2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第七章第二节二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题

第二节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

❶画二元一次不等式(组)表示的平面区域时，一般步骤为：直线定界，虚实分明；特殊点定域，优选原点；阴影表示．

注意不等式中有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．特殊点一般选一个，当直线不过原点时，优先选原点．

❷如果目标函数存在一个最优解，那么最优解通常在可行域的顶点处取得；如果目标函数存在多个最优解，那么最优解一般在可行域的边界上取得.

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域

2．简单的线性规划中的基本概念

[熟记常用结论]

(1)把直线ax＋by＝0向上平移时，直线ax＋by＝z在y轴上的截距逐渐增大，且b＞0时z的值逐渐增大，b＜0时z的值逐渐减小．

(2)把直线ax＋by＝0向下平移时，直线ax＋by＝z在y轴上的截距逐渐减小，且b＞0时z的值逐渐减小，b＜0时z的值逐渐增大．

以上规律可简记为：当b＞0时，直线向上平移z变大，向下平移z变小；当b＜0时，直线向上平移z变小，向下平移z变大．

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　)

(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．(　　)

(3)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×

二、选填题

1．不等式组表示的平面区域是(　　)

解析：选C　x－3y＋6＜0表示直线x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C所示阴影部分．

2．不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)

A.　　　　　　　　　B.

C.  D.

解析：选C　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．

解可得A(1,1)，

易得B(0,4)，C，

|BC|＝4－＝.

∴S△ABC＝××1＝.

3．(2018·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为(　　)

A．6  B．19

C．21  D．45

解析：选C　作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z＝3x＋5y得y＝－x＋.

设直线l0为y＝－x，平移直线l0，当直线y＝－x＋过点P时，z取得最大值．

联立解得

即P(2,3)，所以zmax＝3×2＋5×3＝21.

4．若点(m,1)在不等式2x＋3y－5＞0所表示的平面区域内，则m的取值范围是________．

解析：∵点(m,1)在不等式2x＋3y－5＞0所表示的平面区域内，∴2m＋3－5＞0，即m＞1.

答案：(1，＋∞)

5．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为________．

解析：根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0，即(a＋7)·(a－24)＜0，

解得－7＜a＜24.

答案：(－7,24)

[典例精析]

(1)不等式组表示的平面区域的面积为(　　)

A．4　　　　　　　　　　 B．1

C．5  D．无穷大

(2)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B．(0,1]

C.  D．(0,1]∪

[解析]　(1)作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，△ABC的面积即所求．求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2，2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.

(2)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．

由得A，

由得B(1,0)．

若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中a的取值范围是0＜a≤1或a≥.

[答案]　(1)B　(2)D

[解题技法]

1．求平面区域面积的方法

(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；

(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高．若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解．若为不规则四边形，可分割成几个规则图形分别求解再求和即可．

2．平面区域的形状问题两种题型及解法

(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；

(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．

[过关训练]

1．(2019·漳州调研)若不等式组所表示的平面区域被直线l：mx－y＋m＋1＝0分为面积相等的两部分，则m＝(　　)

A.  B．2

C．－  D．－2

解析：选A　由题意可画出可行域为△ABC及其内部所表示的平面区域，如图所示．

联立可行域边界所在直线方程，可得A(－1,1)，B，C(4,6)．因为直线l：y＝m(x＋1)＋1过定点A(－1,1)，直线l将△ABC分为面积相等的两部分，所以直线l过边BC的中点D，易得D，代入mx－y＋m＋1＝0，得m＝，故选A.

2．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为________．

解析：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，即m＞－1，所围成的区域为△ABC，S△ABC＝S△ADC－S△BDC.

点A的纵坐标为1＋m，点B的纵坐标为(1＋m)，C，D两点的横坐标分别为2，－2m，

所以S△ABC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)2＝，

解得m＝－3(舍去)或m＝1.

答案：1

[考法全析]

考法(一)　求线性目标函数的最值

[例1]　(2018·郑州第一次质量预测)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x－y的最小值为________．

[解析]　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y＝2x，平移该直线，易知当直线经过A(1,3)时，z最小，zmin＝2×1－3＝－1.

