2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第七章第三节基本不等式

第三节基本不等式

1．基本不等式≤

(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；

(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)2≤(a，b∈R)；

(5)≤≤≤ (a＞0，b＞0)．

3．算术平均数与几何平均数

设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x＞0，y＞0，则

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．

(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．

注：1此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.

2连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)当a≥0，b≥0时，≥.(　　)

(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　)

(3)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　)

(4)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

二、选填题

1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)

A．80　　　　　　　　　 B．77

C．81  D．82

答案：C

2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(　　)

A．a＜b＜＜  B．a＜＜＜b

C．a＜＜b＜  D.＜a＜＜b

解析：选B　因为0＜a＜b，所以a－＝(－)＜0，故a＜；b－＝＞0，故b＞；由基本不等式知＞，综上所述，a＜＜＜b，故选B.

3．函数f(x)＝x＋的值域为(　　)

A．[－2,2]  B．[2，＋∞)

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)  D．R

解析：选C　当x＞0时，x＋≥2 ＝2.

当x＜0时，－x＞0.

－x＋≥2 ＝2.

所以x＋≤－2.

所以f(x)＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

4．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．

答案：2

5．若x＞1，则x＋的最小值为________．

解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.

当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．

答案：5

(一)　拼凑法——利用基本不等式求最值

[例1]　(1)已知0＜x＜1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．

(2)已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．

(3)函数y＝(x＞1)的最小值为________．

[解析]　(1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·2＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．故所求x的值为.

(2)因为x＜，所以5－4x＞0，

则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号．

故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.

(3)y＝＝

＝

＝(x－1)＋＋2≥2＋2.

当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号．

[答案]　(1)　(2)1　(3)2＋2

通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点

拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．　　

(二)　常数代换法——利用基本不等式求最值

[例2]　已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．

[解析]　因为a＋b＝1，

所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2 ＝2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时，取等号．

[答案]　4

1．(变条件)将条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则＋的最小值为________．

解析：因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1.

所以＋＝

＝＋＋＋≥1＋2

＝1＋.当且仅当a＝b时，取等号．

答案：1＋

2．(变设问)保持本例条件不变，则的最小值为________．

解析：＝

＝＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号．

答案：9

通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；

(2)把确定的定值(常数)变形为1；

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；

(4)利用基本不等式求解最值．　　

(三)　消元法——利用基本不等式求最值

[例3]　已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．

[解析]　法一(换元消元法)：由已知得x＋3y＝9－xy，

因为x＞0，y＞0，所以x＋3y≥2，

所以3xy≤2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.

令x＋3y＝t，则t＞0且t2＋12t－108≥0，

得t≥6，即x＋3y的最小值为6.

法二(代入消元法)：由x＋3y＋xy＝9，

得x＝，

所以x＋3y＝＋3y＝

＝＝

＝3(1＋y)＋－6≥2 －6

＝12－6＝6.即x＋3y的最小值为6.

[答案]　6

通过消元法利用基本不等式求最值的策略

当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．　　

(四)　利用两次基本不等式求最值

[例4]　已知a＞b＞0，那么a2＋的最小值为________．

[解析]　由a＞b＞0，得a－b＞0，

∴b(a－b)≤2＝.

∴a2＋≥a2＋≥2 ＝4，

当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号．

∴a2＋的最小值为4.

[答案]　4

两次利用基本不等式求最值的注意点

当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．　　

[过关训练]

1．(2019·常州调研)若实数x满足x＞－4，则函数f(x)＝x＋的最小值为________．

解析：∵x＞－4，∴x＋4＞0，

∴f(x)＝x＋＝x＋4＋－4≥2 －4＝2，

当且仅当x＋4＝，即x＝－1时取等号．

故函数f(x)＝x＋的最小值为2.

答案：2

2．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是________．

解析：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，

所以y＝.

由即解得0＜x＜1.

所以x＋2y＝x＋＝＋≥2 ＝，

当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．

故x＋2y的最小值为.

答案：

[典例精析]

某厂家拟定在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

[解]　(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，

所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－，

每件产品的销售价格为1.5×(元)，

所以2019年的利润y＝1.5x×－8－16x－m

＝－＋29(m≥0)．

(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，

所以y≤－8＋29＝21，

当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，

ymax＝21(万元)．

故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．

[解题技法]

利用基本不等式解决实际问题的3个注意点

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．

(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

[过关训练]

1．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.

解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，

由题知0＜x＜10，则面积S＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2.

答案：25

2．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝

(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？

(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？

解：(1)当x∈[50,80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，当x＝65时，y有最小值，为×675＝9，当x∈[80,120]时，函数y＝12－单调递减，故当x＝120时，y有最小值，为10，因为9＜10，所以该型号汽车的速度为65 km/h时，每小时耗油量最低．

(2)设总耗油量为l，由题意可知l＝y·，当x∈[50,80)时，l＝y·＝≥＝16，当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16.当x∈[80,120]时，l＝y·＝－2为减函数，故当x＝120时，l取得最小值，最小值为10，因为10＜16，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少．

[典例精析]

(1)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b＞0，c＞0)经过圆C：x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是(　　)

A．9　　　  B．8　　　 　C．4　　　 　D．2

(2)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．

[解析]　(1)把圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程为x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0,1)．

因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，

所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.又b＞0，c＞0，

因此＋＝(b＋c)＝＋＋5≥2 ＋5＝9.

当且仅当b＝2c，且b＋c＝1，

即b＝，c＝时，＋取得最小值9.

(2)由题意an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，

所以＝

＝≥＝，

当且仅当n＝4时取等号．

所以的最小值是.

[答案]　(1)A　(2)

[解题技法]

利用基本不等式解题的策略

(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．

(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．

(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．

[过关训练]

1．已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(　　)

A.　　　　　　　　　　　 B.

C．1  D．2

解析：选C　由题意可得a＞0，

①当x＞0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，

当且仅当x＝时取等号；

②当x＜0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，

当且仅当x＝－时取等号，

所以解得a＝1，故选C.

2．已知向量a＝(m,1)，b＝(4－n,2)，m＞0，n＞0，若a∥b，则＋的最小值为________．

解析：∵a∥b，∴4－n－2m＝0，即2m＋n＝4.∵m＞0，n＞0，∴＋＝(n＋2m)＝×≥×＝，当且仅当4m＝n＝时取等号．∴＋的最小值是.

答案：