2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第十章第七节n次独立重复试验及二项分布

第七节n次独立重复试验及二项分布

1.条件概率及其性质

(1)条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝(P(A)＞0).

(2)条件概率的性质

①非负性：0≤P(B|A)≤1；

②可加性：如果B和C是两个互斥事件，

　则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).

2.相互独立事件

(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件.

(2)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立.

(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立.

(4)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，

P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B).

(5)一般地，如果事件A1，A2，…，An(n＞2，n∈N*)相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An).

互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点

(1)相同点：二者都是描述两个事件间的关系；

(2)不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.

3.独立重复试验与二项分布

(1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.

独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.

 (2)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.

判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,1是否为n次独立重复试验；,2随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数.

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)P(B).(　　)

(2)相互独立事件就是互斥事件.(　　)

(3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

二、选填题

1.打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次.若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C. D.

解析：选D　由题意知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，两人打靶相互独立，同时中靶的概率P＝×＝.

2.设随机变量X～B，则P(X＝3)＝(　　)

A. B.

C. D.

解析：选A　因为X～B，由二项分布可得，

P(X＝3)＝C3·3＝.

3.根据历年气象统计资料，宜都三月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为(　　)

A. B.

C. D.

解析：选B　设事件A表示宜都三月份吹东风，事件B表示三月份下雨，根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P(B|A)＝＝.

4.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为________.

解析：设目标被击中为事件B，目标被甲击中为事件A，则由P(B)＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，

得P(A|B)＝＝＝＝0.75.

答案：0.75

5.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是________.

解析：因为质点移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动2次，向上移动3次.

故其概率为C3·2＝C5＝.

答案：

[典例精析]

(1)(2019·合肥模拟)将三颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)＝__________，P(B|A)＝________.

(2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.

[解析]　(1)P(A|B)的含义是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91种情况，“至少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有C×5×4＝60种情况，所以P(A|B)＝.P(B|A)的含义是在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数都不同”有6×5×4＝120种情况，所以P(B|A)＝.

(2)P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝，由条件概率公式，得P(B|A)＝＝＝.

[答案]　(1)   　(2)

[解题技法]

条件概率的3种求法

[过关训练]

1.(2019·石家庄摸底)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为________.

解析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB，“开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B|A，由题意得P(B|A)＝＝.

答案：

2.现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为________.

解析：法一：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则P(B|A)＝＝＝.

法二：在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为.

答案：

[典例精析]

(1)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为________.

(2)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.

[解析]　(1)设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，恰好3人使用设备的概率P1＝P(BCD＋ACD＋ABD＋ABC)＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，4人使用设备的概率P2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求概率P＝0.25＋0.06＝0.31.

(2)依题意，该选手第2个问题回答错误，第3,4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P＝1×0.2×0.82＝0.128.

[答案]　(1)0.31　(2)0.128

1.(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________.

解析：依题意，该选手第3个问题的回答是错误的，第4,5个问题均回答正确，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P＝0.23×0.82＋2×0.2×0.8×0.2×0.82＝0.005 12＋0.040 96＝0.046 08.

答案：0.046 08

2.(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手回答了5个问题(5个问题必须全部回答)就结束的概率为________.

解析：依题意，设答对的事件为A，可分第3个回答正确与错误两类，若第3个回答正确，则有AA或A两类情况，其概率为：0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2＝0.025 6＋0.006 4＝0.032.若该选手第3个问题的回答是错误的，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P＝0.23＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所以所求概率为0.032＋0.072＝0.104.

答案：0.104

[解题技法]

利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路

(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和.

(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件.

(3)代入概率的积公式求解.

[过关训练]

1.在高三的某次模拟考试中，对于数学选修4系列的考查中，甲同学选做《不等式选讲》的概率为，乙同学选做《不等式选讲》的概率为，假定二人的选择相互之间没有影响，那么这次模拟考试中甲、乙两个同学至少有1人选做《不等式选讲》的概率为________.

解析：记高三的某次模拟考试中“甲同学不选做《不等式选讲》”为事件A，“乙同学不选做《不等式选讲》”为事件B，且A，B相互独立.

依题意，P(A)＝1－＝，P(B)＝1－＝，

所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.

又因为甲、乙二人至少有一人选做《不等式选讲》的对立事件为甲、乙二人都不选做《不等式选讲》，所以所求概率为1－P(AB)＝1－＝.

答案：

2.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.

(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列；

(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，

则P(X＝0)＝××＝，

P(X＝1)＝××＋××＋××＝，

P(X＝2)＝××＋××＋××＝，

P(X＝3)＝××＝.

所以随机变量X的分布列为

(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为

P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)

＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)

＝×＋×

＝.

所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.

[典例精析]

九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：

(1)若购进这批九节虾35 000 g，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；

(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X，求X的分布列.

[解]　(1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为

×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因为35 000÷29.5≈1 186(只)，

所以这批九节虾的数量约为1 186只.

(2)由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在[5,25)间的概率p＝＝，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，

则P(X＝0)＝4＝，

P(X＝1)＝C××3＝，

P(X＝2)＝C×2×2＝，

P(X＝3)＝C×3×＝，

P(X＝4)＝4＝.

所以X的分布列为

[解题技法]

独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略

(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率.

(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率.

[过关训练]

1.甲、乙两名运动员练习定点投球，已知在该点每次投篮甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.9，每人投两次，则甲、乙都恰好命中一次的概率为(　　)

A.0.32　　　　　　　　 B.0.18

C.0.50 D.0.057 6

解析：选D　甲命中一次的概率为C×0.8×(1－0.8)＝0.32，乙命中一次的概率为C×0.9×(1－0.9)＝0.18，他们投篮命中与否相互独立，所以甲、乙都恰好命中一次的概率为P＝0.32×0.18＝0.057 6.

2.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.

(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；

(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？

解：(1)X可能的取值为10,20,100，－200.

根据题意，有

P(X＝10)＝C×1×2＝，

P(X＝20)＝C×2×1＝，

P(X＝100)＝3＝，

P(X＝－200)＝3＝.

所以X的分布列为

(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.

所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为

1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝.

因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为.