2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第九章第三节圆的方程

第三节圆的方程

1．圆的定义及方程

如果没给出r＞0，则圆的半径为|r|.

当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．

2．点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.

(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.

(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.

[熟记常用结论]

(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是

(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)

(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(　　)

(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆．(　　)

(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

二、选填题

1．圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)

A．(x－1)2＋(y－1)2＝1　 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

解析：选D　由题意得圆的半径为，故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D.

2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)

A．(2,3) B.(－2,3)

C．(－2，－3) D．(2，－3)

解析：选D　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．

3．若点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是(　　)

A．(－1,1) B.(0,1)

C. D.

解析：选D　由(2a)2＋(a－2)2＜5，得－＜a＜1.

4．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．

解析：若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜.

答案：

5．圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是________．

解析：根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.

答案：x2＋(y－2)2＝1

[典例精析]

[例1]　已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　)

A.2＋y2＝　　 B.2＋y2＝

C.2＋y2＝ D.2＋y2＝

[解析]　法一：(待定系数法)设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则由题意得解得所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0，即2＋y2＝.

法二：(几何法)因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．

又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为.

则圆E的半径为|EB|＝ ＝，所以圆E的标准方程为2＋y2＝.

[答案]　C

[例2]　圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________________________．

[解析]　法一：(几何法)设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．

又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，

即＝，解得a＝－2，

所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝，

故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.

法二：(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

由题意得

解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，

故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.

[答案]　(x＋1)2＋(y＋2)2＝10

[解题技法]

1．求圆的方程的两种方法

[提醒]　解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．

2．确定圆心位置的方法

(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．

(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．

(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．

[过关训练]

1．若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，则a的值为________．

解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，

分别代入A，B，C三点坐标，

得解得

所以A，B，C三点确定的圆的方程为

x2＋y2－4x－y－5＝0.

因为D(a,3)也在此圆上，所以a2＋9－4a－25－5＝0.

所以a＝7或a＝－3(舍去)．即a的值为7.

答案：7

2．已知圆心在直线y＝－x＋1上，且与直线x＋y－2＝0相切于点(1,1)的圆的方程为________________________．

解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，

则解得

所以r＝ ＝.

故所求圆的方程为2＋2＝.

答案：2＋2＝

[考法全析]

考法(一)　斜率型最值问题

[例1]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．

[解]　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，

表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．

的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

所以设＝k，即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，

此时＝，解得k＝±.

所以的最大值为，最小值为－.

考法(二)　截距型最值问题

[例2]　已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，求x＋y的最大值与最小值．

[解]　(转化为截距的最值问题求解)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆C相切时，b取得最大值或最小值，如图所示．

由圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆C的半径，可得＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.

考法(三)　距离型最值问题

[例3]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大值和最小值．

[解]　如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为＝2，

所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，

x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.

考法(四)　利用对称性求最值

[例4]　已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．

[解析]　因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，

故圆C是以C(2,1)为圆心，半径r＝的圆．

设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，

故解得故A′(－4，－2)．

连接A′C交圆C于Q(图略)，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2.

[答案]　2

[规律探求]

[过关训练]

1．已知点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆C：(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是(　　)

A．2,2－　　　　　　　 B．2＋，2－

C.，4－ D.＋1，－1

解析：选B　由题意知|AB|＝＝，

lAB：2x－y＋2＝0，由题意知圆C的圆心坐标为(1,0)，

∴圆心到直线lAB的距离d＝＝.

∴S△PAB的最大值为××＝2＋，

S△PAB的最小值为××＝2－.

2．设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．

解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1,1)，半径r＝1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，|PC|最小时为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2.所以四边形PACB面积的最小值为＝＝.

答案：

[典例精析]

已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．

(1)求直角顶点C的轨迹方程；

(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程．

[解]　(1)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.

因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．

(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.

由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，

将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，

即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．

因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．

 [解题技法]

求与圆有关轨迹问题的3种方法

(1)直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程．

(2)定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程．

(3)代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程．

[过关训练]

1．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)

A．8x－6y－21＝0　　　　　 B．8x＋6y－21＝0

C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0

解析：选D　由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.

2．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，

则线段OP的中点坐标为，

线段MN的中点坐标为.

因为平行四边形的对角线互相平分，

所以＝，＝，整理得

又点N(x＋3，y－4)在圆x2＋y2＝4上，

所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.

所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆.