2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第四章第四节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用

第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

2.用五点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用五点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

五点法作图的步骤

用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髄是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为.

3．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种方法

两种变换的联系与区别

联系：两种变换方法都是针对x而言的，即x本身加减多少，而不是ωx加减多少．

区别：先平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移)，平移的量是个单位．

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　)

(2)把函数y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx.(　　)

(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)

(4)由图象求函数解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

二、选填题

1．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)

A．2，，　　　　　　　 B．2，，

C．2，，  D．2，，－

解析：选A　由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为.

2．为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　　)

A．向右平移个单位长度　  B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度  D．向左平移个单位长度

解析：选A　函数y＝2sin＝2sin，可由函数y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到．

3．用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是______、______、______、______、______.

答案：　　　　

4.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.

答案：3

5．将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数解析式为________．

解析：函数y＝2sin的最小正周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得函数为y＝2sin＝2sin.

答案：y＝2sin

[典例精析]

某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；

(2)将函数y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象．若函数y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值；

(3)作出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象．

[解]　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：

且函数f(x)的解析式为f(x)＝5sin.

(2)由(1)知f(x)＝5sin，

则g(x)＝5sin.

因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，

令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，

解得x＝＋－θ，k∈Z.

由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，

所以令＋－θ＝，k∈Z，

解得θ＝－，k∈Z.

由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值.

(3)由数据作出函数f(x)在区间上的图象如图所示，

[解题技法]

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象变换的的注意点

常规法主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向．

[过关训练]

1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

解析：选D　易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2.故选D.

2．若ω＞0，函数y＝cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为________．

解析：将函数y＝cos的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝cos的图象．因为所得函数图象与函数y＝sin ωx的图象重合，所以－＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝－－6k(k∈Z)，因为ω＞0，所以当k＝－1时，ω取得最小值.

答案：

[典例精析]

[例1]　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝2sin

B．f(x)＝2sin

C．f(x)＝2sin

D．f(x)＝2sin

[解析]　由题图可知，函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点，最低点，

所以函数的最大值为2，即A＝2.

由图象可得直线x＝－，x＝为相邻的两条对称轴，

所以函数的最小正周期T＝2×＝4π，

故＝4π，解得ω＝.

所以f(x)＝2sin.

把点代入可得2sin＝2，

即sin＝1，所以φ－＝2kπ＋(k∈Z)，

解得φ＝2kπ＋(k∈Z)．

又0＜φ＜π，所以φ＝.

所以f(x)＝2sin.

[答案]　B

[例2]　如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin2(ωx＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为________．

[解析]　因为f(x)＝sin2(ωx＋φ)＝－cos[2(ωx＋φ)]，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝，由题图知＜1，且＞1，即＜T＜2，所以＜ω＜，又因为ω为正整数，所以ω的值为2.

[答案]　2

[解题技法]

确定函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤

(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.

(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.

(3)求φ，常用方法有

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．

[过关训练]

1.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f的值为(　　)

A．－　　　　　　　　 B．－

C．－  D．－1

解析：选D　由图象可得A＝，最小正周期T＝4×＝π，则ω＝＝2.又f＝sin＝－，|φ|＜，得φ＝，则f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1，故选D.

2．(2018·咸阳三模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝2sin

B．f(x)＝2sin

C．f(x)＝2sin

D．f(x)＝2sin

解析：选D　由图象可得，A＝2，

T＝2×[6－(－2)]＝16，

所以ω＝＝＝.

所以f(x)＝2sin.

由函数的对称性得f(2)＝－2，

即f(2)＝2sin＝－2，

即sin＝－1，

所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，

解得φ＝2kπ－(k∈Z)．

因为|φ|＜π，所以φ＝－.

故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.

[典例精析]

据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元，则7月份的出厂价格为________元．

[解析]　作出函数简图如图所示，三角函数模型为：

y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，

由题意知：A＝2 000，B＝7 000，

T＝2×(9－3)＝12，

∴ω＝＝.

将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，

则有×3＋φ＝，∴φ＝0，

故f(x)＝2 000sinx＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．

∴f(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000.

故7月份的出厂价格为6 000元．

[答案]　6 000

[解题技法]

三角函数模型在实际应用中的2种类型及其解题策略

(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系；

(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．

[过关训练]

1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．

解析：设水深的最大值为M，由题意结合函数图象可得解得M＝8，即水深的最大值为8.

答案：8

2．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的月平均气温为________℃.

解析：由题意得即所以y＝23＋5cos，令x＝10，得y＝20.5.

答案：20.5

[典例精析]

已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若将f(x)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调递增区间．

[解]　(1)由函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，得函数f(x)的最小正周期T＝2×＝，解得ω＝1，故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.

(2)将f(x)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度得到函数g(x)＝sin＝sin的图象，根据g(x)的图象恰好经过点，

可得sin＝0，即sin＝0，

所以2m－＝kπ(k∈Z)，m＝＋(k∈Z)，

因为m＞0，

所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为.

此时，g(x)＝sin.

因为x∈，

所以2x＋∈.

当2x＋∈，即x∈时，g(x)单调递增，

当2x＋∈，即x∈时，g(x)单调递增．

综上，g(x)在区间上的单调递增区间是和.

[解题技法]

三角函数图象和性质综合问题的解题策略

(1)图象变换问题

先根据和、差角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式，再进行图象变换．

(2)函数性质问题

求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：

①利用公式T＝(ω＞0)求周期；

②根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；

③根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．

[过关训练]

(2019·济南模拟)已知函数f(x)＝sin＋＋b.

(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0,3]，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)在(1)的条件下，当x∈时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．

解：(1)∵函数f(x)＝sin＋＋b，且函数f(x)的图象关于直线x＝对称，∴2ω·＋＝kπ＋(k∈Z)，且ω∈[0,3]，∴ω＝1.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

(2)由(1)知f(x)＝sin＋＋b.

∵x∈，∴2x＋∈.当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递增；当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递减．

又f(0)＝f，∴当f＞0≥f或f＝0时，函数f(x)有且只有一个零点，即sin≤－b－＜sin或1＋＋b＝0，∴b∈∪.

故实数b的取值范围为∪.