2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第十章第六节离散型随机变量及其分布列

第六节离散型随机变量及其分布列

1．随机变量的有关概念

(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示❶.

(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．

2．离散型随机变量分布列的概念及性质

(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：

❷此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时也用等式PX＝xi＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列.

(2)分布列的性质

①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②i＝1.

3．常见的离散型随机变量的分布列

(1)两点分布列

(2)超几何分布列❹

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*❺.

若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量．

表中第一行表示随机变量的取值；第二行对应变量的概率．

两点分布的试验结果只有两个可能性，其概率之和为1.

超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：

(1)考察对象分两类；

(2)已知各类对象的个数；

(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．

超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.

m＝min{M，n}的理解

m为k的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数，即n≤M时，k(抽取的样本中次品的件数)的最大值为m＝n；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即n＞M时，k的最大值为m＝M.

 [小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.(　　)

(2)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.(　　)

(3)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出.(　　)

(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布.(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

二、选填题

1.抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是(　　)

A.一颗是3点，一颗是1点

B.两颗都是2点

C.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点

D.甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点

解析：选D　甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故选D.

2.设随机变量X的分布列如下：

则p为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C. D.

解析：选C　由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，∴p＝1－＝.

3.某射手射击所得环数X的分布列为

则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为(　　)

A.0.28 B.0.88

C.0.79 D.0.51

解析：选C　P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.

4.已知随机变量X的分布规律为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝________.

解析：由分布列的性质知＋＋＝1，∴a＝3，

∴P(X＝2)＝＝.

答案：

5.在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________.

解析：由题意，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，故P(X＝2)＝＝.

答案：

考点一    离散型随机变量的分布列的性质[基础自学过关]

[题组练透]

1.设X是一个离散型随机变量，其分布列为

则q的值为(　　)

A.1　　　　　　　　　 B.±

C.－ D.＋

解析：选C　由分布列的性质知

解得q＝－.

2.离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为(　　)

A. B.

C. D.

解析：选D　由×a＝1，知a＝1，得a＝.

故P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.

3.设离散型随机变量X的分布列为

(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；

(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；

(3)求随机变量ξ＝X2的分布列.

解：(1)由分布列的性质知，

0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.

首先列表为：

从而Y＝2X＋1的分布列为

(2)列表为

∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，

P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，

P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，

P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.

故η＝|X－1|的分布列为

(3)首先列表为

从而ξ＝X2的分布列为

[名师微点]

离散型随机变量的分布列的性质的应用

(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；

(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；

(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.

考点二    超几何分布[师生共研过关]

[典例精析]

在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.

(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；

(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.

[解]　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M＝＝.

(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝.

因此X的分布列为

[解题技法]

1.随机变量是否服从超几何分布的判断

若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然.

2.求超几何分布的分布列的步骤

第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；

第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；

第三步，用表格的形式列出分布列.

[过关训练]

　某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列.

解：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服从参数N＝8，M＝3，n＝3的超几何分布.

X的所有可能取值为0,1,2,3，其中P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3)，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.

所以X的分布列为

考点三    求离散型随机变量的分布列[师生共研过关]

[典例精析]

已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.

[解]　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝＝.

(2)X的可能取值为200,300,400，

则P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝，

P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.

故X的分布列为

[解题技法]

离散型随机变量分布列的求解步骤

 [过关训练]

　有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入座编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法.

(1)求n的值；

(2)求随机变量X的分布列.

解：(1)因为当X＝2时，有C种坐法，

所以C＝6，即＝6，

n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.

(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，

由题意知X的可能取值是0,2,3,4，

所以P(X＝0)＝＝，

P(X＝2)＝＝＝，

P(X＝3)＝＝＝，

P(X＝4)＝＝，

所以随机变量X的分布列为