(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
4．坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向．( )
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.( )
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
二、选填题
1.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km B.a km
C.a km D．2a km
解析：选B 在△ABC中，∠ACB＝180°－(20°＋40°)＝120°，∵AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝a2＋a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a(km)，故选B.
2.若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的________方向上．
解析：如图所示，∠ACB＝90°，
又AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，而β＝30°，
∴α＝90°－45°－30°＝15°.
∴点A在点B的北偏西15°.
答案：北偏西15°
3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.
解析：因为∠D＝30°，∠ACB＝60°，
所以∠CAD＝30°，
故CA＝CD＝a，
所以AB＝asin 60°＝.
答案：
考点一测量距离问题[师生共研过关]
[典例精析]
如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.
[解析] 由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，
∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.
又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，
∴PQ＝PA.
在Rt△PAB中，PA＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，
∴P，Q两点间的距离为900 m.
[答案] 900
[解题技法]
1．测量距离问题的实质和解题关键
测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何，实质都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形及其构成元素所知情况不同而已，恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键．
2．求距离问题的类型及方法
求AB | 图形 | 需要测量的元素 | 解法 | |
求水平距离 | 山两侧 | ∠ACB＝α AC＝b BC＝a | 用余弦定理AB＝ | |
河两岸 | ∠ACB＝α ∠ABC＝β CB＝a | 用正弦定理 AB＝ | ||
河对岸 | ∠ADC＝α ∠BDC＝β ∠BCD＝δ ∠ACD＝γ CD＝a | 在△ADC中， AC＝ 在△BDC中， BC＝ 在△ABC中， 应用余弦定理求AB | ||
[过关训练]
如图，隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B之间的距离为________km.
解析：在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，
所以AC＝CD＝.
在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，由正弦定理知BC＝＝.
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝()2＋2－2×××＝3＋2＋－＝5，所以AB＝ ，
所以两目标A，B之间的距离为 km.
答案：
考点二测量高度问题[师生共研过关]
[典例精析]
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
[解析] 在△ABC中，∠CAB＝30°，
∠ACB＝75°－30°＝45°，根据正弦定理知，＝，即BC＝×sin∠BAC＝×＝300.在Rt△BCD中，tan∠DBC＝，所以CD＝BC×tan∠DBC＝300×＝100 (m)．
[答案] 100
[解题技法]
1．测量高度问题常见题型及解法
求AB | 图形 | 需要测量的元素 | 解法 | |
求竖直高度 | 底部可达 | ∠ACB＝α BC＝a | 解直角三角形 AB＝atan α | |
底部不可达 | ∠ACB＝α ∠ADB＝β CD＝a | 解两个直角三角形 AB＝ | ||
2．求解高度问题的3个关注点
(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．
(2)在实际问题中， 可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
[过关训练]
为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1 m，则发射塔高AB＝( )
A．(20＋1)m B．(20＋1)m
C．20 m D．(40＋1)m
解析：选A 如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，则EF＝BC，BF＝CE＝1，∠AEF＝30°.
在△BCD中，由正弦定理得，
BC＝＝＝20，
所以EF＝20.
在Rt△AFE中，
AF＝EF·tan∠AEF＝20×＝20，
所以AB＝AF＋BF＝(20＋1)m.
考点三测量角度问题[师生共研过关]
[典例精析]
已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
[解] 如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x n mile，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°，所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.
又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝，
所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．
[解题技法]
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
[提醒] 方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．
[过关训练]
在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.
根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，
解得x＝2.
故AC＝28，BC＝20.
根据正弦定理得＝，解得sin α＝＝.
所以红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为.
