2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第四章第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β(异名相乘、加减一致)；

(2)cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β(同名相乘、加减相反)；

(3)tan(α±β)＝(两式相除、上同下异)．

(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中α＝β的特殊情况．

(2)二倍角是相对的，如：是的2倍，3α是的2倍.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α；

(2)cos 2α＝cos2α－sin2α

＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(3)tan 2α＝.

[熟记常用结论]

1．公式的常用变式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；tan α·tan β＝1－＝－1.

2．降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α.

3．升幂公式：1＋cos α＝2cos2；1－cos α＝2sin2；1＋sin α＝2；1－sin α＝2.

4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．

5．辅助角公式：一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ).

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)

(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)

(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)

(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

二、选填题

1．cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°＝(　　)

A．－　　　　　　　　 B.

C．－  D.

解析：选D　原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝.

2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)

A．－  B.

C．－  D.

解析：选C　∵α是第三象限角，

∴sin α＝－＝－，

∴sin＝－×＋×＝－.

3．已知tan α＝2，所以tan＝(　　)

A.  B.

C.  D．－3

解析：选B　∵tan α＝2，∴tan＝＝.

4．已知cos x＝，则cos 2x＝________.

解析：∵cos x＝，∴cos 2x＝2cos2x－1＝.

答案：

5．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝________.

解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝

＝＝.

答案：

考点一公式的直接应用[基础自学过关]

 [题组练透]

1．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)

A．－　　　　　　　　　 B.

C.  D．－

解析：选A　因为sin α＝，α∈，

所以cos α＝－＝－，

所以tan α＝＝－.

因为tan(π－β)＝＝－tan β，所以tan β＝－，

则tan(α－β)＝＝－.

2．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为(　　)

A．－  B.

C．－  D.

解析：选A　因为sin α＝＋cos α，即sin α－cos α＝，

所以＝

＝＝＝－，故选A.

3．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．

解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，α∈，

∴cos α＝－，∴sin α＝，tan α＝－，

∴tan 2α＝＝＝.

答案：

4．已知cos＝，x∈.

(1)求sin x的值；

(2)求cos的值．

解：(1)因为x∈，

所以x－∈，

sin＝ ＝.

sin x＝sin＝sincos＋cos·sin＝×＋×＝.

(2)因为x∈，

故cos x＝－＝－ ＝－，

sin 2x＝2sin xcos x＝－，cos 2x＝2cos2x－1＝－.

所以cos＝cos 2xcos－sin 2xsin＝－×＋×＝.

[名师微点]

三角函数公式的应用策略

(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．

(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．

考点二三角函数公式的逆用与变形用[师生共研过关]

[典例精析]

(1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝________.

(2)＝________.

(3)化简＝________.

[解析]　(1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，

可得＝－1，

即tan(A＋B)＝－1，又因为A＋B∈(0，π)，

所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.

(2)＝

＝＝＝.

(3)＝

＝＝－1.

[答案]　(1)　(2)　(3)－1

[解题技法]

两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧

(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．

(2)和差角公式变形：

sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，

cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，

tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)．

(3)倍角公式变形：降幂公式．

[提醒]　tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．

[过关训练]

1．(2019·西安模拟)已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)

A.　　　　　　　　　 B．－

C.  D.

解析：选A　cos2＝＝，∵sin 2α＝，∴cos2＝＝.

2．(2018·益阳模拟)已知cos＋sin α＝，则sin＝________.

解析：由cos＋sin α＝，

可得cos α＋sin α＋sin α＝，

即sin α＋cos α＝，

∴sin＝，即sin＝，

∴sin＝－sin＝－.

答案：－

考点三公式的灵活应用[全析考法过关]

[考法全析]

考法(一)　角的变换

[例1]　(1)(2019·开封模拟)已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　)

A.  B.

C.  D.

(2)(2019·南昌模拟)设α为锐角，若cos＝－，则sin的值为(　　)

A.  B.

C．－  D.

[解析]　(1)cos x＋cos＝cos＋cos＝2coscos＝.

(2)∵α为锐角，∴0＜α＜，＜α＋＜，设β＝α＋，由cos＝－，得sin β＝，sin 2β＝2sin βcos β＝－，cos 2β＝2cos2β－1＝－，

∴sin＝sin＝sin＝sin 2βcos－cos 2βsin＝×－×＝.

[答案]　(1)D　(2)B

考法(二)　三角函数式的变化

[例2]　(1)化简：(0＜θ＜π)．

(2)求值：－sin 10°.

[解]　(1)由θ∈(0，π)，得0＜＜，∴cos＞0，

∴＝ ＝2cos.

又(1＋sin θ＋cos θ)

＝

＝2cos

＝－2coscos θ，

故原式＝＝－cos θ.

(2)原式＝－sin 10°

＝－sin 10°·

＝－sin 10°·

＝－2cos 10°

＝

＝

＝

＝＝.

[规律探求]

[过关训练]

1．已知tan θ＋＝4，则cos2＝(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：选C　由tan θ＋＝4，得＋＝4，即＝4，∴sin θcos θ＝，∴cos2＝＝＝＝＝.

2．(2018·济南一模)若sin＝，A∈，则sin A的值为(　　)

A.  B.

C.或  D.

解析：选B　∵A∈，∴A＋∈，

∴cos＝－ ＝－，

∴sin A＝sin

＝sincos－cossin＝.