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2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第九章第五节椭圆第一课时 椭圆及其性质
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第五节椭__圆
1．椭圆的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．
(1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆；
(2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2；
(3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
x∈[－a，a]， y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，y∈[－a，a]
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆越接近圆；当e＝0时，c＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆.
[熟记常用结论]
1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(3)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(4)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
二、选填题
1．椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为( )
A．12 B．16
C．20 D．24
解析：选C △F1AB的周长为|F1A|＋|F1B|＋|AB|＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|＝2a＋2a＝4a.
∵在椭圆＋＝1中，a2＝25，即a＝5，
∴△F1AB的周长为4a＝20.故选C.
2．椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 不妨设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则2a＝2b×3，即a＝3b.∴a2＝9b2＝9(a2－c2)．
即＝，∴e＝＝.故选D.
3．椭圆C的一个焦点为F1(0,1)，并且经过点P，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选D 由题意可设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，且另一个焦点为F2(0，－1)，
所以2a＝|PF1|＋|PF2|
＝ ＋ ＝4.
所以a＝2，又c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3.
故椭圆C的标准方程为＋＝1.故选D.
4．已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝________.
解析：依题意有25－m2＝16，∴m2＝9，∵m＞0，∴m＝3.
答案：3
5．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是______________．
解析：由已知得
解得3＜k＜5且k≠4.
答案：(3,4)∪(4,5)
第一课时 椭圆及其性质
[典例精析]
(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.
(3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
[解析] (1)设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则
∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，
∴S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.
(3)椭圆方程化为＋＝1，
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，
∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，
∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.
[答案] (1)D (2)3 (3)6＋ 6－
1．在本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，则该椭圆的方程为________________．
解析：由原题得b2＝a2－c2＝9，
又2a＋2c＝18，
所以a－c＝1，解得a＝5，
故椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
2．(变条件)将本例(2)中的条件“⊥”“△PF1F2的面积为9”变为“∠F1PF2＝60° ”，“＝3”，则b的值为________．
解析：因为|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60° ，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60° ＝|F1F2|2，
即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，
所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝b2，
又因为＝|PF1||PF2|sin 60° ＝×b2×＝b2＝3，
所以b＝3.
答案：3
[解题技法]
椭圆定义的应用技巧
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．
[过关训练]
1.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A．椭圆 B.双曲线
C．抛物线 D．圆
解析：选A 连接QA(图略)．由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，得点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．
2．(2018·惠州模拟)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝，故选D.
3．(2019·合肥质量检测)如图，椭圆＋＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为( )
A．20 B.10
C．2 D．4
解析：选D 由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(－c,0)，∴点N的横坐标为c，联立方程得得N，∴H，M.把点M的坐标代入椭圆方程得＋＝1，化简得c2＝，又c2＝a2－4，∴＝a2－4，解得a2＝5，∴a＝.由椭圆的定义知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周长为|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4，故选D.
[典例精析]
(1)(2019·黄冈模拟)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的方程为____________________．
(3)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________________．
[解析] (1)由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90° ，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，
由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8，
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，
从而a＝7，a2＝49，
于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，
∴椭圆C的方程为＋＝1，故选C.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
由解得m＝，n＝.
所以椭圆方程为＋＝1.
(3)法一：定义法
椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义，知2a＝＋，
解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：待定系数法
∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，
∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在所求椭圆上，
∴＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[答案] (1)C (2)＋＝1 (3)＋＝1
[解题技法]
根据条件求椭圆方程的2种方法
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程
待定系数法
待定系数法是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系数法求出m，n的值即可
[过关训练]
1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A 由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，
又＝＝，所以c＝1，所以b2＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选A.
2．(2019·安徽江南十校模拟)已知椭圆G的中心为坐标原点O，点F，B分别为椭圆G的右焦点和短轴端点．点O到直线BF的距离为，过F垂直于椭圆长轴的弦长为2，则椭圆G的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知设BF的方程为＋＝1，因为点O到直线BF的距离为.所以＝，又因为过F垂直于椭圆长轴的弦长为2，所以＝2，结合a2＝b2＋c2，知a＝4，b＝2，故选C.