[答案]　－1

考法(二)　求非线性目标函数的最值

[例2]　若实数x，y满足则的取值范围为________．

[解析]　作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示．

z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，

因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)

由得B(1,2)，

所以kOB＝＝2，即zmin＝2，

所以z的取值范围是[2，＋∞)．

[答案]　[2，＋∞)

1．(变设问)本例条件不变，则目标函数z＝x2＋y2的取值范围为________．

解析：z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．

因此x2＋y2的最小值为OA2，最大值为OB2.

易知A(0,1)，所以OA2＝1，

OB2＝12＋22＝5，所以z的取值范围是[1,5]．

答案：[1,5]

2．(变设问)本例条件不变，则目标函数z＝的取值范围为________．

解析：z＝可以看作点P(1,1)与平面内任一点(x，y)连线的斜率．易知点P(1,1)与A(0,1)连线的斜率最大，为0.无最小值．

所以z的取值范围是(－∞，0]．

答案：(－∞，0]

考法(三)　求参数值或取值范围

[例3]　(2019·黄冈模拟)已知x，y满足约束条件且z＝x＋3y的最小值为2，则常数k＝________.

[解析]　作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

由z＝x＋3y得y＝－x＋，结合图形可知当直线y＝－x＋过点A时，z最小，联立方程得A(2，－2－k)，此时zmin＝2＋3(－2－k)＝2，解得k＝－2.

[答案]　－2

[规律探求]

 [过关训练]

1．(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．

解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．

由z＝3x＋2y，得y＝－x＋.作直线l0：y＝－x.

平移直线l0，当直线y＝－x＋过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.

答案：6

2．(2019·陕西教学质量检测)已知x，y满足约束条件若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则z的最小值为________．

解析：画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：3x＋y＝0，平移l，从而可知经过C点时z取到最大值，

由解得

∴2×3－1－m＝0，m＝5.

由图知，平移l经过B点时，z最小，

∴当x＝2，y＝2×2－5＝－1时，z最小，zmin＝3×2－1＝5.

答案：5

[典例精析]

(2018·福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1 500元，生产一张桌子的利润为2 000元．该厂每个月木工最多完成8 000个工作时、漆工最多完成1 300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．

[解析]　设该厂每个月生产x把椅子，y张桌子，利润为z元，则得约束条件z＝1 500x＋2 000y.

画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线3x＋4y＝0，平移该直线，可知当该直线经过点P时，z取得最大值．由得即P(200，900)，所以zmax＝1 500×200＋2 000×900＝2 100 000.故每个月所获得的最大利润为2 100 000元．

[答案]　2 100 000

[解题技法]

解线性规划应用题的一般步骤：

(1)分析题意，设出未知量；

(2)列出约束条件和目标函数；

(3)作出平面区域；

(4)判断最优解；

(5)根据实际问题作答．

[过关训练]

1．(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)某企业生产甲、乙两种产品均需要A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为(　　)

A．16万元　　　　　　　　 B．17万元

C．18万元  D．19万元

解析：选C　设该企业每天生产x吨甲产品，y吨乙产品，可获得利润为z万元，则z＝3x＋4y，且x，y满足不等式组

作出不等式组表

示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，可知当直线经过点B(2,3)时，z取得最大值，zmax＝3×2＋4×3＝18(万元)．故选C.

2．某高新技术公司要生产一批新研发的A款产品和B款产品，生产一台A款产品需要甲材料3 kg，乙材料1 kg，并且需要花费1天时间，生产一台B款产品需要甲材料1 kg，乙材料3 kg，也需要1天时间，已知生产一台A款产品的利润是1 000元，生产一台B款产品的利润是2 000元，公司目前有甲、乙材料各300 kg，则在不超过120天的情况下，公司生产两款产品的最大利润是________元．

解析：设分别生产A款产品和B款产品x，y台，利润之和为z元，则根据题意可得目标函数为z＝1 000x＋2 000 y．画出可行域如图所示，

由图可知，当直线y＝－＋经过点M时，z取得最大值．联立得M(30,90)．所以当x＝30，y＝90时，目标函数取得最大值，zmax＝30×1 000＋90×2 000＝210 000.

答案：210 000