2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第九章第八节曲线与方程

第八节曲线与方程

1．曲线与方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线❶.

2．求动点轨迹方程的一般步骤

(1)建立适当的坐标系❷，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；

(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}❸；

(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；

(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；

(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

(1)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0, 那么点P0(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.

(2)“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件.

坐标系建立的不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲线．

有时此过程可根据实际情况省略，直接列出曲线方程．

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　　)

(2)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．(　　)

(3)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×

二、选填题

1．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足·＝0，则P点的轨迹是(　　)

A．圆　　　　　　　　 B．椭圆

C．双曲线 D．抛物线

答案：A

2．平面内到点(1,1)与到直线x＋2y－3＝0的距离相等的点的轨迹是(　　)

A．椭圆 B.双曲线

C．抛物线 D．一条直线

答案：D

3．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则P点的轨迹方程是(　　)

A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0

B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0

C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0

D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0

解析：选A　设P点的坐标为(x，y)，

则＝3，

整理得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.

4．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是________________．

解析：因为抛物线x2＝4y的焦点F(0,1)，设线段PF的中点坐标是(x，y)，则P(2x,2y－1)在抛物线x2＝4y上，所以(2x)2＝4(2y－1)，化简得x2＝2y－1.

答案：x2＝2y－1

5．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是________________．

解析：由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)则P(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.

答案：2x－y＋5＝0

类型一  直接法求轨迹方程[基础自学过关]

[题组练透]

1．已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为(　　)

A．x2＝4y　　　　　　　 B．y2＝3x

C．x2＝2y D．y2＝4x

解析：选A　设点P(x，y)，则Q(x，－1)．

∵·＝·，

∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，

即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，

∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.

2．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－.则动点P的轨迹方程为________________．

解析：因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称，

所以点B的坐标为(1，－1)．

设点P的坐标为(x，y)，由题意得·＝－，

化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)．

故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．

答案：x2＋3y2＝4(x≠±1)

3．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为____________________．

解析：设A(x，y)，由题意可知D.

∵|CD|＝3，∴2＋2＝9，

即(x－10)2＋y2＝36，

由于A，B，C三点不共线，

∴点A不能落在x轴上，即y≠0，

∴点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．

答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0)

[名师微点]

直接法求曲线方程的关键点和注意点

(1)关键点：直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤，但最后的证明可以省略．

(2)注意点：求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．

[提醒]　对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明可以省略，必要时可说明x，y的取值范围．

类型二  定义法求轨迹方程[师生共研过关]

 [典例精析]

已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．

[解]　由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.

因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．

[解题技法]

定义法求曲线方程的2种策略

(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．

(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解．

[过关训练]

如图，已知△ABC的两顶点坐标A(－1，0)，B(1,0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M，求曲线M的方程．

解：由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，

所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)．

设曲线M：＋＝1(a＞b＞0，y≠0)，

则a2＝4，b2＝a2－2＝3，

所以曲线M的方程为＋＝1(y≠0).

类型三  代入法(相关点)求轨迹方程[师生共研过关]

[典例精析]

如图所示，抛物线E：y2＝2px(p＞0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.

(1)求p的值；

(2)求动点M的轨迹方程．

[解]　(1)由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2,2)，代入y2＝2px，解得p＝1.

(2)由(1)知抛物线E：y2＝2x，

设C，D，y1≠0，y2≠0.切线l1的斜率为k，则切线l1：y－y1＝k，

代入y2＝2x，得ky2－2y＋2y1－ky＝0，

由Δ＝0，解得k＝，∴l1的方程为y＝x＋，

同理l2的方程为y＝x＋.

联立解得

易知CD的方程为x0x＋y0y＝8，

其中x0，y0满足x＋y＝8，x0∈[2,2 ]，

由得x0y2＋2y0y－16＝0，

则代入

可得M(x，y)满足可得

代入x＋y＝8，并化简，得－y2＝1.

考虑到x0∈[2,2]，知x∈[－4，－2]，

∴动点M的轨迹方程为－y2＝1，x∈[－4，－2]．

[解题技法]

“相关点法”求轨迹方程的基本步骤

(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；

(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式

(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．

[过关训练]

已知曲线E：ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)，经过点M的直线l与曲线E交于点A，B，且＝－2.若点B的坐标为(0,2)，求曲线E的方程．

解：设A(x0，y0)，∵B(0,2)，M，

故＝，＝.

由于＝－2，∴＝－2.

∴x0＝，y0＝－1，即A.

∵A，B都在曲线E上，

∴解得

∴曲线E的方程为x2＋＝1.