[考法全析]
考法(一) 求椭圆的离心率的值(范围)
[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
(2)(2019·福州模拟)过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝.
(2)由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤ ，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.故选A.
[答案] (1)D (2)A
考法(二) 与椭圆有关的范围(最值)问题
[例2] P为椭圆＋＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝4的任意一条直径，则·的取值范围是( )
A．[0,15] B.[5,15]
C．[5,21] D．(5,21)
[解析] 由题意知圆N的圆心N(1,0)恰好是椭圆的右焦点，因为·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－4，因为a－c≤||≤a＋c，即3≤||≤5，所以·的取值范围是[5,21]．
[答案] C
[规律探求]
看个性
考法(一)求椭圆离心率的值(范围)，其方法为
(1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e＝求解．
(2)方程法：根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
考法(二)与椭圆有关的最值(范围)问题
与椭圆有关的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，所以在求与椭圆有关的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系
[口诀记忆]
离心率，不用愁，
寻找等式消b求；
几何图形寻踪迹，
等式藏在图形中．
找共性
1.无论题型如何变化，都是围绕椭圆的几何性质，外加其他条件来考查，所以理清椭圆的几个关键点(顶点、原点、焦点、对称轴)和灵活应用几个公式，理清a，b，c的内在联系(a，b，c的关系式―→构造a，c的齐次方程或不等式)，便可以不变应万变．
2.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形
[过关训练]
1．(2019·温州模拟)正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意，作出示意图如图所示．
根据对称性可知B，D在直线y＝x上，设D(m，m)，则＋＝1，即m2＝＞c2⇒b2＞ac，整理得c2＋ac－a2＜0，即e2＋e－1＜0，解得0＜e＜.
2．(2018·南充模拟)已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________．
解析：由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则＝3，所以b2＝3，即b＝.
答案：
第五节椭__圆
1．椭圆的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．
(1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆；
(2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2；
(3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
x∈[－a，a]， y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，y∈[－a，a]
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆越接近圆；当e＝0时，c＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆.
[熟记常用结论]
1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(3)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(4)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
二、选填题
1．椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为( )
A．12 B．16
C．20 D．24
解析：选C △F1AB的周长为|F1A|＋|F1B|＋|AB|＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|＝2a＋2a＝4a.
∵在椭圆＋＝1中，a2＝25，即a＝5，
∴△F1AB的周长为4a＝20.故选C.
2．椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 不妨设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则2a＝2b×3，即a＝3b.∴a2＝9b2＝9(a2－c2)．
即＝，∴e＝＝.故选D.
3．椭圆C的一个焦点为F1(0,1)，并且经过点P，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选D 由题意可设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，且另一个焦点为F2(0，－1)，
所以2a＝|PF1|＋|PF2|
＝ ＋ ＝4.
所以a＝2，又c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3.
故椭圆C的标准方程为＋＝1.故选D.
4．已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝________.
解析：依题意有25－m2＝16，∴m2＝9，∵m＞0，∴m＝3.
答案：3
5．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是______________．
解析：由已知得
解得3＜k＜5且k≠4.
答案：(3,4)∪(4,5)
第一课时 椭圆及其性质
[典例精析]
(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.
(3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
[解析] (1)设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则
∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，
∴S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.
(3)椭圆方程化为＋＝1，
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，
∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，
∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.
[答案] (1)D (2)3 (3)6＋ 6－
1．在本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，则该椭圆的方程为________________．
解析：由原题得b2＝a2－c2＝9，
又2a＋2c＝18，
所以a－c＝1，解得a＝5，
故椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
2．(变条件)将本例(2)中的条件“⊥”“△PF1F2的面积为9”变为“∠F1PF2＝60° ”，“＝3”，则b的值为________．
解析：因为|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60° ，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60° ＝|F1F2|2，
即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，
所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝b2，
又因为＝|PF1||PF2|sin 60° ＝×b2×＝b2＝3，
所以b＝3.
