2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第七章第六节数学归纳法

第六节数学归纳法

1．数学归纳法的2个步骤

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)归纳奠基

证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立(初始值n0不一定为1)；

(2)归纳递推

假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．

[注意]　证明当n＝k＋1时命题成立一定会用到归纳假设，即假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，解题时要搞清从n＝k到n＝k＋1增加了哪些项或减少了哪些项．

2．数学归纳法的2个步骤的意义

步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证．

这两个步骤缺一不可，如果只有步骤(1)缺少步骤(2)，无法对n取n0后的数时结论是否正确作出判断；如果只有步骤(2)缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了．

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)

(2)数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明．(　　)

(3)证明当n＝k＋1时命题成立用到归纳假设，即n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立．(　　)

(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

二、选填题

1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)

A．1　　　　　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

解析：选C　三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.

2．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝(　　)

A．a1＋(k－1)d  B.

C．ka1＋d  D．(k＋1)a1＋d

解析：选C　假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.

3．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)

A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋

B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋

C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋

D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋

解析：选D　由f(n)可知，f(n)中共有n2－n＋1项，且n＝2时，f(2)＝＋＋.

4．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)时，第一步应验证的不等式的左边为________．

答案：1＋＋

5．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞成立，起始值应取为n＝________.

解析：不等式的左边＝＝2－，当n＜8时，不等式不成立，故起始值应取n＝8.

答案：8

考点一用数学归纳法证明等式[师生共研过关]

 [典例精析]

用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)．

[证明]　(1)当n＝1时，

左边＝＝，

右边＝＝，

左边＝右边，所以等式成立．

(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，

即＋＋＋…＋＝，

则当n＝k＋1时，

＋＋＋…＋＋

＝＋

＝

＝

＝＝.

所以当n＝k＋1时，等式也成立．

由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立．

[解题技法]

1．数学归纳法证明等式的2个思路

(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．

(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．

2．口诀记忆——记牢“4句话”

[过关训练]

设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．

证明：(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，

右边＝2＝1，左边＝右边，等式成立．

(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，

即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，

那么，当n＝k＋1时，

f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)

＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k

＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，

所以当n＝k＋1时结论仍然成立．

由(1)(2)可知，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．

考点二用数学归纳法证明不等式[师生共研过关]

 [典例精析]

已知函数f(x)＝x－x2，设0＜a1＜，an＋1＝f(an)，n∈N*，证明：an＜.

[证明]　(1)当n＝1时，0＜a1＜，显然结论成立．

因为当x∈时，0＜f(x)≤，

所以0＜a2＝f(a1)≤＜.

故n＝2时，原不等式也成立．

(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，

不等式0＜ak＜成立．

因为f(x)＝x－x2的对称轴方程为x＝，

所以当x∈时，f(x)为增函数．

所以由0＜ak＜≤，

得0＜f(ak)＜f.

于是，0＜ak＋1＝f(ak)＜－·＋－＝－＜.

所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．

由(1)(2)可知，对任何n∈N*，不等式an＜成立．

[解题技法]

用数学归纳法证明不等式应注意的2个问题

(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，用其他方法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．

(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．运用放缩法时，要注意放缩的“度”．

[过关训练]

设整数p＞1，n∈N*.证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px.

证明：(1)当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，原不等式成立．

(2)假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k＞1＋kx成立．

当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k＞(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1)x.

所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．

综合(1)(2)可得，当x＞－1，且x≠0时，对一切正整数p＞1，不等式(1＋x)p＞1＋px均成立．

考点三归纳—猜想—证明[师生共研过关]

 [典例精析]

已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an＞0，n∈N*.

(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；

(2)证明通项公式的正确性．

[解]　(1)当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，

即a＋2a1－2＝0.

∴a1＝－1(a1＞0)．

当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，

将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.

∴a2＝－(a2＞0)．同理可得a3＝－.

猜想an＝－(n∈N*)．

(2)证明：①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．

②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，

即ak＝－.

由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，

将ak＝－代入上式，

整理得a＋2 ak＋1－2＝0，

∴ak＋1＝－，

即n＝k＋1时通项公式成立．

由①②可知对所有n∈N*，an＝－都成立．

[解题技法]

归纳—猜想—证明的应用策略

(1)一般思路：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．

(2)基本步骤：“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段该部分与数列结合的问题是最常见的问题．

[过关训练]

已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.

(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；

(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．

解：(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；

当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)＜g(2)；

当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，所以f(3)＜g(3)．

(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．

①当n＝1,2,3时，不等式显然成立，

②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时不等式成立，

即1＋＋＋＋…＋＜－.

那么，当n＝k＋1时，

f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋.

因为f(k＋1)－g(k＋1)＜－＋－＝－

＝－＝＜0，

所以f(k＋1)＜g(k＋1)．

由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．