答案：3
[解题技法]
椭圆定义的应用技巧
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．
[过关训练]
1.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A．椭圆 B.双曲线
C．抛物线 D．圆
解析：选A 连接QA(图略)．由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，得点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．
2．(2018·惠州模拟)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝，故选D.
3．(2019·合肥质量检测)如图，椭圆＋＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为( )
A．20 B.10
C．2 D．4
解析：选D 由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(－c,0)，∴点N的横坐标为c，联立方程得得N，∴H，M.把点M的坐标代入椭圆方程得＋＝1，化简得c2＝，又c2＝a2－4，∴＝a2－4，解得a2＝5，∴a＝.由椭圆的定义知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周长为|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4，故选D.
[典例精析]
(1)(2019·黄冈模拟)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的方程为____________________．
(3)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________________．
[解析] (1)由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90° ，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，
由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8，
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，
从而a＝7，a2＝49，
于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，
∴椭圆C的方程为＋＝1，故选C.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
由解得m＝，n＝.
所以椭圆方程为＋＝1.
(3)法一：定义法
椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义，知2a＝＋，
解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：待定系数法
∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，
∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在所求椭圆上，
∴＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[答案] (1)C (2)＋＝1 (3)＋＝1
[解题技法]
根据条件求椭圆方程的2种方法
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程
待定系数法
待定系数法是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系数法求出m，n的值即可
[过关训练]
1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A 由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，
又＝＝，所以c＝1，所以b2＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选A.
2．(2019·安徽江南十校模拟)已知椭圆G的中心为坐标原点O，点F，B分别为椭圆G的右焦点和短轴端点．点O到直线BF的距离为，过F垂直于椭圆长轴的弦长为2，则椭圆G的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知设BF的方程为＋＝1，因为点O到直线BF的距离为.所以＝，又因为过F垂直于椭圆长轴的弦长为2，所以＝2，结合a2＝b2＋c2，知a＝4，b＝2，故选C.
[考法全析]
考法(一) 求椭圆的离心率的值(范围)
[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
(2)(2019·福州模拟)过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝.
(2)由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤ ，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.故选A.
[答案] (1)D (2)A
考法(二) 与椭圆有关的范围(最值)问题
[例2] P为椭圆＋＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝4的任意一条直径，则·的取值范围是( )
A．[0,15] B.[5,15]
C．[5,21] D．(5,21)
[解析] 由题意知圆N的圆心N(1,0)恰好是椭圆的右焦点，因为·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－4，因为a－c≤||≤a＋c，即3≤||≤5，所以·的取值范围是[5,21]．
[答案] C
[规律探求]
看个性
考法(一)求椭圆离心率的值(范围)，其方法为
(1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e＝求解．
(2)方程法：根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
考法(二)与椭圆有关的最值(范围)问题
与椭圆有关的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，所以在求与椭圆有关的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系
[口诀记忆]
离心率，不用愁，
寻找等式消b求；
几何图形寻踪迹，
等式藏在图形中．
找共性
1.无论题型如何变化，都是围绕椭圆的几何性质，外加其他条件来考查，所以理清椭圆的几个关键点(顶点、原点、焦点、对称轴)和灵活应用几个公式，理清a，b，c的内在联系(a，b，c的关系式―→构造a，c的齐次方程或不等式)，便可以不变应万变．
2.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形
[过关训练]
1．(2019·温州模拟)正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意，作出示意图如图所示．
根据对称性可知B，D在直线y＝x上，设D(m，m)，则＋＝1，即m2＝＞c2⇒b2＞ac，整理得c2＋ac－a2＜0，即e2＋e－1＜0，解得0＜e＜.
2．(2018·南充模拟)已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________．
解析：由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则＝3，所以b2＝3，即b＝.
答案：
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